2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数

1 函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( )

A.12

B.32

C ．0

D ．－12

6．A [解析] 由已知可得，f ??

??23π6＝f ????17π6＋sin 17π6＝f ????11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ????5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ???

?－π6＝sin 5π6＝12. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；

当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；

当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )

A ．(0，1]

B ．[0，1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

2．C [解析] 由x 2－x >0，得x >1或x <0.

3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1

的定义域为( ) A.???

?0，12 B ．(2，＋∞) C. ????0，12∪(2，＋∞) D. ???

?0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，?????x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得?????x ＞0，x ＞2或x ＜12

.故选C.

2

B2 反函数

12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )

A ．y ＝g (x )

B ．y ＝g (－x )

C ．y ＝－g (x )

D ．y ＝－g (－x )

12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．

B3 函数的单调性与最值

2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；

当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；

当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

21．、[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3

，其中k <－2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)；

(2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；

(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．

12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝?

????－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________． 12．1 [解析] 由题意可知，f ????32＝f ????2－12＝f ????－12＝－4???

?－122＋2＝1. 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：

①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“?b ∈R ，?a ∈D ，f (a )＝b ”；

3 ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；

③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )?B ；

④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1

(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．

取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．

当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0?[－M ，M ]，故③正确．

对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1

(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1

(x ＞－2)． 易知f (x )∈????－12，12，所以存在正数M ＝12

，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．

21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .

所以g ′(x )＝e x －2a .

当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．

当a ≤12

时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；

当a ≥e 2

时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；

当12

时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，

于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .

综上所述，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，

则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

4 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.

同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.

故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12

. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．

因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有

g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.

由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，

则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，

解得e －2

当e －2

若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，

从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0.

又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.

故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.

由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增．

所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)

故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．

综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．

B4 函数的奇偶性与周期性

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；

当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；

当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．

3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

3．C [解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，

所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.

3．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，

5 则下列结论中正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数

3．C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．

15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2

B5 二次函数

16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间???π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．

16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at

＋1.因为x ∈???

?π6，π2，所以t ∈????12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈????12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间???

?π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间????12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12

，所以a ∈(－∞，2]．

B6 指数与指数函数

4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(

)

图1-

1

A

B

C D

图1-2

6

4．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.

选项A 中的函数为y ＝???

?13x

，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．

3．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．－1

3．A [解析] g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.

3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213

， c ＝log 1213

，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a

3．C [解析] 因为0log 1212

＝1，所以c >a >b . 2．，[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )

A ．[0，2]

B ．(1，3)

C ．[1，3)

D ．(1，4)

2．C [解析] 根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.

5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )

A. 1x 2＋1＞1y 2＋1

B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)

C. sin x ＞sin y

D. x 3＞y 3

5．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1

＞1y 2

＋1都不一定正确，故选D. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )

A ．f (x )＝x 12

B ．f (x )＝x 3

C ．f (x )＝???

?12x

D ．f (x )＝3x 7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝????12x 为单调递减函数，所以排除

选项D.

11．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 11.10 [解析] 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012

＝10.

B7 对数与对数函数

5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )

A. 1x 2＋1＞1y 2＋1

B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)

C. sin x ＞sin y

D. x 3＞y 3

7 5．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1

＞1y 2

＋1都不一定正确，故选D.

3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝

1（log 2x ）2－1

的定义域为( ) A.???

?0，12 B ．(2，＋∞) C. ????0，12∪(2，＋∞) D. ????0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，?????x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得?????x ＞0，

x ＞2或x ＜12

.故选C.

4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(

) 图1-

1

A

B

C D

图1-2

4．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.

选项A 中的函数为y ＝???

?13x ，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．

13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．

13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12

8 ＝2e 5，

∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5，

∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝

ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.

3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213

， c ＝log 1213

，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b

C ．c >a >b

D ．c >b >a

3．C [解析] 因为0log 1212

＝1，所以c >a >b . 4．[2014·天津卷] 函数f (x )＝log 12

(x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

4．D [解析] 要使f (x )单调递增，需有?

????x 2－4>0，x <0，解得x <－2. 7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )

a a x 的图像可能是(

)

A C 图1-2

图1-2

7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0

1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.

12．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．

12．－14 [解析] f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝12

log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝????log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14

.

B8 幂函数与函数的图像

4．、、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )

9 图1-

1

A

B

C D

图1-2

4．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.

选项A 中的函数为y ＝???

?13x ，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．

10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12

(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )

A.????－16，16

B.???

?－66，66 C.????－13，13 D.???

?－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12

()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；

当a 2

f (x )＝12

()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2； 当x ≥2a 2时，

f (x )＝12

()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2. 综上，f (x )＝?????－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，

10 观察图象可知，要使?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－

66≤a ≤66

.故选B. 8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A. ????0，12

B. ????12，1

C. (1，2)

D. (2，＋∞) 8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数

f (x )，

g (x )有两个交点，则k ＞12

，且k ＜1.故选

B. 7．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )

a a x 的图像可能是(

)

A C 图1-2

图1-2

7．D [解析] 只有选项D 符合，此时0

1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.

B9 函数与方程

11 10．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12

(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1e

) B ．(－∞，e) C.????－1e ，e D.?

???－e ，1e 10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有

m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12

－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)． 14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，

则实数a 的取值范围为________．

14．(0，1)∪(9，＋∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当

y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由?

????－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2

－4a ＝a 2－10a ＋9＝0，解得a ＝1或a ＝9.故当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0

>9.

6．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x ＋ax ＋bx ＋c ，且0

A ．c ≤3

B ．3

C ．6

D ．c >9

6．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得?

????－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ? ?????－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0??

????a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0

B10 函数模型及其应用

8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.p ＋q 2

B.（p ＋1）（q ＋1）－12

C.pq

D.（p ＋1）（q ＋1）－1

8．D [解析] 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1.

10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )

12 图1-2

A ．y ＝1125x 3－35x

B ．y ＝2125x 3－45

x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15

x 10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′

＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立?????－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得???a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35

x .

B11 导数及其运算

18．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.

(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；

(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．

18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，

f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.

令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3

， x 2＝－1＋4＋3a 3

，x 1

当x x 2时，f ′(x )<0；

当x 10.

故f (x )在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ??

??－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在? ??

??－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，

①当a ≥4时，x 2≥1.

由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，

所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0

由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，

所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3

处取得最大值．

13 又f (0)＝1，f (1)＝a ，

所以当0

当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；

当1

21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.

(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；

(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p .

21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．

②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．

当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．

(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .

①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p 成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1成立．

由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *.

当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p

＋c p a －p

k ＝ 1＋1p ????

c

a p k －1.

由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ????

c

a p k －1<0.

由(1)中的结论得????a k ＋1

a k p ＝??

??

1＋1p ????c

a p k －1p

>1＋p · 1p ????

c

a p k －1＝c

a p k .

因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p ，

所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p 也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．

再由a n ＋1

a n ＝1＋1p ????

c

a p n －1可得a n ＋1

a n <1，

即a n ＋1

综上所述，a n >a n ＋1>c 1p ，n ∈N *.

方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，

14 所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ???

?1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p

. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p

>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1????1＋1p ????c a p 1－1c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p

， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p

成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p

)， 即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p

， 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p

均成立． 20．、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值；

(2)证明：当x >0时，x 2

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .

又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.

所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.

令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.

当x

当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．

所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，

且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，

f (x )无极大值．

(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .

由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，

故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，

所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2

(3)证明：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x >0时，x 2

故当x >0时，x 2

取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

②若0

>1，要使不等式x 2kx 2成立． 而要使e x >kx 2成立，则只要x >ln(kx 2)，只要x >2ln x ＋ln k 成立．

令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x

. 所以当x >2时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．

15 取x 0＝16k >16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增．

又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ，

易知k >ln k ，k >ln 2，5k >0，所以h (x 0)>0.

即存在x 0＝16c

，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

方法二：(1)同方法一．

(2)同方法一．

(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝4c

， 由(2)知，当x >0时，e x >x 2，所以e x

＝e x 2·e x 2>????x 22·????x 22

， 当x >x 0时，e x >????x 22????x 22>4c ????x 22

＝1c x 2， 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

方法三：(1)同方法一．

(2)同方法一．

(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13

x 3

令h (x )＝13

x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x . 由(2)知，当x >0时，x 2

从而h ′(x )<0，h (x )在(0，＋∞)上单调递减，

所以h (x )

x 3x 0时，有1c x 2<13

x 3

10．、[2014·广东卷] 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

10．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，

所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.

13．[2014·江西卷] 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是

________．

13．(－ln 2，2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，

所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．

18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．

(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；

(2)若f (x )在区间????0，13上单调递增，求b 的取值范围． 18．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x

，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈???

?0，12

16 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.

(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈????0，13时，－x 1－2x

<0， 依题意当x ∈????0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19

. 所以b 的取值范围为?

???－∞，19. 7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －

1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1

7．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1

－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.

8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．D [解析] y ′＝a －1x ＋1

，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．

(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；

(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x 1＋x (x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x

， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x

＝x 1＋2x ， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx . 下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x

，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x 1＋kx

. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x

1＋kx 1＋x 1＋kx

＝x 1＋（k ＋1）x ，即结论成立． 由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥

ax 1＋x

恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)，

17 则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a

（1＋x ）2，

当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax

1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．

当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，

∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，

∴φ(a －1)<φ(0)＝0.

即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，

故知ln(1＋x )≥ax

1＋x 不恒成立．

综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n

n ＋1，

比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：

方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x

1＋x ，x >0.

令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1

下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，12

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1

k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1

k ＋1＋1k ＋2

k ＋1＝ln(k ＋2)，

即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x

1＋x ，x >0.

令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1

n ＋1.

故有ln 2－ln 1>12，

ln 3－ln 2>13，

18 ……

ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1

， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1

， 结论得证．

方法三：如图，??0n

x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1

是图中所示各矩形的面积和，

∴12＋23＋…＋n n ＋1>??0n x x ＋1d x ＝ ??0

n

????1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．

19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．

(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；

(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列????

??a n b n 的前n 项和T n .

19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以

2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，

所以S n ＝na 1＋n （n －1）2

d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，

其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2

. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2

，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1.

从而a n ＝n ，b n ＝2n ，

所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n 2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12

n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2

n －1， 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .

19 所以，T n ＝2n ＋

1－n －22n .

B12 导数的应用

21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．

21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .

所以g ′(x )＝e x －2a .

当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．

当a ≤12

时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；

当a ≥e 2

时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；

当12

时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，

于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .

综上所述，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，

则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.

同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.

故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12

. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．

因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有

g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.

由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，

则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，

20 解得e －2

当e －2

若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，

从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.

故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.

由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)

故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．

综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．

18．、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.

(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；

(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．

18．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，

f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.

令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a

3，

x 2＝－1＋4＋3a

3，x 1

所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．

当x x 2时，f ′(x )<0；

当x 10.

故f (x )在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ????

－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，

在? ????

－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．

(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，

①当a ≥4时，x 2≥1.

由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，

所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0

由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，

所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a

3处取得最大值．

又f (0)＝1，f (1)＝a ，

所以当0

当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；

当1

18．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈????0，π

2.

(1)求证：f (x )≤0；

(2)若a

2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．

21 18．解：(1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x 得

f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

因为在区间????0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间?

???0，π2上单调递减． 从而f (x )≤f (0)＝0.

(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”，“sin x x

当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈?

???0，π2恒成立． 当c ≥1时，因为对任意x ∈????0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0，所以g (x )在区间?

???0，π2上单调递减， 从而g (x )

???0，π2恒成立． 当0

???0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0. g (x )与g ′(x )在区间?

???0，π2上的情况如下：

因为g (x )在区间(0，x 0)上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈?

???0，π2恒成立”当且仅当g ????π2＝1－π2c ≥0，即0

. 综上所述，当且仅当c ≤2π

时，g (x )>0对任意x ∈????0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈?

???0，π2恒成立． 所以，若a

，b 的最小值为1. 20．、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值；

(2)证明：当x >0时，x 2

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .

又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.

所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.

令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.

当x

当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．