烤肉模型

烤肉模型

你是否经常在烧烤时把鸡肉烤焦？是否希望精确地\估算\烧烤时间？是否

希望有一套指导你烧烤的规则？当一块肉的内部最低温度达到某一值时, 这块肉就算烤好了, 这温度值取决于肉的类型和熟透的程度. 考虑与烧烤时间相关的各因素. 查阅相关资料, 建立数学模型, 自拟一套合理烧烤的规则.

微分方程教学时的数学建模和数值计算能力的培养

郑小洋

重庆理工大学 数学与统计学院 400054

摘要: 数学建模思想以及数值计算方法融入高等数学的教学过程中, 培养学生的实际应用能力和创新能力, 已经得到了普遍的关注. 本文重点讨论微分方程教学时的模型建立以及解析解和数值解的问题. 以简单的热水冷却过程为例, 引导学生建立微分方程模型, 培养学生应用微分知识解决实际问题的能力.用MATLAB软件得到该微分方程的数值解, 并画出图形, 让学生理解微分方程的数值解, 加深对微分方程的解析解和数值解的认识, 指导学生应用计算软件解决数学问题的能力.

关键词: 微分方程; 数学建模; 数值解; MATLAB.

一 问题背景

高等数学教学不但要传授基本理论知识, 而且重要的一点是应该进一步培养学生的自学能力以及应用数学知识和计算软件解决实际问题的能力. 在高等数学的教学过程中, 数学建模以及数值计算思想的融入和发展是有效培养学生创新能力和实践动手能力的有效方式, 可以实现学生的数学思维和应用能力的有效提升. 传统的高等数学教学主要是讲解定义、定理证明、公式推导和大量的计算方法与技巧等, 这种教学方式会使学生越来越觉得数学枯燥无味, 学习主动性不够, 缺乏应用数学知识解决实际问题的意识和能力. 因此, 加强培养学生的数学建模和应用计算软件解决数学的计算问题的能力具有十分重要的意义.

1. 数学建模思想

数学建模, 就是用数学语言去描述或模拟实际问题中的数量关系, 一旦数学模型建立起来, 实际的问题就转化成了等价(或基本等价)的数学问题. 数学建模中关键的思想方法就是通过对现实问题的观察、归纳和假设,将其转化为一个数学问题. 因为大量的实际问题难以得到解析解, 故, 得让学生体会和理解数值方法得到的数值解, 通常可以通过计算软件编写程序得到的数值解. 但这还只是完成了数学建模的一方面, 在实际问题中, 得看能否解释实际问题,能否与实际经验或数据相吻合, 若吻合, 数学建模过程就完成了, 否则还需要修正假设并重新提出经修正的数学模型. 因此, 如何对实际问题的实质进行一定的抽象、简化, 用数学语言表达出来, 是解决问题的首要步骤, 这种翻译能力在高等数学的教学中是有要求的, 从而应当注意整理, 培养学生的这种建模能力. 另外, 对数学方法推理或计算得到的结果, 不仅要培养学生重视解释、检验、讨论, 特别重要的是能用语言表达出来, 或能结合实际解释其意义.

1. 高等数学教学中的主要建模内容

在高等数学中, 涉及到数学建模的主要相关内容的教学有: 导数的应用、定积分的应用、重积分的应用、曲线与曲面积分的应用、微分方程的应用等. 这些问题的建模内容都是不容忽视的, 教学中要力求讲清建模的思路及求解方法, 使学生感受到数学应用有前景有趣味,数学是帮助研究人员解决实际问题的必不可少的一种工具, 从而提高兴趣, 增强信心, 养成自觉地建立数学模型解决实际问题的习惯. 大量的实践表明, 人们一旦掌握了数学建模的思

想和方法, 将会在处理实际问题中如虎添翼, 受益无穷. 因此, 教师在教学中就应该注重数学建模思想的渗透以及数学方法的介绍, 强调数学知识的应用性. 培养学生自觉运用数学建模的思想和方法去解决实际问题的应用意识与能力. 3. 高等数学教学时融入数学建模思想的重要性

教师如果能随时随处将数学建模思想渗透在讲课内容中, 使学生对重要概念产生的历史背景有所了解, 让学生在学习数学时, 体会到知识的整体性和综合性, 这样学生才能通过理解把新知识消化吸收. 在高等数学的教学过程中, 教师可构造适当的数学建模实例, 使学生通过参与数学建模, 感受到数学的生机与活力, 感受到数学的无处不在, 感受到数学思想方法的无所不能, 同时也体会到学习高等数学的重要性. 培养学生的创造能力、联想能力、洞察能力以及数学语言的表达能力. 培养学生团结合作精神, 交流、表达的能力. 通过数学建模活动可以培养学生数学语言翻译能力, 应用已学知识和方法进行综合分析的能力, 提高学生的想象力、创新能力和使用现有数学知识的能力. 数学建模的开展可整体提高学生的数学素质. 实践表明, 数学建模是对大学生进行创新教育的有效途径之一.

本文以高等数学的微分方程教学理论为基础, 通过增加数学教学理论知识的实际运用背景，通过基本知识的分析解决实际的问题. 通过教学情境的创设, 增加理论教学与实际问题的联系, 充分调动学生的学习积极性, 培养学生实际解决问题的意识和能力, 培养学生的自主学习能力和实践应用能力. 以具体的热水冷却模型来探讨教学内容的有效改革和尝试.

二 微分方程的数学建模能力

这部分以高等数学中的微分方程理论为基础, 探讨运用微分方程知识建立数学模型, 培养学生的数学建模思想. 微分方程建模的一般步骤, 首先是确定变量, 分析这些变量和他们的微元或变化率之间的关系, 依照数学、物理、生物、化学、工程学等学科中的理论或经过实验得出的规律和定理建立起微分方程（包括定解条件, 再对方程求解, 并分析验证结果. 微分方程概念的建立由实际引入, 微分方程的求解可解决大量的实际问题, 为此, 在传统的数学课程教学中, 还要多花时间讲如何在实际问题中提炼微分方程, 并且求解. 1. 强调导数概念与实际问题的联系

数学概念一般来源于社会实践,概念产生后又反过来为社会实践服务. 在介绍概念的含义后, 要重视概念与实际结合, 突出应用价值. 例如, 导数是一个十分重要的数学模型. 它虽然由瞬时速度而导人, 但它的意义远远超出了力学的范围, 而渗透到科学技术的各个领域.这里可以举些简单例子如:速度、加速度、电流强度、线速度、角速度等. 然后可以这样提问:“你能举出其他的例子吗?”可以引导学生得到“种群的生长率和死亡率”、“放射性物质的衰变率”、“战争中物质和战斗力的损耗率”、“冷却过程的温度变化率”这些实际问题. 这时教师要不失时机地给出总结——数学上统称为函数的变化率, 都与导数有不解之缘. 这样学生不仅体会到数学概念的实际意义与应用价值, 同时他们也会体会到导数的巨大魅力. 2. 热水冷却模型

问题: 由物理学知道, 物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比.今100℃的沸水在室温为20℃的情况冷却, 经过5min后测得水温为60℃. 求水温u与时间t的函数关系.

问题分析以及模型的建立

假设室温变化不大, u(t)为t时刻的热水的温度, 比例系数为k(k?0). 解决问题的最关键是注意到物体冷却的速度与导数的本质联系, 再由物理学的理论, 就可以建立热水冷却

过程的微分方程为:

du??k(u?20), dt另外, 可以容易得到初始条件:

ut?0?100, ut?5?60,

通过这个简单的实际例子, 引导学生领会用导数来建立微分方程模型的思想.

数学建模思想的融入宜采用渐进的方式, 力争和已有的教学内容有机地结合, 为了突出主旨, 也为了避免占用过多的学时, 加重同学负担, 对数学主干课程要精选融入的数学建模内容, 其原则应是: 集中精力针对该课程的核心概念和重要内容, 比如这里的用导数概念来建立微分方程模型, 这部分除了介绍课本中物理、几何等方面的应用题外, 还可以插入讲些如生物增长模型、生物竞争模型等例子, 这样可以使学生在较简单的实际问题中提练微分方程, 并且求解.

三 微分方程的数值计算能力

这部讨论热水冷却模型的解析解以及数值解.

解析解: 用可分离变量的方法,可得方程的解析解为:

u?20?80(0.5).

但是, 大量实际问题的微分方程模型, 难以得到解析解, 因此, 可以引导学生理解微分方程的数值解, 数值计算原理可参阅相关的数值分析教材, 引导学生自主学习计算软件, 例如:MATLAB. 此简单的水温冷却模型还可用MATLAB程序求其解析解.

解析解的程序为:

dsolve('Du+k*(u-20)=0','u(0)=100','t') %dsolve为求常微分方程的符号解函数 运算结果为

u =20+80*exp(-k*t)

t5

ln2再由ut?5?60,可得k?,即u?20?80(0.5)5

5数值解: 让学生理解微分方程数值解的思想和实质, 可以指导学生课外自学编写计算软件MATLAB的程序, 培养学生自主学习能力.常微分方程的常用数值解法为欧拉折线法和龙格-库塔法．

数值解的程序为:

f=inline('-0.2*log(2)*(u-20)','t','u');

[t,u]=ode45(f,[0, 100],100); %ode45为龙格库塔法求微分方程的数值解

plot(t,u) %绘制0到100分钟的水温随时间变化的图形

t

图1 水温随时间变化

从图1可看出水温随时间逐渐趋于20℃.

高等数学的教学中融入数学建模的思想以及数值计算的思想, 应用计算软件, 改进教学方式. 可以在实际的教学中增加一些实践的环节, 并且引导学生应用数学知识和计算软件解决实际问题, 逐步培养大学生自主创新学习. 另外, 还可以引导学生参加全国大学生数学建模竞赛,逐步建立大学创新教育课程体系. 大学生数学建模竞赛的开展, 得到了广大师生的热情关注和大力支持, 数学教学中融入数学建模思想在这些年来的大学数学教学改革中成效显著. 又比如在数学基础理论课程中可以增加一些应用型和实践类的课程, 例如“运筹学”、“数学模型”、“数学实验”以及“计算方法”等课程; 在与数学相关的各课程的教学中, 也要尽量使数学理论与应用相结合, 增加实际应用方面的内容, 从而使教学内容得到丰富.

总之, 高等数学的教学中, 培养数学建模思想以及数值计算的能力, 采用的教学形式可以多样化, 如教师课堂讲授、学生课堂讨论、互动式小组活动、上机实验、小论文等. 只要在平时的教学中, 把数学教学和数学建模有机的结合起来, 在教学的每一个环节注意学生应用意识的培养, 将能使学生自觉地应用数学知识、方法去观察、分析, 解决生活和科技中的问题, 使其由知识型向能力型转化.

参考文献:

[1] 叶其效.把数学建模、数学实验的思想和方法融人高等数学课的教学中去.工程数学学 报.2003.12.

[2] Carl W，Hal1．Laws and Models（Science．Engineering，and Technology），CRC Press，2000.

[3] 刘 锋.高等数学课程教学改革研究与实践.大学数学.2004.8.

1．编写向前欧拉公式法(折线法)的MATLAB计算程序

常微分方程的常用数值解法为欧拉折线法和龙格-库塔法．

欧拉折线法的思想为： 给定微分方程y??f(x,y)和初始条件y(x0)?y0，考虑y(x)的线性近似：

L(x)?y(x0)?y?(x0)(x?x0)

如果x在包含x0的较小的区间内，则函数L(x)是y(x)的较好的近似．欧拉折线法是通过一系列线性近似得到在较大区间内y(x)的近似解．用折线法求解近似解的一般步骤为：

x1?x0?dx， y1?y0?f(x0,y0)dx x2?x1?dx， y2?y1?f(x1,y1)dx … …

xn?xn?1?dx， yn?yn?1?f(xn?1,yn?1)dx

x1,y1),x(,2)x,3(y?,的),折线就是微分方程y??f(x,y)满足初始条件连接点(x0,y0),(2y3y(x0)?y0的一个近似解．

用MATLAB可以轻易完成这些计算． 例8 用折线法解初值问题：

y??1?y,y(0)?1(x0?0,dx?0.1)

程序为： clear clf szy=[ ]； y=1；

szy=[szy;y]； for x=0.1∶0.1∶1 y=y+(1+y)*0.1； szy=[szy;y]； end szy 输出为：

szy = 1.0000 1.2000 1.4200 1.6620

1.9282 2.2210 2.5431 2.8974 3.2872 3.7159 4.1875

％ 用折线法算出的初值问题在点x?0:0.1:1处的数值解（存放在数组中） 而输入：

y=dsolve(?Dy=1+y?,?y(0)=1?,?x?)

可以算得此微分方程初值问题的精确解：

y=-1+2*exp(x) 为了比较精确解和近似解的误差，编写程序算出精确解在点x?0:0.1:1处的纵坐标（存放在数组jqy中）

jqy=[ ]；

for x=0∶0.1∶1 y=-1+2.*exp(x)；

jqy=[jqy;y]； end jqy

现在将折线和曲线在同一坐标系中画出来，如图5-1所示．

x=0∶0.1∶1； plot(x,szy,?o?,x,jqy)

图5-1 折线法的数值解与函数真实值

从输出结果容易观察到：此方法在经过多步以后，其误差会积累起来． 现在输入： err=jqy-szy

输出为：

err =

0 0.0103 0.0228 0.0377 0.0554

0.0764 0.1011 0.1301 0.1639 0.2033 0.2491

％ 在点x?0:0.1:1处的精确解与近似解相除所得的差．

从输出容易观察到：此方法在经过多步以后，其误差会积累起来．为了减少误差，一种方法是减少步长dx的值．另外，在近似算法上也有很多改进办法．

改进的此法可以算出此问题的数值解，存放在数组gjszy中． 程序为： x=0∶0.1∶1； h=0.1； gjszy=[ ]； y=1；

gjszy=[gjszy;y]； for i=1∶length(x)-1 y1=y+(1+y)*h； y=y+(1+y+1+y1)*h/2； gjszy=[gjszy;y]； end gjszy

plot(x,gjszy,?o?,x,jqy,?r?) 比较结果如图5-2所示．

图5-2 改进方法的数值解与函数真实值

摘要：经济数学的教学过程中，数学建模思想的融入和发展是有效培养学生实践动手能力的有效方式，培养学生的具体实践能力。实现了学生思维和能力的有效提升，教师在具体的教学过程中，应通过数学建模思想和教学方式的融入，构建了创新的经济数学的教学体系。实现了对经济数学教学体系和教学内容的有效改革和尝试。 关键词：数学建模；经济数学教学

中图分类号：F224文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2011）08-0295-01

一、引言

现代经济的发展很大程度上依赖于数学的发展，经济数学的教学所培养的专业人才对经济的发展起到了有效的推动作用，由此，经济数学教学的人才培养和能力提高模式有着重要的意义。随着我国市场经济的发展和稳定推进，高校的经济学、管理学等学科的教学向着数学表达的经济内容和统计量方向的发展，经济数学的教学要求利用数学实现对各种特殊、复杂的经济现象进行论证分析，从而通过分析的结论指导现实生活的理论。经济数学的知识从宏观层面而言可用于经济的整体调控，从微观层面而言关系到企业、家庭的投资理财等，由此，经济数学的教学有着重要的社会和经济发展意义。是解决经济问题的重要工具。 二、数学建模思想融入经济数学教学的思路和方法 1.课程教学内容的调整

数学建模思想在经济数学教学中的融入，能实现对课程教学内容的具体调整，通过改善经济数学教学过程中的内容多、课时少重理论，轻应用的教学状况，减少经济数学教学中定理的证明和复杂的计算。经济数学教学应建立高效的课堂教学体系，利用恰当的学时和教学方式，利用精练的讲解，把握经济数学教学的范围和深度，以经济数学的教学理论为基础，通过增加数学教学理论知识的实际运用背景，通过基本知识的分析解决实际的经济问题。通

过教学情境的创设，增加理论教学与社会经济实际的联系，运用基本的经济数学的基础知识解决实际经济问题，充分调动学生的学习积极性，培养学生实际解决问题的意识和能力。提高学生应用经济数学知识解决问题的能力，培养学生的自主学习能力和实践应用能力。 2.经济数学教学中应用经济案例

经济数学的教学中融入数学建模思想则需将经济数学的教学与实际的教学联系起来，从而有效提高学生的实际能力。通过在经济数学教学中增加和引用经济学的典型案例进行细致的分析和讲解，从而启迪学生的思维，引发学生的思考，使学生在对实际经济问题的思考过程中实现对数学建模方法的掌握，并通过数学模型的建立，掌握高等数学概念和理论，巩固经济数学基础知识，从而在具体的经济数学教学过程中以及案例的分析过程中使学生认识到数学的重要性和意义。

例如：函数极限的课程教学过程中，可通过对经济函数的介绍，实现具体的企业成本和经济效益的计算和发展，引发学生的学习兴趣。数的课程教学中，可通过对成本函数、收益函数、利润函数等函数的边际函数和求经济函数的最大收益和最大利润等问题的介绍实现了经济教学案例和教学内容的串联。 3.数学实验辅导教学

经济数学教学中数学建模思想的融入通过经济数学教学实验体现，实现了经济数学教学的有效创新和发展。

(1)经济数学的试验教学能实现对传统经济数学教学中枯燥定义、定理证明和复杂繁琐的计算中解放出来，学生通过独立参与到课堂实践，提高学习数学的积极性。

(2)经济数学实验课的学习，通过数学软件实现了极限运算、求导运算、求极值运算、积分运算、画图、数值运算、解方程等微积分的基本运算的简化发展，同时能帮助学生理解数学的基本原理和基本概念，淡化数学学习中的难点，并且简化了数学计算。

(3)经济数学教学模式实现了以学生的独立操作为主、教师辅助的教学体系，充分发挥了学生的主动性和教师对课堂的监督指导的优势和作用。具体的教学过程中，教师通过有意识地提出问题，实现对学生思维的引导，创新学生的思维体系。 4.开设数学建模周的实践教学活动

经济数学教学中数学建模思想的融入为探索建立学生实践能力的重要手段和方式。数学建模思想通过对数学方法和计算机知识的良好结合，实现了对实际问题的解决和发展。数学建模思想集经典数学、现代数学、实际经济问题分析和解决的新型课程，是应用数学理论实现实际问题解决的重要手段和途径。

经济数学并不能直接应用与经济领域的客观状况，为实现数学理论应用到具体的经济领域中，必须对数学进行建模，数学的建模是为了解决经济领域中的实际问题而进行的抽象、简化结构的数学刻画，由此应通过数学建模实践提高学生的具体理论应用的能力。数学建模的实践教学中，可通过从现实经济进入数学理论、对现实经济问题建立数学模式以及从数学理论过渡经济问题分析三个阶段实现具体的实践。

数学建模周的教学分为理论教学和实践教学两个部分：理论教学的内容是学习建模概论、数学模型概念、建立数学模型方法、步骤和模型分类、数学模型实例，为具体的实践学习奠定良好的系统理论的发展基础；实践教学是利用经济数学教学和实验过程中的相关数学软件解决实际经济问题。经济数学的建模周教学可通过课堂讲授推动学生对基础知识的掌握和应用，主要由数学教师在课堂上向学生传授知识。在讲课中采取启发式充分调动学生的积极性，充分发挥学生的潜能，使学生更好地掌握数学的思维方法和技巧。数学建模教学形式多样化，如教师课堂讲授、学生课堂讨论、互动式小组活动、上机实验、小论文作业等。数学建模教学目的是以数学建模为载体全面激发学生的创造性思维，培养学生提出问题和解决问题的能力。数学的思想和方法与计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现

的技术，称为“数学技术”。它本质上是数学的内容物化为计算机的软件及硬件，成为技术的一个重要组成部分和关键，从而也可以转化为先进的生产力。

先谈谈对数学这门学科的看法和认识。

数学是什么？按照恩格斯的说法，数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。这是对数学的一个概括、中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的说法。尽管从恩格斯到现在，数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中数量关系和空间形式的认识和理解也已今非昔比、大大深化和发展了，但恩格斯的说法应该说仍然有效，没有必要从根本上加以改变。

长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，对数学的重要性及其作用逐渐形成了自己的认识和看法，而且这种认识和看法随着时代的进步也在不断发展。概括起来，大概有下面几点：

数学是一种语言。数学是一种科学的语言。伽利略就曾说过：“宇宙这本书是用数学语言写成的。……除非你首先学懂了它的语言，……，这本书是无法读懂的。”数学这种科学的语言，如果运用得当，是十分精确的，这是数学这门学科的特点。同时，这种语言又是世界通用的。加、减、乘、除，乘方、开方，指数、对数，微分、积分，常数等等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一为一个固定的样式，世界各地通用。正因为如此，尽管不怎么精通外文，往往还是可以凭着文中的记号及公式把外文书籍或论文中有关的数学结论猜个八九不离十。这是数学家往往可以读好几国外文数学论著的原因，可能也是我们一些中国数学家外文水平相对不高的一个原因。不管怎样，数学是一种精确的科学语言这一点，应该容易成为人们的共识。

数学是一个工具。数学是一个有力的工具，在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是一个不争的事实。在现代，数学作为四化建设的重要武器，在很多重要的领域中起着关键性甚至决定性的作用，这一点也愈来愈清楚地为人们所认识。

数学是一个基础。数学是各门科学的基础。不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。现在，很多科学（特别是很多自然科学）中的数学化趋势，有的已初见端倪，有的也已是呼之欲出。

数学是一门科学。数学不仅具有上述那些服务性的功能，而且特色鲜明，自成体系，本身是一门重要的科学。按照恩格斯的说法，自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的，而数学则不然，它是忽略

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