2019届高三理科数学第二次调研考试试题

绝密★启用前 试卷类型：A

2018年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科） 2018.5

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：

1锥体的体积公式V?Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

3圆柱的侧面积S?2?rl，其中r是圆柱的底面半径，l是圆柱母线长．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，则复数(2?i)(1?i)在复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则

A．命题p不一定是假命题 C．命题q不一定是真命题 A．直角三角形 A．相交

B．命题q一定是真命题 D．命题p与命题q同真同假 C．钝角三角形 C．相离

D．不能确定 D．不确定

3．在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?3:4:30，则?ABC是

B．锐角三角形 B．相切

4．直线l:mx?y?1?m?0与圆C：x2?(y?1)2?5的位置关系是

5．如图1，是一个空间几何体的三视图，其主(正)视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左(侧)视图是一个两直角边分别为3和1的直角三角形，则此几何体的体积为 3A．

3主(正)视图

左(侧)视图

B．1 D．2

俯视图

图1

C．3 26．设a?0，b?0，则以下不等式中，不恒成立的是

11A．(a?b)(?)?4

abB．

b?2b? a?2aC．

a?bab ??1?a?b1?a1?bD．aabb?abba

7．已知a是实数，则函数f(x)?sinax的导函数的图象可能是

A B C 8．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是

111A． B． C．

243D

1D．

5二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．设全集U?3，a， a2?2a?3?， A??2， 3?， eUA??5?，则a的值为 ．

810．在(x?2y)的展开式中，x6y2项的系数是 ．

?x2y2?11．已知双曲线2?2?1(a?b?0)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为

3ab ．

12．给出以下一个算法的程序框图(图2)，如果a?sin2，b?log1.10.9，c?1.10.9，则输出的

结果是 ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”） ks5u

13．设P是边长为a的正?ABC内的一点，P点到三边的距离分别为3a；类比h1、h2、h3，则h1+h2+h3?2开始 输入a,b,c 到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3?h4= ．

a?b Y a?b N a?c Y a?c （二）选做题（14、15题，考生

只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，若圆C的极坐标方程为?2?4?cos(??)?1?0，若以极

3点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy中，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是 ． 15．（几何证明选讲选做题）

N 输出a ?结束 图2 如图3，在Rt?ABC中，?C?90?，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD?2，DB?4，则

C图3

ADEBDE= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演

算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知m?cosx,3sinx，n??cosx,cosx?，设f?x??m?n． （1）求函数f?x?的最小正周期及其单调递增区间；

（2）若b、c分别是锐角?ABC的内角B、C的对边，且b?c?6?2，f?A???ABC的面积S．

??1，试求2

17．（本小题满分12分）

上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示． （1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图

4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在?30,35?岁的人数（结果取整

数）；

（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆

志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

分组 （单位：岁） 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00

?20,25? ?25,30? 频率组距?30,35? ?35,40? ?40,45? 合计

20 25 30 35 40 45 年龄 岁

图4

18．（本小题满分14分）

如图5，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA?2，侧面积为83?，?AOP?120?．

（1）求证：AG?BD；

（2）求二面角P?AG?B的平面角的余弦值．[来源:高考资源网]

19．（本小题满分14分）

1?设函数f?x??x2?aln?2x?1?(x???,1?，a?0)． ??2?D

Q

． C

G A

O P 图5

B

（1）若函数f?x?在其定义域内是减函数，求a的取值范围；

（2）函数f?x?是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结

论．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线C：x2?4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e?（1）求椭圆E的方程；

（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：

AB?MF；

3． 2??、MB??（A?、（3） 椭圆E上是否存在一点M?，经过点M?作抛物线C的两条切线MA??、MB??所B?为切点），使得直线A?B?过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

[来源:Ks5u]

21．（本小题满分14分）

设Sn是数列?an?的前n项和，且an是Sn和2的等差中项． （1）求数列?an?的通项公式；

图6

yBFAxOM

（2）当1?i?j?n（i,j,n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和Tn； 222（3）设M???T1T22n13?(n?N*)，求证：?M?． Tn24

2018年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9． 2 ． 10．56． 11．

236a．． 12．log1.10.9(填b也算对)．13．

33（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．(1,3)． 15．3．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演

算步骤．

16．（本小题满分12分）

(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解：由已知可知

f?x??m?n?cos2x?3sinx?cosx ?1?cos2x3??1??sin2x?sin?2x??? . ……………3分 226?2? （1）f?x?的最小正周期是?. …………4分 由 2k???2?2x??6?2k???2( k?Z)，

解得 k???3?x?k???6(k?Z).

所以f?x?的单调递增区间是 ?k??（2）∵ f?A?????3,k????6?? (k?Z). …………7分

1??11? ， 即sin?2A????， 26?22?∴ sin?2A???????0， 6?∵ ?ABC是锐角三角形. ∴0?A?∴

?2，

?6?2A??6?7?， 65?. …………9分 12∴ 2A??6??，∴A? 而 sin5?????6?2????， ………11分 ?sin????sin?cos?cos?sin?124646464??11b?c?sinA??22 ∴S??6?2??6?21? . …………12分 42频率组距17. (本小题满分12分)

(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)

20 25 30 35 40 45 年龄 岁

解：（1）①处填20，②处填0.35； 507个画师中年龄在?30,35?的人数为

0.35?507?177人……………3分

补全频率分布直方图如图所示.

…………6分

（2）用分层抽样的方法，从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁” 的有5人，“年龄不低于30岁”

的有15人。 ……7分 故ξ的可能取值为0， 1，2；

P(??0)?C21542C2? 2076P(??1)?C1115C530C2? 2076P(??1)?C254C2? …………………10分 2076所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 423076 47676 …………11分 所以： E??0?4276?1?3076?2?4176?2 …………12分

18. (本小题满分14分)

(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

解: （1）(解法一)：由题意可知 83??2?2??AD ，

解得 AD?23 ， …………1分 在?AOP中，AP?22?22?2?2?2?cos120O?23， …………2分 ∴ AD?AP， 又 ∵G是DP的中点，

∴ AG?DP. ① …………3分 z

∵AB为圆O的直径，

D Q ． C

G y

∴ AP?BP.

由已知知 DA?底面ABP， ∴ DA?BP，

∴ BP?平面DAP . …………5分 ∴ BP?AG. ②

∴ 由①②可知：AG?平面DPB，

∴ AG?BD. …………7分 （2） 由（1）知：AG?平面DPB ， ∴AG?BG，AG?PG，

∴?PGB是二面角P?AG?B的平面角 . …………10分

PG?11PD??2AP?6, BP?OP?2, ?BPG?90?. 22∴ BG?PG2?BP2?10.

PG615 . ………14分 ??BG510cos?PGB?(解法二)：建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知83??2?2??AD. 解得AD?23. 则A?0,0,0?，B?0,4,0?，D0,0,23，P3,3,0 ， ∵G是DP的中点，

?????33??? ∴ 可求得G?2,2,3?. …………4分 ??（1）BP??3,?1,0?，BD??0,?4,23?，

?33???∴ AG??2,2,3?. ?? ∵ AG?BD???33???0,?4,23?0， ,,3?22????? ∴ AG?BD. …………8分 （2）由（1）知,BP???33??,,3?3,?1,0， AG???， 22???

???35?33?， BG??? . PG???,?,3,?,3?2???22???2?∵AG?PG?0，AG?BP?0.

∴BP是平面APG的法向量. …………10分 设n??x,y,1?是平面ABG的法向量， 由n?AG?0，n?AB?0，

解得n???2,0,1? …………12分 cos??BP?nBP?n??2325??15. 5 所以二面角P?AG?B的平面角的余弦值

19．（本小题满分14分）

15. …………14分 5(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力)

2a22x2?x?a?解: （1）∵f??x??2x?， 2x?12x?1∵f?x? 在x??????1?,1? 上是减函数， ?2??1?,1?恒成立. …………2分 2??∴ f??x??0在x???又∵ 当x????1?,1? 时，2x?1?0，[来源:高考资源网] ?2?2∴不等式 2x?x?a?0在x????1?,1?时恒成立， ?2?即 a?2x?x 在x???2?1?,1?时恒成立， …………4分 ?2?

设 g?x??2x2?x，x????1?,1?，则 ?2?g?x?max?g?1??3，

∴ a?3. …………6分

22x2?x?a（2）∵f??x??，

2x?1 令 f??x??0 ，解得: x1?由于a?0， ∴(?)?x1?∴x1??①当x2????1?1?8a?1?1?8a, x2?, 441211?8a?11?8a?1?0， ?0，x2?(?)?24411, x2?? ， …………8分 22?1?1?8a?1??1即0?a?3 时,在??,x2?上f??x??0；在?x2,1?上

4?2?f??x??0，

∴当x??1?1?8a?1?时，函数f?x?在??,1?上取最小值. ……11分

4?2??1?1?8a?1??1即a?3 时,在??,1?上f??x??0，

4?2??1?,1?上取最小值. 2???1?1?8a时取最小值;当a?3 时,

4② 当x2?∴当x?1时，函数f?x?在??由①②可知，当0?a?3 时,函数f?x?在x?函数f?x?在x?1时取最小值. …………14分

20．（本小题满分14分）

(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)

x2y2解：（1）设椭圆E的方程为 2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.

ab

由已知条件，得F(0,1)，

?b?1?3?c∴??

a2??a2?b2?c2? 解得

a?2,b?1.

x2?y2?1. …………4分 所以椭圆E的方程为：4（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意， 故可设直线l的方程为 y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)，

?y?kx?1 由?2

?x?4y消去y并整理得 x?4kx?4?0，

∴ x1x2??4 . …………5分 ∵抛物线C的方程为y?2121x，求导得y??x， 42∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是

11x1(x?x1)， y?y2?x2(x?x2)， 22112112即 y?x1x?x1 ， y?x2x?x2，

2424 y?y1?解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(∴

x1?x2x1x2x?x2,)，即M(1,?1)，……7分 242FM?AB?(x1?x2121212,?2)?(x2?x1,y2?y1)?(x2?x12)?2(x2?x1)?0 2244∴AB?MF. …………9分 （3）假设存在点M?满足题意，由（2）知点M?必在直线y??1上，又直线y??1与椭圆E有

唯一交点，故M?的坐标为M?(0,?1)，

设过点M?且与抛物线C相切的切线方程为：y?y0?令x?0,y??1得，?1?1x0(x?x0)，其中点(x0,y0)为切点. 2121x0?x0(0?x0)， 42 解得x0?2或x0??2 ， …………11分

故不妨取A?(?2,1),B?(2,1)，即直线A?B?过点F.

综上所述，椭圆E上存在一点M?(0,?1)，经过点M?作抛物线C的两条切线M?A?、M?B?（A?、B?为切点），能使直线A?B?过点F.

此时，两切线的方程分别为y??x?1和y?x?1. …………12分 抛物线C与切线M?A?、M?B?所围成图形的面积为

2?111?S?2??x2?(x?1)?dx?2(x3?x2?x)04122??20?4 . ……14分 321．（本小题满分14分）

(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)

解: （1）∵an是Sn和2的等差中项，

∴Sn?2?2an， ① ………1分 当n?1时，S1?2?2a1，解得a1?2. 当n?N*,n?2时，

Sn?1?2?2an?1 n?N*,n?2. ②

①－② 得 Sn?Sn?1?2an?2an?1 n?N*,n?2，

∴ an?2an?2an?1， ∴ an?2an?1， ∴

????an?2 n?N*,n?2. an?1??∴ 数列?an?是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ an?2n n?N?*? . …………5分

i?j（2）由ai和aj的所有可能乘积ai?aj?2 21?1?1?i?，2，2j?n?可构成下表：

1?n，21?2，21?3，…，2，…，21??n?1?

22?2，22?32??n?1?2?n

23?3，…，23??n?1?，23?n

……………… 2构造如下n行n列的数表：

n?n ……7分

21?1，21?2，21?3，…，21??n?1?，21?n 22?1，22?2，22?3，…，22??n?1?，22?n 23?1，23?2，23?3，…，23??n?1?，23?n

………………

2n?1，2n?2，2n?3，… ，2n??n?1?，2n?n

设上表第一行的和为T，则 T?n4?1?2?n?4?2??1.

1?22于是 2Tn?T1?2?2???2n?1???22?24??22n?

?42n?1?2n?1? ?????22?4n?1?4?1

4n2?1???2n?2?2?. ?34nn?1??2??1∴ Tn??2?1. …………10分 ?34nn?1(3)∵Tn??2?1???2?1?，

32n3?2n3?11????∴??， …………12分 Tn4?2n?1???2n?1?1?4?2n?12n?1?1?222∴M???T1T2?2n? Tn1???1??n?n?1?? ?2?12?1??3??11??11??11???????1??2??3??2344?2?12?12?12?12?12?1???????3?1?1???. n?14?2?1??

∵2∴

n?1?1?3，

1?23?1?31????. n?14?2?1?4即

13?M?. …………14分 24

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