2004-2013上海历年高考数学函数大题-理

2004-2013上海历年高考数学函数大题-理 汇总

2004-2013上海历年高考数学函数大题-理

（2004上海）18、(本题满分12分)

某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

x28

12 8 x

(0 x ). 【解】由题意得xy x 8,∴y 4xx4

于定, 框架用料长度为

x 2y

1 2

当(x

3x ) 2216

x 2

x

. 42

3

216

,

即x 8 . x

此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

（2004上海）19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

记函数f(x)

A,g(x) lg[(x a 1)(2a x)](a 1) 的定义域为B.

(1) 求A；

(2) 若B A, 求实数a的取值范围. 19、【解】(1)2

x 3x 1

0, 得 0, x 1或x 1 x 1x 1

即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)

(2) 由(x a 1)(2a x) 0, 得(x a 1)(x 2a) 0. ∵a 1,∴a 1 2a, ∴B (2a,a 1).

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∵B A, ∴2a 1或a 1 1, 即a ∴

1

或a 2, 而a 1, 2

11 a 1或a 2, 故当B A时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1) 22

（2004上海）20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

已知二次函数y f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y f2(x)的图象与直线y x的两个交点间距离为8,f(x) f1(x) f2(x). (1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 证明：当a 3时，关于x的方程f(x) f(a)有三个实数解. 20、【解】(1)由已知,设f1(x) ax,由f1(x) 1,得a 1, ∴f1(x) x.

设f2(x)

2

2

k

(k>0),它的图象与直线y x的交点分别为 x

A

，B(

882

.故f(x) x . xx8822

(2) 【证法一】f(x) f(a),得x a ,

xa

8822

即 x a .

xa

8822

在同一坐标系内作出f2(x) 和f3(x) x a 的大致图象,其中f2(x)的图象

xa

82

是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0,a )为顶点,

a

由AB 8,得k 8, ∴f2(x) 开口向下的抛物线.

因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x) f(a)有一个负数解.

2

又∵f2(2) 4，f3(2) 4 a

8 a

当a 3时,f3(2) f2(2) a

2

8

8 0, a

∴当a 3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x) f(a)有两个正数解.

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因此,方程f(x) f(a)有三个实数解. 【证法二】由f(x) f(a),得x2 即(x a)(x a 方程x a

88 a2 , xa

8

) 0,得方程的一个解x1 a. ax

8

0化为ax2 a2x 8 0, ax

4

由a 3， a 32a 0,得

x2

, x3 ∵x2 0,x3 0, ∴x1 x2,且x2 x3.

24

若x1 x3,

即a

则3a , a 4a,

得a

0或a 这与a 3矛盾, ∴x1 x3. 故原方程f(x) f(a)有三个实数解.

（2005上海）21．（本题满分16分）（4+6+6=16分）对定义域是Df、Dg的函数y f(x)、

f(x)g(x),当x Df且x Dg

. y g(x)，规定：函数h(x) f(x),当x Df且x Dg

g(x),当x D且x D

fg

（1）若函数f(x)

12

，g(x) x，写出函数h(x)的解析式； x 1

（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；

（3）若g(x) f(x )，其中 是常数，且 0, ，请设计一个定义域为R的函数y f(x)，及一个 的值，使得h(x) cos4x，并予以证明.

x2

解（1）h(x) x 1

1

x ( ,1) (1, )

x 1

x21

x 1 2. （2）当x 1时,h(x)

x 1x 1

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若x 1,则h(x) 4,其中等号当x=2时成立， 若x 1,则h(x) 0,其中等号当x=0时成立， ∴函数h(x)的值域( ,0] {1} [4, ) （3）[解法一]令f(x) sin2x cos2x, 则g(x) f(x ) sin2(x

4

,

) cos2(x ) cos2x sin2x, 44

于是h(x) f(x) f(x ) (sin2x cos2x)(cos2x sin2x) cos4x. [解法二]令f(x) 1

2sin2x,

2

，

则g(x) f(x ) 1 2sin2(x

2

) 1 2sin2x,

2

于是h(x) f(x) f(x ) (1 2sin2x)(1 2sin2x) 1 2sin2x cos4x. （2005上海）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满

分8分，第3小题满分6分.

1,2 ,P22,2,P33,2, ,Pnn,2在直角坐标平面中，已知点P1

2

3

n

，其中n是正整数，

对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An 1关于点Pn的对称点.

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x 0,3 时，f(x) lgx.求以曲线C为图象的函数在 1,4 上的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标.

[解]（1）设点A0(x,y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2 x,4 y),

A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2 x,4 y)，所以，A0A2 {2,4}.

（2）[解法一] A0A2 {2,4}, f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移

4个单位得到.

因此，曲线C是函数y g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当

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x ( 2,1]时,g(x) lg(x 2) 4,于是,当x (1,4]时,g(x) lg(x 1) 4.

[解法二]设A0(x,y),A2(x2,y2),于是

x2 x 2

y y 4 2

若3 x2 6,则0 x2 3 3,于是f(x2) f(x2 3) lg(x2 3).

当1 x 4时,则3 x2 6.y 4 lg(x 1), 当x {1,4]时,g(x) lgx( 1) 4. （3）A0An A0A2 A2A4 An 2An

由于A2k 2A2k 2P2k 1P2k,得A0An 2(P1P2 P3P4 Pn 1Pn)，

2[(1,2) (1,2) (1,2

3n 1

n2(2n 1)4(2n 1)

)] 2, {n,

233

（2006上海）17．（本小题满分12分）

求函数y 2cos(x )cos(x ) sin2x的值域和最小正周期。

44

解：y 2cos(x )cos(x )x 1122

2(cosx sinx)x

cos2xx

2sin(2x )

6

∴

函数

y 2cos(x )cos(x )x的值域是[ 2,2],最小正周期是

；

（2006上海）18．（本小题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相

距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC=20+10－2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10 ∵

2

2

2

7.

,

3

sinACBsin120

, ∴sin∠ACB=

720107

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∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

（2007上海）17．（本题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a 2,

C

π

，4

cos

B2，求△ABC的面积S．

25

43

解： 由题意，得cosB ，B为锐角，sinB ，

55

sinA sin(π B C) sin

由正弦定理得 c

3π 72

B ，

10 4

10111048

， S ac sinB 2 ．

227577

（2006上海）22．（本小题满分18分）

a

已知函数y x 有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在(0,a]上是

x

减函数，在[, )上是增函数。

2b

(1) 如果函数y x ( x > 0 )的值域为[6, )，求b的值；

x

c

（常数c > 0）在定义域内的单调性，并说明理由； 2x

ac

对函数y x 和y x2 2（常数a > 0）作出推广 ，使它们都是你所推

xx

广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并

111

求函数F(x) (x2 )n (2 x)n（n是正整数）在区间[,2]上的最大值和最

x2x

小值（可利用你的研究结论）。

2bbb

[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是22，则22=6, ∴b=log29.

x

(2) 研究函数y x2

(2) 设0<x1<x2,y2－y1=x2

2

ccc222

x (x x)(1 ). 1212222x2x1x1 x2

当

c<x1<x2时, y2>y1, 函数y=x2

c

x2

在[

c,+∞)上是增函数；

当0<x1<x2< 又y=x

2

c时y2<y1, 函数y=x2

cx2

在(0,

c]上是减函数.

cx2

是偶函数，于是，

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该函数在(－∞,－

(3) 可以把函数推广为y=x

c]上是减函数, 在[－c,0)上是增函数；

a

(常数a>0),其中n是正整数. nxan2 当n是奇数时,函数y=x n在(0,a]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,

x

n

在(－∞,－ 当n是偶数时,函数y=x

n

2a]上是增函数, 在[－2a,0)上是减函数；

axn

在(0,

2n

a]上是减函数,在[2a,+∞) 上是增函数,

2 在(－∞,－ F(x)=(x

2

a]上是减函数, 在[－a,0)上是增函数；

11

)n+(2 x)n xx

111102n12n 3rn

=Cn(x 2n) Cn(x 2n 3) Cn(x2n 3r2n 3r) Cn(xn n)

xxxx1

因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

219n9n

所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()+()；

224

当x=1时F(x)取得最小值2

n+1

；

（2007上海）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满

分8分．

近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%．

则2006年全球太阳电池的年生产量为

670 1.36 1.38 1.40 1.42 249.89(兆瓦)．

1420(1 x)4 （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则≥95%．

2499.8(1 42%)4

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解得x≥0.615．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．

（2007上海）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知函数f(x) x2

ax

(x 0，常数a R)．

（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f(x)在x [2， )上为增函数，求a的取值范围． 解：（1）当a 0时，f(x) x，

对任意x ( ，0) (0， )，f( x) ( x) x f(x)， 当a 0时，f(x) x2

a

(a 0，x 0)， x

2

2

2

f(x)为偶函数．

取x 1，得 f( 1) f(1) 2 0，f( 1) f(1) 2a 0， f( 1) f(，1)f

(1 )f，

函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x1 x2， f(x1) f(x2) x1

2

(x x2)aa2

x1x2(x1 x2) a ， 1 x2

x1x2x1x2

要使函数f(x)在x [2， )上为增函数，必须f(x1) f(x2) 0恒成立． x1 x2 0，xx1 24，即a x1x2(x1 x2)恒成立． 又 x1 x2 4， x1x2(x1 x2) 16． a的取值范围是( ，16]．

解法二：当a 0时，f(x) x，显然在[2， )为增函数．

当a 0时，反比例函数

2

a

在[2， )为增函数， x

f(x) x2

a

在[2， )为增函数． x

当a 0时，同解法一．

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（2008上海）18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分.

已知函数f(x) sin2x，g(x) cos 2x 的图像分别交于M、N两点。 (1) 当 t

,直线x t(t R)与函数f(x)、g(x)6

4

时，求|MN|值；

(2) 求|MN|在t 0,

时的最大值. 2

（2008上海）19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满

分8分.

已知函数f(x) 2

x

1。 2|x|

(1) 若f(x) 2，求x的值；

(2) 若2f(2t)+mf(t)≥0对于t [1,2]恒成立，求实数m的取值范围。

（2009上海）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

t

a

0.1 15ln,(x 6) a x

有时可用函数f(x) 描述学习某学科知识的掌握程度，其

x 4.4 ,(x 6) x 4

中x表示某学科知识的学习次数（x N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1） 证明：当x 7时，掌握程度的增加量f(x 1) f(x)总是下降； （2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的

a

的取值区间分别为

*

(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请

确定相应的学科。

20.证明（1）当x 7时，f(x 1) f(x)

0.4

(x 3)(x 4)

而当x 7时，函数y (x 3)(x 4)单调递增，且(x 3)(x 4)>0……..3分

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故f(x 1) f(x)单调递减

当x 7时，掌握程度的增长量f(x 1) f(x)总是下降……………..6分

（2）由题意可知0.1+15ln整理得

a

=0.85……………….9分 a 6

a

e0.05 a 6

e0.05

解得a 0.05 6 20.50 6 123.0,123.0 (121,127]…….13分

e 1

由此可知，该学科是乙学科……………..14分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2009上海）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数y f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a 0)，函数y f(x a)与；若函数y f(ax)与y f 1(x a)互为反函数，则称y f(x)满足“a和性质”。 y f 1(ax)互为反函数，则称y f(x)满足“a积性质”

（1） 判断函数g(x) x 1(x 0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数y f(x)(x 0)对任何a 0，满足“a积性质”。求y f(x)的表达式。 解，函数g(x) x 1(x

0)的反函数是g(x)

2

1

2

x

1)

g 1(x 1) x 0)

2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

而g(x 1) (x 1) 1(x

1),其反函数为y 故函数g(x) x 1(x 0)不满足“1和性质”

2

1(x 1)

（2）设函数f(x) kx b(x R)满足“2和性质”，k 0.

f 1(x)

x bx 2 b

…….6分 (x R), f 1(x 2)

kk

x b 2k

而f(x 2) k(x 2) b(x R),得反函数y ………….8分

k

x 2 bx b 2k

由“2和性质”定义可知=对x R恒成立

kk

k 1,b R,即所求一次函数为f(x) x b(b R)………..10分

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（3）设a 0，x0 0，且点(x0,y0)在y f(ax)图像上，则(y0,x0)在函数y f图象上，

1

(ax)

f(ax0) y0故 1，可得ay0 f(x0) af(ax0)， ．．．．．．12分

f(ay) x00

令ax0 x，则a 综上所述，1 b1q而f

1

xf(x0)xx

。 f(x0) 。 ．．．．．．14分 f(x)，即f(x) 0

x0x0x bnf(x)

n 1

kkk

，其反函数就是y ， (k 0)，此时f(ax)

xaxax

(ax)

k 1

，故y f(ax)与y f(ax)互为反函数 。 ．．．．．．16分 ax

（2010上海）22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x、y、m满足x m＞y m，则称x比y远离m. （1）若x2 1比1远离0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3 b3比a2b

ab2远离2； （3）已知函数f(x)的定义域D=｛x|x≠

kππ

.任取x D，f(x)等+，k∈Z，x∈R ｝

24

于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

解析：

(1) x ( , )；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b

，有a3 b3

2a2b ab2 2

因为|a3 b3 2 |a2b ab2 2 (a b)(a b)2 0，

所以|a3 b3 2 |a2b ab2 2，即a3 b3比a2b ab2

远离2

3

sinx,x (k ,k ) 44

(3) f(x) ，

cosx,x (k ,k )

44

性质：1 f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2 f(x)是周期函数，最小正周期T 3 函数f(x)在区间(

2

，

k k k k

,]单调递增，在区间[, )单调递减，k Z， 242224

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4 函数f(x)

的值域为． （2010上海）19.（本题满分12分） 已知0 x

2

，化简：

x

lg(cosx tanx 1 2sin2) x )] lg(1 sin2x).=0

24

（2011上海）20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）

已知函数f(x) a 2 b 3，其中常数a,b满足a b 0 （1）若a b 0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若a b 0，求f(x 1) f(x)时的x的取值范围．

（2012上海）20．已知函数f(x) lg(x 1).

（1）若0 f(1 2x) f(x) 1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x) f(x)，求函数

x

x

y g(x)(x [1,2])的反函数.（8分）

2 2x 0[解]（1）由 ，得 1 x 1.

x 1 0

1得1 由0 lg(2 2x) lg(x 1) lgx 1

x 1

10. ……3分

3

因为x 1 0，所以x 1 2 2x 10x 10， 由

x . 3

1 x 1

x 1得 2. ……6分 x 3 3

（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此

y g(x) g(x 2) g(2 x) f(2 x) lg(3 x). ……10分 由单调性可得y [0,lg2].

因为x 3 10，所以所求反函数是y 3 10，x [0,lg2]. ……14分

（2012上海）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）

正南方向12海

里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y

x

x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 y

1249

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8

2004-2013上海历年高考数学函数大题-理 汇总

[解]（1）t 0.5时，P的横坐标xP=7t 由|AP|=

9492

7，代入抛物线方程y

12x2

中，得P的纵坐标yP=3. ……2分

，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分

7

由tan∠OAP=3 12 7307

，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向

7

为北偏东arctan30弧度. ……6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t). 由vt 因为t

22

2

(7t)2 (12t2 12)2，整理得v2 144(t2 t12) 337.……10分

1

t2

2，当且仅当t=1时等号成立，

2

所以v 144 2 337 25，即v 25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分

（2013上海）20．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100(5x 1 )元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

3x

33

)×2＝200(5x＋1－)． xx

31

由题意，200(5x＋＋1－)≥3 000，解得x≤－或x≥3.

x5

解：(1)生产该产品2小时的利润为100(5x＋1－又1≤x≤10，所以3≤x≤10.

900

小时， x

390031

获得利润为100(5x 1 ) ＝90000( 2 5)，1≤x≤10.

xxxx

31

记f(x)＝ 2 ＋5,1≤x≤10，

xx

1121

则f(x)＝ 3( ) 5，当且仅当x＝6时取到最大值．

x612

61

最大利润为90 000×＝457 500元．

12

(2)生产900千克该产品，所用的时间是

因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．

(2013上海)21．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0. (1)若y＝f(x)在

2

,上单调递增，求ω的取值范围； 43

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移

个单位，再向上平移1个单位，得到函数y6

＝g(x)的图像．区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．

2004-2013上海历年高考数学函数大题-理 汇总

解：(1)因为函数y＝f(x)在 所以

2

上单调递增，且ω＞0， , 43

2

≥，且－≤ ， 2 32 4

3

. 4

所以0＜ω≤

(2)f(x)＝2sin2x，

个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2(x )＋1的

66

图像，所以g(x)＝2sin2(x )＋1.

65 3

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，

124

2

所以两个相邻零点之间的距离为或.

33

将y＝f(x)的图像向左平移

若b－a最小，则a和b都是零点，

*

此时在区间[a，π＋a]，[a,2π＋a]， ，[a，mπ＋a](m∈N)上分别恰有3,5， ，2m＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a]上恰有29个零点， 从而在区间(14π＋a，b]上至少有一零点， 所以b－a－14π≥

5

上恰有30个零点， 12312

43

因此，b－a的最小值为14 .

33

另一方面，在区间

. 3 5

,14

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