微机原理试题A卷

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北京科技大学 2010--2011学年第一学期

复变函数与积分变换试卷（A）

院(系) 班级学号姓名

试卷卷面成绩题号满分得分评阅审核一 30 二 15 三 5 四 8 五 8 六 8 七 8 八 8 九 10 小计 100 考核平时最终成绩成绩成绩 (70%) (30%) 一题得分一、填空题（每小题3分,共30分）

自觉遵装守考订试线规则内，诚不信考得试，答绝不题作弊 1.方程z?2?3i?2所代表的曲线是以（-2+3i）为圆心，2为半径的圆

2．复数e3?4i的模是 e

323.映射w?z在z?i处的旋转角为

? （导数的幅角） 224．若函数f(z)?x?2xy?y?i(y?axy?x)在复平面内处处解析，那么实常数a? 2

222 5．设c为|z|?2正向，则

??czdz= 4πi . z6．设f?t??e?t?(t)，则 ??? 1 （利用傅里叶变换的定义和筛选性质） ?f?t??7．设F(s)?22ti?2?iti?2its?1e?e?e ，求 F(s)??? (s?2)(s2?1)51010 复变函数与积分变换A 试卷第 1 页共 6 页

8．设z?0为解析函数f(z)的三级零点，那么Res[f?(z),0]? 3 f(z)e?d?，其中z?4，则f?(2?i）9．设f(z)??? 0 ???4??z10．幂级数

二题得分 ?(1?i)nzn的收敛半径等于

n?1?2 2二、单选题（每小题3分,共15分）

221．设函数f(z)?x?iy，则f(z)在点z0?1?i处( B ).

（A）不可导的（B）可导但不解析（C）解析的（D）无法判断 2．设f(z)?sinz，则下列命题中，正确的是( D ).

（A）|sinz|?1 （B）f(z)以2?i为周期

eiz?e?iz22（C）f(z)? （D）sinz?cosz?1

23．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则下列结论正确的是( C ).

（A）若u(x,y),v(x,y)在区域D内可微，则f(z)?u?iv为D内的解析函数（B）若u(x,y),v(x,y)为D内的调和函数，则f(z)?u?iv在区域D内解析（C）若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为区域D内的解析函数，则

?u为D内的调和函数 ?x（D）若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，则g(z)?v?iu也解析

?cosin(?1)nin4.级数(1)?n 与级数(2)?的敛散性为（ C ）. n22n?0n?1?A.均发散 B.均收敛 C.(1)发散、(2)收敛 D.(1)收敛、(2)发散 5．下列数中，为实数的是( B ).

复变函数与积分变换A 试卷第 2 页共 6 页

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e得分 33?i2?

三、（5分）计算 (1?i)i 的辐角主值

解：

(1?i)=e12iiLn (1?i)=e1?i[ln(2)+i(2k??)]24（k=0,?1,?2???）

（k1=0,?1,?2???）, 幅角为ln(2)?2k1?1所以幅角主值是：k=0时，ln(2)2 得分四、（8分）求k值，使u?x2?ky2 为调和函数；再求f(z)，使f(z)?u?iv为解

析函数，并满足f(i)??1 .

解：

u?x2?ky2 ?2u?2u?2,2?2k;?x2?y若要u调和,则2+2k=0;得k??1;?ux?2x,uy??2y;?vy?ux?2x,v?2xy?g(y);fvx?2y?g'(y)=?uy?2y;得g(y)?C;又f(i)??1;得C=0；?f(z)?x2?y2?2ixy?z2. 得分

解：

e?z五、（8分）计算积分: ?dz，其中C为正向圆周z?2. 2?z(z?i)c

?e?ze?zdz?2?i?22??z(z?i)c?(z?i)

?e?zz?0???z??'??z?i??2?i(?i?2). ? 复变函数与积分变换A 试卷第 3 页共 6 页

得分 ??六、（8分）利用留数计算实积分I? 解：

xsinxdx. 2?x?1??xsinxxeix? I=?2dx?Im(2?i*Res(2，i))=.

x?1x?1e??

?? 复变函数与积分变换A 试卷第 4 页共 6 页

得分七、（8分）将f(z)? 解：

1在 1?z?2内展成洛朗级数. 2(z?1)(z?2)f(z)?111?1??????'(z?1)(z?2)2z?1z?2?z?2????11?1111????????'1zzz1?21??21??z2?2????1znzn??n?1??n?1??(n?1)'n?0zn?02n?02??n?0??

1zn?11zn?1zn?1?nzn?1??n??n?1n?12n?12???n?0n+2 ?n?3??z???????4??2?n?0??n

得分八、（8分）用Laplace变换求解二阶微分方程

?y???2y??3y?e?t?2 ??y(0)?0y?(0)?1解：

后面答案计算有误

Y(s)=（s^2-2）/s(s-3)（s+1）^2

复变函数与积分变换A 试卷第 5 页共 6 页

得分九.证明题(10分)

1. (5分) 若f(t)?cos?0t?u(t)，证明：

F?f(t)??F[cos?0t?u(t)] ejw0t?e?jw0t?F(?u(t))211 ?F(ejw0t?u(t))?F(e?jw0t?u(t)).

22?1??1?11?????(w?w0)??????(w?w0)?2?j(w?w0)?2?j(w?w0)??j?????(???0)??(???0)??02??22z?z0 2. (5分)设f(z)在0?|z?z0|?R内解析，lim(z?z0)f(z)?0。求证：

在0?|z?z0|?r?R内，f(z)?证明：

1f(?)?|z?z0|?r(??z)d?. 2?i?

没看懂题目什么意思，变量是，积分路径怎么又是Z的表达式了。。。。

?lim(z?z0)f(z)?0;z?z0?z0是f(z)的一级极点且Res(f(z),z0)?0;?f(?)的一级极点 ??zf(?)f(?)f(?)??d?=2?i(Res(,z)?Res(,z0))?2?i(f(z)?0)?|z?z0|?r(??z)??z??z1f(?)?f(z)??|z?z0|?r(??z)d?2?i?对0?|z?z0|?r内任意一点z和z0有z是

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