2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
更新时间:2023-07-22 00:28:01 阅读量: 实用文档 文档下载
2017年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷)
一、填空题:本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}n a
中,2a =
,3a =1201172017
a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+,则||z 的值为 .
3.设()f x 是定义在R 上的函数,若2()f x x +是奇函数,()2x f x +是偶函数,则(1)f 的值为 .
4.在ABC ?中,若sin 2sin A C =,且三条边,,a b c 成等比数列,则cos A 的值为 .
5.在正四面体ABCD 中,,E F 分别在棱,AB AC 上,满足3BE =,4EF =,且EF 与平面BCD 平行,则DEF ?的面积为 .
6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-,在K 中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设a 为非零实数,在平面直角坐标系xOy 中,二次曲线222
0x ay a ++=的焦距为4,则a 的值为 .
8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥,则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题 (本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9.设不等式|2||52|x x a -<-对所有[1,2]x ∈成立,求实数a 的取值范围.
10.设数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-,1,2,n = .
(1)证明:数列{}n b 也是等差数列;
(2)设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠,并且存在正整数,s t ,使得s t a b +是整数,求1||a 的最小值.
11.在平面直角坐标系xOy 中,曲线21:4C y x =,曲线222:(4)8C x y -+=,经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45
的直线l ,与2C 交于两个不同的点,Q R ,求||||PQ PR ?的取值范围.
2017年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)
一、(本题满分40分)
设实数,,a b c 满足0a b c ++=,令max{,,}d a b c =,证明:2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-
二、(本题满分40分)
给定正整数m ,证明:存在正整数k ,使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ,每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d (可以相同),满足ab cd m -=.
三、(本题满分50分)
如图,点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点,直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ,BQ 与AC 的交点为X ,CP 与AB 的交点为Y ,BQ 与CP 的交点为T ,求证:AT 平分线段XY .
四、(本题满分50分)
设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈ ,1220,,,{1,2,,10}b b b ∈ ,集合
{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<,求X 的元素个数的最大值.
一试试卷答案
1.答案:89
解:数列{}n a
的公比为32a q a ==,故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.
解:设,,z a bi a b R =+∈,由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+,比较两边实虚部可得
9101022
a a
b b +=??=-+?,解得:1,2a b ==,故12z i =+
,进而||z 3.答案:74
- 解:由条件知,2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---,1(1)2(1)2f f +=-+
, 两式相加消去(1)f -,可知:12(1)32f +=-,即7(1)4
f =-. 4.
答案:解:由正弦定理知,
sin 2sin a A c C ==,又2b ac =
,于是::a b c =
,从而由余弦定理得:222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.
答案:解:由条件知,EF 平行于BC ,因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形,故4AE AF EF ===,7AD AB AE BE ==+=.
由余弦定理得,DE
==
同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的高DH ,则122EH EF =
=
,故DH ,
于是12DEF S EF DH ?==
6.答案:514
解:注意K 中共有9个点,故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种,
当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况:
(1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,
(2
)三点是边长为4416?=种情况,
(3
的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于(0,0)的有4个,直角顶点位于(1,0)±,(0,1)±的各有一个,共有8种情况.
综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=,进而所求概率为3058414
=. 7.
解:二次曲线方程可写成22
21x y a a
--=,显然必须0a ->
,故二次曲线为双曲线,其标准方程为22
21()x a -=-
,则2222()c a a a =+-=-,注意到焦距24c =,可知24a a -=,又0a <,
所以a =. 8.答案:574
解:由条件知2017[]21000
c ≤=,当1c =时,有1020b ≤≤,对于每个这样的正整数b ,由10201b a ≤≤知,相应的a 的个数为20210b -,从而这样的正整数组的个数为
2010(1022)11(20210)5722
b b =+?-==∑, 当2
c =时,由201720[]100b ≤≤,知,20b =,进而2017200[]20110
a ≤≤=, 故200,201a =,此时共有2组(,,)a
b
c .
综上所述,满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
9.解:设2x
t =,则[2,4]t ∈,于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立,由于22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-,(25)(5)0t a a ?---<,
对给定实数a ,设()(25)(5)f t t a a =---,则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数,注意[2,4]t ∈,因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =---<??=--<?
,解得35a << 所以实数a 的取值范围是35a <<.
10.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---
23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+ 221(2)3n n n a a a d d ++=--= 所以数列{}n b 也是等差数列.
(2)由已知条件及(1)的结果知:23d d =,因为0d ≠,故13
d =,这样2212()(2)n n n n n n n
b a a a a d a d a ++=-=++- 22329
n n da d a =+=+ 若正整数,s t 满足s t a b Z +∈,则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d +=++
=+-++-+ 122239
s t a Z +-=+
+∈. 记122239
s t l a +-=++,则l Z ∈,且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数,故1|18|1a ≥,从而11||18
a ≥. 又当1118a =时,有1311711818
a b Z +=+=∈, 综上所述,1||a 的最小值为118. 11.解:设2(,2)P t t ,则直线l 的方程为22y x t t =+-,代入曲线2C 的方程得,222
(4)(2)8x x t t -++-=, 化简可得:222222(24)(2)80x t t x t t --++-+=①,
由于l 与2C 交于两个不同的点,故关于x 的方程①的判别式?为正,计算得, 222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ?=-+--+=---+---
222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-, 因此有(2,0)(2,4)t ∈- ,②
设,Q R 的横坐标分别为12,x x ,由①知,21224x x t t +=-+,22121((2)8)2
x x t t =
-+, 因此,结合l 的倾斜角为45 可知,
2224121212||||))22()2PQ PR x t x t x x t x x t --=-++
22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++
43243244482482t t t t t t t =-++-+-+
4248t t =-+
22(2)4t =-+,③
由②可知,22(2,2)(2,14)t -∈- ,故22
(2)[0,4)(4,196)t -∈ ,从而由③得: 22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈
注1:利用
2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径,列出不等式2
< 同样可以求得②中t 的范围.
注2:更简便的计算||||PQ PR
的方式是利用圆幂定理,事实上,2C 的圆心为(4,0)M ,半径为r =
故22222242||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+ .
加试试卷答案
一、
证明:当1d ≥时,不等式显然成立
以下设01d ≤<,不妨设,a b 不异号,即0ab ≥,那么有
(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此222(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-
二、
证明:取1k m =+,令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈,1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈,则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+, 故1m ab cd +-,而1m m +,所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ,满足ab cd m -= 三、
证明:首先证明//YX BC ,即证AX
AY
XC YB =
连接,BD CD ,因为ACQ ACQ ABC
ABC ABP ABP
S S S S S S ???????=, 所以111sin sin sin 22211
1
sin sin sin 222AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP
?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠, ①
由题设,,BP CQ 是圆ω的切线,所以ACQ ABC ∠=∠,ACB ABP ∠=∠,又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠(注意D 是弧BC 的中点),于是由①知AB AQ CQ
AC AP BP
?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠,所以BAQ CAP ∠=∠, 于是1
sin 21sin 2
ABQ ACP AB AQ BAQ
S AB AQ
S AC AP
AC AP CAP ???∠?==??∠ ③ 而1
sin 21sin 2BCQ BCP BC CQ BCQ
S CQ
S BP
BC BP CBP ???∠==?∠ ④
由②,③,④得 ABQ
CBQ ACP BCP S S S S ????=, 即ABQ
ACP CBQ
BCP S S S S ????= 又ABQ
CBQ S AX S XC ??=,ACP BCP S AY S YB ??= 故AX AY XC YB
= 设边BC 的中点为M ,因为
1AX CM BY XC MB YA ??=, 所以由塞瓦定理知,,,AM BX CY 三线共点,交点即为T ,故由//YX BC 可得AT 平分线段XY 四、
解:考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b
对1,2,,5k = ,设120,,a a 中取值为k 的数有k t 个,根据X 的定义,当i j a a =时,(,)i j X ?,因此至少有521
k t k C
=∑个(,)i j 不在X 中,注意到5120k k t ==∑,则柯西不等式,我们有5
55552
2211111111120()(())20(1)3022525k t k k k k k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=
另一方面,取4342414k k k k a a a a k ---====(1,2,,5k = ),6i i b a =-(1,2,,20i = ), 则对任意,i j (120i j ≤<≤),有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤
等号成立当且仅当i j a a =,这恰好发生24530C =次,此时X 的元素个数达到22030160C -=
综上所述,X 的元素个数的最大值为160.
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