苏教版高一数学指数函数1

§17指数函数

江苏省启东中学 黄群力

[教学目标]理解指数函数的概念和意义,观察指数函数图象变化规律和底

数的关系,结合函数定义域和值域加深对指数函数图象和性质的认识。

[学习指导]

重点：对指数函数图象和性质理解掌握，并能运用。 难点：对图象和性质的深刻认识和把握。 教材分析:

1、指数函数图象和性质：

函数y?ax(a?0,a?1,x?R)叫指数函数，它的图象和性质见表

指数函数y?ax?a?0,a?1?的性质 对应图象 y a?1 0 ?a?1 (0,1) x 0 y 0?a?1 a?1 x 0 y 0?a?1 a?1 (0,1) 定义域为???,???，值域为?0,??? x为任意实数，ax?0恒成立，图象位于 x轴上方 a0?1,y?ax的图象都经过点?0,1? 0 x 0?y?1 y a ?1,a? 1 a1?a 0 x 当a?1时，若x2?x1，则ax2?ax1，它是增函数；当0?a?1时，若x2?x1，则0?a?1 y a?1 ax2?a，它是减函数 xx10 x y 当a?1时，若x?0，则a?1； 若x?0，则0?ax?1 y?1 1 0 y x 当0?a?1时，若x?0，则0?ax?1； 若x?0，则ax?1 y?1 1 0 0?y?1 x 2、学习的注意问题

①定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a>0的前提下，x可以是任意实数。

②规定a>0，a≠1的原因是：在y＝ax中，若a＝1，则y＝1，它是一个常数函数。为了保证当x取分数时ax有意义，必须要求a≥0；但是a＝0时，ax只有x>0有意义，且y＝ax＝0也有常数函数。 3、学习方法、解题技巧、思维方法

① 当底数a大小不定时，必须分“a>1”和“0

② 当01时，x→－∞，y→0，当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0

③ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系。

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 由y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。

[例题分析]

例1． （Ⅰ） 指数函数f(x)?ax(a>0且a≠1)的图象过点（3，π），则f(?3)?分析：先求出y?ax解析式，再代入即可。

② （Ⅱ） 如图

①

y③

1?

④ x

是指数函数①y?ax，②y?bx，③y?cx，④y?dx图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（B）

A：a法二、x=1与指数函数①②③④的交点纵坐标分别为a、b、c、d，

根据a、b、c、d位置即可判断出a、b、c、d大小，选（B）

评注：法二比法一更简单易懂，法二中x=1称为指数函数特征线。熟练运

用特征线比较底数大小带来极大方便。

例2． （Ⅰ）若(a2?a?2)x?(a2?a?2)1?x，求x取值范围. 分析：首选构造指数函数y?(a2?a?2)x

∵a2?a?2?(a?)2??1 ∴在R上是增函数,从而问题解决。 解答：∵a2?a?2?(a?)2??1

∴y?(a2?a?2)x在R上是增函数 ∴x＞1-x ∴x?

1212741274(Ⅱ)已知：0y>1，则下列各式中正确的是（B）

A：xa?ya B：ax?ay C：ax?ay D：ax?ya

xaxx解答：对于A：∵a?()a?()0?1 ∴xa?ya

yyy对于B：根据指数函数性质知，正确。 对于D：∵ax?a0?1,而ya?y0?1 ∴ax?ya 综上所述，选（B） 例3． 求下列函数定义域及值域

①y?21x?42；②y?()?x；③y?4x?2x?1?1；④y?1032x?1x?1

分析：由于指数函数y?ax（a>0且a≠1）的定义域R，∴函数y?af(x) （a>0

且a≠1）与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数单调性求值域。 解答：①令x－4≠0 ∴定义域：?x/x?4?

1?0 ∴2x?4?1 ∴值域：?y/y?0且y?1? ∵x?41②定义域：R

∵

233x?0 ∴y?()?x?()x?()?1 ∴值域?y/y?1?

3220③定义域：R

∵y?(2x)2?2?2x?1?(2x?1)2 又∵2x?0 ∴y>1 ∴值域：?y/y?1? ④令

2xx?1?1?0 ∴?0 ∴x<－1或x≥1 x?1x?1∴定义域：?x/x??1或x?1? 值域：?y/y?1且y?10?

评注：求与指数函数有关值域时，注意充分充分考虑并利用指数函数本身

要求并利用好单调性，第①小题切不能漏掉y＞0. 例4．求函数y?4?x?2?x?1，x?[?3,2]的最大值和最小值。 解答：∵y?()x?()x?1?()2x?()x?1?[()x?]2?

11111134222224113令t?()x∴y?(t?)2?

224133又∵x?[?3,2]∴?t?8 即：?y?57∴值域：[，57]

444评注：通过指数运算，配凑成二次式，从而解决问题。

[本课练习]

1、

若c＜0，则不等式中成立的一个是（C） A：c?2c B：c?()c C：2c?()c D：2c?()c 2、

函数y?()13x?1121212值域是（B）

A：(－∞，0) B：（0，1〕 C：[1，＋∞） D：（－∞，1〕 3、

函数y?ax?2?1(a?0且a?1)图象必过点（D） A：(0，1) B：（1，1） C：（2，0） D：（2，2） 4、

当x＞0，函数f(x)?(a2?1)x值总大于1，则a的范围（C）

A：1?a?2 B：a?1 C：a?2 D：a?2 5、

设函数

?x??21?1(x?0)??f(x)???，若，则的取值范围（D）

2??x(x?0)??A：（－1，1） B：（－1，＋∞） C：(??,?2)?(0,??) D：(??,?1)?(1,??) 6、函数y?ax?4(a?0且a?1)，当a?(0,1)时，有最（大）值是（a?4）；当a?(1,??)时，有最（小）值是（a?4）。

７、f(x)?2x的图象，对于任意x1,x2∈R能否确定[f(x1)?f(x2)]和f(大小？

答：能。如右图所示：1[f(x1)?2

212x1?x2)2f(x2)]?f(x1?x2) 2y f(x2) f(x1)?f(x2) 2x?x2 f(1)2f(x1)0 x1x1?x22 x2 x

A：1?a?2 B：a?1 C：a?2 D：a?2 5、

设函数

?x??21?1(x?0)??f(x)???，若，则的取值范围（D）

2??x(x?0)??A：（－1，1） B：（－1，＋∞） C：(??,?2)?(0,??) D：(??,?1)?(1,??) 6、函数y?ax?4(a?0且a?1)，当a?(0,1)时，有最（大）值是（a?4）；当a?(1,??)时，有最（小）值是（a?4）。

７、f(x)?2x的图象，对于任意x1,x2∈R能否确定[f(x1)?f(x2)]和f(大小？

答：能。如右图所示：1[f(x1)?2

212x1?x2)2f(x2)]?f(x1?x2) 2y f(x2) f(x1)?f(x2) 2x?x2 f(1)2f(x1)0 x1x1?x22 x2 x

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