2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3习题 2-3 模块综

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模块综合检测(能力卷)

时间120分钟，满分150分．

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：

记忆能力x 识图能力y 4 3 6 5 8 6 10 8 ^4^由表中数据，求得线性回归方程为y＝x＋a，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力

5为导学号 03960726( )

A．9.2 C．9.5 [答案] C

－1－1

[解析] ∵x＝(4＋6＋8＋10)＝7；y＝(3＋5＋6＋8)＝5.5，

44∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 4^

代入回归方程得：5.5＝×7＋a，

5^

∴a＝－0.1. ^

∴y＝0.8x－0.1，

^

当x＝12时，y＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C．

2．(2016·四川理，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为导学号 03960753( )

A．－15x4 C．－20ix4 [答案] A

6rr[解析] (x＋i)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cri(r＝0,1,2，?，6)，令r＝2，得含x4的项6x

－

B．9.8 D．10

B．15x4 D．20ix4

424

为C26xi＝－15x，故选A．

3．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 03960727( )

A．(2,4] C．[－2,0)

B．(0,2] D．(－4,4]

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[答案] C

[解析] 此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．

254316344．设A＝37＋C7·3＋C7·3＋C63，B＝C7·3＋C7·3＋C532＋1，则A－B的值为7·7·

导学号 03960728( )

A．128 C．47 [答案] A

16[解析] A－B＝37－C7·3＋C235－C334＋C433－C532＋C63－1＝(3－1)7＝27＝128，故7·7·7·7·7·

B．129 D．0

选A．

5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号 03960729( )

A．变量X与变量Y有关系的概率为1% B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9% C．变量X与变量Y没有关系的概率为99% D．变量X与变量Y有关系的概率为99% [答案] D

[解析] 由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.

6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号 03960730( )

A．24 C．60 [答案] D

[解析] 由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以

4

从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A4所以奇数的个数为A14种方法，3A4＝3×4×3×2×1

B．48 D．72

＝72，故选D．

7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号 03960731( )

A．360 C．600

B．520 D．720

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[答案] C

[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时，有C1C3A42·5·4＝480种方法；

422当甲、乙两人都参加时，有C2C22·5(A4－A2A3)＝120种方法．

由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C．

8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为导学号 03960732( )

A．0.9 C．1.2 [答案] A

[解析] X的取值为0、1、2， P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，

P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，

∴E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 9．(2016·长沙二模)二项式(x－A．－15 C．－20 [答案] B [解析] 二项式(x－

161r36－rrr

)的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·x·(－)＝C·(－1)·x6－r，令666

2xx16

)的展开式中常数项为导学号 03960733( ) x

B．15 D．20 B．0.8 D．1.1

31

－r＝0，得r＝4.因此，二项式(x－)6的展开式中的常数项是C4(－1)4＝15，故选B． 6·2x

10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，那么二项式(1＋kx2)6的展开式中x4的系数为导学号 03960734( )

A．50000 C．54000 [答案] C

222

[解析] A、B均未被选中的种数有C23C5＝30，∴k＝C4C6－30＝60.

2r2244在(1＋60x2)6展开式中，Tr＋1＝Cr6(60x)，令r＝2，得T3＝C660x＝54000x.故选C．

B．52000 D．56000

11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色

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后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 03960735( )

18

A． 12544C．

125[答案] B

332336

[解析] 每次取到红球的概率为，所求概率为C1×××＝.故选B． 2

5555125

12．已知0

A．－10 C．11 [答案] B

[解析] 作出y＝a|x|(0

B．9 D．－12 36

B． 12581D． 125

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是________.导学号 03960737

[答案] 682

[解析] 由题图知X～N(μ，σ2)， 其中μ＝60，σ＝8，

∴P(μ－σ

14．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.导学号 03960738

X 0 1 x 百度文库

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P [答案] 0.49

1 5p 3 1013?11131＋＝，E(X)＝1.1＝0×＋1×＋x，解得x＝2，所以D(X)＝×(0[解析] p＝1－??510?25210513

－1.1)2＋×(1－1.1)2＋×(2－1.1)2＝0.49.

210

15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.导学号 03960739

4[答案] 5

[解析] 由已知X的取值为7,8,9,10.

1C212C2∵P(X＝7)＝3＝，

C55121C232C1＋C2C2

P(X＝8)＝＝， 3C51011

C122C2C1P(X＝9)＝＝， 3C551C212C1P(X＝10)＝3＝.

C510

∴X的概率分布列为

X P 7 1 58 3 109 2 510 1 103214∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝＋＋＝. 105105

16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.导学号 03960740

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[答案] Cmm＋n

[解析] 从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位臵，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝Cmm＋n.

(例如f(3,4)＝C37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 03960741

(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？

(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A6A46·7种不同排法．

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，

18

则甲有A18种排法，乙有A8种排法，其余有A8种排法，

11

综上共有(A9A89＋A8A8·8)种排法．

98方法二：甲在首位的共有A99种，乙在末位的共有A9种，甲在首位且乙在末位的有A8种，108

因此共有(A10－2A99＋A8)种排法．

3

(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A3种，其中只有一种符合题

A1010设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有3种．

A3

(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列1

数恰好是这二者之和，因此满足条件的有A10种排法．

210

18．(本题满分12分)已知(x－列.导学号 03960742

(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项．

1rn－r

[解析] (1)Tr＋1＝Cr·(x)·()·(－1)r， n

2x1112

∴前三项系数的绝对值分别为C0n，Cn，Cn， 24120由题意知C1n＝Cn＋Cn， 4

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12x

)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数

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1

∴n＝1＋n(n－1)，n∈N*，

8解得n＝8或n＝1(舍去)， ∴Tk＋1＝Ck(x)8k·(－8·－

12x)k

1k4－k,＝Ck·(－)·x0≤k≤8， 8

2令4－k＝0得k＝4，

1435

∴展开式中的常数项为T5＝C4. 8(－)＝28

(2)要使Tk＋1为整式项，需4－k为非负数，且0≤k≤8，∴k＝0,1,2,3,4. 35∴展开式中的整式项为：x4，－4x3,7x2，－7x，. 8

19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.导学号 03960743

(1)求p0的值；

(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ

(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

[解析] (1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P(700

p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800

＝＋P(700

(2)设A型、B型车辆的数量分别为x、y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y依题意，x、y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0

由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900. x＋y≤21，??y≤x＋7，

于是问题等价于求满足约束条件?36x＋60y≥900，

??x，y≥0，x，y∈N.

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且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.

作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴z

上截距最小，即z取得最小值．

2400

故应配备A型车5辆、B型车12辆．

20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，?，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 03960744

888i＝18i＝1x y w i＝1 (xi－x) 2i＝1 (wi－w)2  (xi－ (wi－x)(yi－y) 1 469 w)(yi－y) 108.8 46.6 563 6.8 289.8 1.6 18表中wi＝xi，w＝w.

8i＝1i

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

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(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，?，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n

 ?u－u??vi－v?^i＝1i^^β＝，α＝v－βu. n2

 ?u－u?i＝

i1

[解析] (1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(2) 令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于

^

d＝

i＝1

? ?wi－w??yi－y?

? ?wi－w?2

8

8

108.8＝＝68， 1.6

i＝1

^^

c＝y－dw＝563－68×6.8＝100.6，

^^

所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68x.

(3)(ⅰ)由(2)知，当x＝49时，

^

年销售量y的预报值y＝100.6＋6849＝576.6， ^

年利润z的预报值z＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ^

z＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.

13.6^

所以当x＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利

2润的预报值最大．

21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方22

案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则

35不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 03960745

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

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(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

22

[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影

35响．

记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，

则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件， 221

因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，

355222

P(X＝2)＝×(1－)＝，

355222

P(X＝3)＝(1－)×＝，

3515

11

所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，

1511

即这2人的累计得分X≤3的概率为. 15

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1、X2的分布列如下：

X1 P

X2 P 0 9 253 12 256 4 250 1 92 4 94 4 91448所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，

9993912412

E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.

2525255因为E(X1)>E(X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

22．(本题满分12分)(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜32

对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互

43不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：导学号 03960746

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

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(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

[解析] (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．

－－－－

由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得

－－－－

P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)

－－－

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋－

P(A)P(B)P(C)P(D)

323212323132＝×××＋2×(×××＋×××) 4343434343432＝. 3

2

所以“星队”至少猜对2个成语的概率为. 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111

P(X＝0)＝×××＝，

4343144

31111211105

P(X＝1)＝2×(×××＋×××)＝＝，

4343434314472

313131121231121225

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

434343434343434314432111132121

P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，

434343431441232313212605

P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＝＝，

43434343144123232361

P(X＝6)＝×××＝＝.

43431444可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4152515123

所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 14472144121246

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(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

[解析] (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．

－－－－

由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得

－－－－

P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)

－－－

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋－

P(A)P(B)P(C)P(D)

323212323132＝×××＋2×(×××＋×××) 4343434343432＝. 3

2

所以“星队”至少猜对2个成语的概率为. 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111

P(X＝0)＝×××＝，

4343144

31111211105

P(X＝1)＝2×(×××＋×××)＝＝，

4343434314472

313131121231121225

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

434343434343434314432111132121

P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，

434343431441232313212605

P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＝＝，

43434343144123232361

P(X＝6)＝×××＝＝.

43431444可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4152515123

所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 14472144121246

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