苏教版2017高中数学（必修五）学案 1.3 正弦定理、余弦定理的应

1.3 正弦定理、余弦定理的应用

1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)

3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)

[基础·初探]

教材整理 方位角

阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题． 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方位角和方向角是同一个概念．( )

(2)从A处望B处的仰角为 α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.( ) (3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.( ) (4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________

[小组合作型]

正、余弦定理在物理学中 的应用 如图1-3-1，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，

且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．

图1-3-1

【精彩点拨】 先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解． →＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分【自主解答】 如图，作OE

→＝CE→＝F，OC→＝F.由题设条件可知，|OE→|＝10，∠OCE

解，即作?OCED，则OD12＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.

在△OCE中，由正弦定理，

|F||F1||F||F2|

得sin 50°＝sin 60°，sin 50°＝sin 70°，

10sin 60°

因此，|F1|＝sin 50°≈11.3， 10 sin 70°

|F2|＝sin 50°≈12.3.

答：灯杆OA所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为12.3 N.

在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．

[再练一题]

1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．

【解】 F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得

F＝302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)， 再由正弦定理，得

50sin 120°53sin∠F1OF＝＝14，

70

所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°. 答：F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.

正、余弦定理在几何中的应

如图1-3-2，某公园内有一块边长为2的等边△ABC的三角地，现修

成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上．设AD＝x(x≥0)，DE＝y，求用x表示y的函数关系式．

用

图1-3-2

1

【精彩点拨】 由S△ADE＝2S△ABC得出AE，再在△ADE中由余弦定理求DE. 1

【自主解答】 ∵AB＝BC＝AC＝2，∴S△ABC＝2×2×2sin 60°＝3， 13∴S△ADE＝2S△ABC＝2.

13

又S△ADE＝2AD·AEsin 60°＝4x·AE， 332由4x·AE＝2，得AE＝x. 在△ADE中，由余弦定理得 42y2＝x2＋x2－2·x·cos 60°

x·4

＝x2＋x2－2， ∴y＝

4x2＋x2－2.

2

又由AE<2可知x<2，即x>1， ∴1

∴y关于x的函数为： y＝

4x2＋x2－2(1

1．求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中．

2

2．函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE＝x∈(0,2)”．

[再练一题]

2.如图1-3-3所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，△BCD是正三角形．

图1-3-3

(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数； (2)求S的最大值及此时θ角的值．

11

【解】 (1)△ABD的面积S1＝2×1×1×sin θ＝2sin θ，由于△BCD是正三3

角形，则△BCD的面积S2＝4BD2.

在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ， 13

于是四边形ABCD的面积S＝2sin θ＋4(2－2cos θ)， 3?π?∴S＝2＋sin?θ－3?，0<θ<π.

??3?π?

(2)由S＝2＋sin?θ－3?及0<θ<π，

??ππ2π

得－3<θ－3<3，

ππ5π3当θ－3＝2，即θ＝6时，S取得最大值1＋2. [探究共研型]

正、余弦定理在测量学中 的应用 探究1 如图1-3-4，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？

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