第九章 半群与群(Semigroups and Groups)

第九章 半群与群（Semigroups and Groups）

本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。

2－1 半群与含幺半群

定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=称为半群。 例2－1.1 ,,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。 例2－1.2 和都是半群。

例2－1.3 和都是半群。

定义2－1.2 含幺元e的半群U=称为含幺半群，常记作U=。在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。

例2－1.4 设S是任意非空集合，则和都是含幺半群。

例2－1.5 在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。长度为0的字符串称为空串，用 来表示。如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。

设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然是半群，是含幺半群。

定义2－1.3 对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。 在例2－1.1～例2－1.3中，除外都是交换半群，除，<2I+,+>和<2I+,×>外都是交换含幺半群。

例2－1.4的含幺半群也都是交换含幺半群。 定义2－1.4 设是半群（含幺半群），若S中存在一个元素g，可将S中任意元素a表示成a=gnn?I+,(n?N)，则称是循环半群（循环含幺半群）,g就称为是它的生成元。此时，常将记作。

注意在含幺半群中，我们规定任意元素的零次幂为幺元。 例2－1.6 <2I+,+>=<2>是循环半群。 例2－1.7 <{i,-1,-i,1},×>==<-i>,=和<{1,2,3,4},×5>=<2>=<3>都是循环含幺半群。

可见循环半群（循环含幺半群）的生成元不一定是唯一的，但它们一定是可交换的。 定理2－1.1 两个半群（含幺半群）的积代数是半群（含幺半群）。 证明 设和是两个半群，其积代数为。对S×T中任意三个元素和，因为( )

=<(s1*s2)*s3,(t1 t2) t3>== ( )故是半群。

设和是两个含幺半群，共中幺元分别为es和eT，则显然是半群的幺元,故是含幺半群。 ★

很明显，可交换半群（含幺半群）的积代数也是可交换的。

2－2 子半群与子含幺半群

子含幺半群的概念是子代数系统概念在（含幺）半群这种代数系统中的具体体现。 定义2－2.1 设是半群，T是S 的非空子集，若T对*封闭，则称是半群的子半群。

定义2－2.2 设是含幺半群，T是S的非空子集，若T对*封闭，且e?T，则称是含幺半群的子含幺半群。

易知子半群必是半群；子含幺半群必是含幺半群。

例2－2.1 对任意正整数m，是半群的子半群。

例2－2.2 设集合S={e,0,1}，若在S中规定二元运算*（见表2－2.1），

* e 0 1 e e 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 表2－2.1

则是含幺半群，从运算表可看出<{0,1},*>不是的子含幺半群。

定理2－2.1 设T是可交换含幺半群的等幂元构成的集合，则是的子含幺半群。

证明 因e2=e，故e?T，即T非空。又对T中任意元素a和b，因 (a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=a2*b2=a*b 故a*b?T。这就证明了是的子含幺半群。 ★

2－3 半群与含幺半群的同态和同构

本节中，将把代数系统运用的同态与同构的概念应用于半群（含幺半群），有关定义与性质，几乎是代数系统部分的平行照搬。

定义2-3.1 设U=和V=是两个半群。若存在映射（满射，单射，双射）f: S→T，对S中任意元素a和b，有

f(a*b)=f(a) f(b)

则称f是U到V的一个半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。 定义2－3.2 若半群U=到V=存在一个满同态（同构），则称U同态（同构）于V,记作U～V(U?V)。

定义2－3.3 设U=和V=是两个含幺半群。若存在映射（满射，单射，双射）f: S?T，对S中任意元素a和b，有 f(a*b)=f(a) f(b) f(es)=eT

则称f是U到V的一个含幺半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。

定义2－3.4 若含幺半群U=到V=存在一个满同态（同构），则称U同态（同构）于V，记作U～V(U?V)。

例2－3.1 我们已知例2－1.1中的U=是半群（也是含幺半群）。易知N到S的映射

是半群U到V的同态。但不是含幺半群U到V的同态。

例2－3.2 对半群（含幺半群）U＝和V＝,N到M4的映射

f: a?〔a(mod 4)〕

即是半群U到V的同态，也是含幺半群U到V的同态。

2－4 群

对子群再附加一些性质就可成为群。 群是代数“系统中研究得比较完美的一类，目前已有许多群的专著。在计算机科学中，群在快速加法器设计和纠错码理论等方面有广泛应用。

定义2－4.1 每个元素都有逆元的含幺半群U＝称为群。若群还满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群。

也就是说，设U=是代数系统，若满足： 1） 对G中任意元素a,b和c，有

(a*b)*c=a*(b*c)

2） 在G中存在元素e，对G中任意元素a，使 c*a=a*e=a

3） 对G中任意元素a，在G中存在元素a-1，使 a-1*a=a*a-1=e 则称U=(G,*)为群。若还满足

4） 对G中任意元素a和b，有 a*b=b*a 则称U=为交换群或阿贝尔群。

由定义2－4.1，定理1－1.1和定理1－1.4知群中的幺元和每个元素的逆元都是唯一的。且对群中任意元素a1,a2,?,am必有

。由定理1－1.3知除单个元素构成的群外，群无零元。还应注意，含幺半群中的等幂元不一定是唯一的，但群中的等幂元却一定是唯一的，即只有幺元一个。

例2－4.1 ,,,,,和都是交换群。 例2－4.2 和都是交换群，其中R[x]表示所有实系数多项式的集合。 显然，由定义2－4.1知，给空集合G，和其上的二元运算A，能构成群的判定过程如下：

（1） 验证*运算的封闭性 （2） 验证*运算的可结合性

（3） 验证题?e?G,?x?G有e*x=x*e=x （4） 验证?x?G,?x-1?G使x*x-1=x-1*x=e

上述四个步骤中至少一个步骤的验证不成立,都不是群。

定理2－4.1 半群是群的充要条件为存在左（右）幺元e1(er)，且每个元素对此左（右）幺元具有左（右）逆元。

证明 必要性是很明显的。 充分性，只证“左”的情况（“右”的情况完全类似），对G中任意元素a，设其左逆元为则因在此式两边左“乘” 的左逆元，可得即 也是a的右逆元。又因

即e1也是右幺元。故由定理1-1.1和定理1-1.4知e1=e， 可见是群。 ★

这个定理说明群定义中的条件可以削弱。

定理2－4.2 代数系统是群的充要条件为 1)对G中任意元素a,b和c，有

(a*b)*c=a*(b*c)

2）对G中任意元素a和b，方程a*x=b和y*a=b都有解。

证明 必要怀是很明显的。实际上，x=a-1*b和y=b*a-1就是2）中方

程的（唯一）解。

充分性：对G中任意元素a和b，设方程b*x=a的解为 d，方程y*b=b

的解为e，则有e*a=e*(b*d)=(e*b)*d=b*d=a，即e是左幺元。又方程y*a=e的解是a的左逆元。故由定理2－4.1知是群。 ★

定理2－4.3 若是群，则对*满足消去律。

证明 设a*b=a*c或b*a=c*a，则在等式两边左“乘”或右“乘” a-

1

即得b=c。 ★ 定理2－4.4 有限半群是群的充要条件为对*满足消去律。 证明 必要性由定理2－4.3即得。

充分性：由于有限半群满足消去律，可见其运算表中的每行（列）

都是G中元素的不同排列，故对G中任意元素a和b，方程a*x=b和y*a=b都有解。由定理2-4.2即知是群。 ★

我们知道，在半群（含幺半群）中可定义元素的正整数（非负整数）

次幂的概念，且相应的指数律成立。而在群中则可定义元素的整数次幂的概念。

定义2－4.2 设是幺元为e的群，则对G中任意元素a和任意 正整数m，可规定

a=e 0利用数学归纳法，易证对群中任意元素的整数次幂，其指数律也成立。 定义2－4.3 设是群，其幺元为e，则称

为群的阶。

而称

为群中元素a的阶。 定义2－4.4 n阶有限集合S={a1,a2,?,an}到S的双射P称为S的n次置换，常记作 其中P(ak)=aik,k=1,2,?，n。置换中列的次序显然无关紧要。置换中两行逆序的和若是偶（奇）数，则称这种置换为偶（奇）置换。

对n次置换Pi和Pj，规定Pi◇Pj=Pj○Pi，其中○是映射的合成。如设

则

Pi◇Pj= 可以证明

偶置换◇偶置换=偶置换 偶置换◇奇置换=奇置换 奇置换◇偶置换=奇置换 奇置换◇奇置换=偶置换

对二元运算◇，我们将某些n次置换的集合构成的群称为n次置换群。特别，将所有n次置换的集合（其元素共n!个）构成的群称为n次对称群，记作;将所有n次偶置换的集合（其元素共个）构成的群称为n次交代群，记作，这两个结论请读者自行证之。

例2－4.3 设S={1,2,3}，则所有3次置换为

运算表为

◇ P1 P2 P3 P4 P5 P6 P1 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P2 P2 P1 P5 P6 P3 P4 P3 P3 P6 P1 P5 P4 P2 P4 P4 P5 P6 P1 P2 P3 P5 P5 P4 P2 P3 P6 P1 P6 P6 P3 P4 P2 P1 P5

表2－4.1

可见<{P1,P2},◇>,<{P1,P3},◇>和<{P1,P4},◇>等都是3次置换群。 是3次对称群，其中S3={P1,P2,P3,P4,P5,P6}。是3次交代群，其中A3={P1,P5,P6}。 定义2－4.5 设是群，若G中存在一个元素g，可将G中任意元素a表示成a=gn，n?I，则称是循环群，g就称为是它的生成元，此时，常将记作。 定理2－4.5 设=是循环群。

1） 若?G?=n，则G={g0,g1,g2,?,gn-1}。

2） 若?G?=∞，则G={?,g-2,g-1,g0,g1,g2,?}。证明 对于1），有

12n-1

a) g,g,?,g都不等幺元e：

用反证法。若gm=e,0﹤m﹤n,则对于G中 任意元素gk。可设k=qm+r 0﹤r﹤m，故必有

gk=gqm+r=(gm)q*gr=eq*gr=gr

可见G中至多有m个元素，这与|G|=n矛盾。

b) g1,g2,?,gn-1,gn都互不相等；

用反证法。若gi=gj 1﹤i﹤j﹤n，则有gj-i=e 0﹤j-i﹤n，这与a)的结论矛盾。 故由a),b)的结论和|G|=n，得gn=g0=e，即1）的结论成立。 对于2），显然?g-2,g-1,g0,g1,g2,?也都互不相等，因而2）的结论成立。 可见n阶有限循环群生成元的阶为n，而无限循环群生成元的阶为∞。 ★ 定理 2－4.6 两个群的积代数是群。 证明 设和是两个群，其幺元分别为eG和eH，其积代数为，由定理2－1.1知是含幺半群，其幺元为。又G×H中任意元素有逆元，故是群。 ★

实际上，可以定义两个以上群的积代数，产生更高阶的群的积代数，本文从略。

2－5 子群与陪集

子群在群论中的地位，与子半群机子含幺半群在半群中的地位相似。

定义2－5.1 设是群，e是其幺元，S是G的非空子集，若对S中任意元素a和b，有

1) a*b?S

-1

2) a?S 3) e?S

则称是群的子群。

可见子群必是群，且其幺元与原群幺元一致。 <{e},*>和都是群的子群，这种子群常称为平凡子群。非平凡子群称为真子群。

i

设a是群中的任意元素，H={a|i?I}，则也是群的一个子群，称为由元素a生成的子群。

还应注意，定义2－5.1中的条件3）实际上是多余的。这是因为S是非空集合，故必存在元素d，从而由条件1）和2）可得出e=d*d-1?S。

例2－5.1 不是群的子群，因为它们的二元运算不同。

例2－5.2 不是群的子群。 例2－5.3 <2I,+>是群的子群。

例2－5.4 在例2－4.4中，<{P1,P2},◇>,<{P1,P3},◇>,<{P1,P4},◇>和都是3次对称群的子群。

定理2－5.1 设是群，S是G的非空子集，则是子群的充要条件为对S中任意元素a和b，有a*b-1?S。 证明 必要性是很明显的。

充分性：设群中的幺元为e，因为S是非空集合，故必存在元素d，从而e=d*d-1?S，由此对S中任意元素a和b有a-1=e*a-1?S，由此又有a*b=a*(b-1)-1?S。根据定义2-5.1即知是群的子群。 ★

这个定理是判断群的非空子集是否构成子群的一个方法。 定理2－5.2 循环群的子群必为循环群。

证明 设=是循环群，是其子群，则必存在最小正整数m使gm?H。对H中

krk-qmkm-qkmq

任意元素g，令k=gm+r 0﹤r﹤m，就有g=g=g*(g)?H，从而r=0，故g=(g)，即=。 ★

定义2－5.2 设是群的子群。对G中任意元素a和b，在G中定义二元关系： L

a≡b(mod H)?b-1*a∈H R

(a≡b(mod H)?a*b-1∈H)

称为群对子群的左（右）陪集关系或简称模H的左（右）陪集关系。 我们证明模H的左（右）陪集关系是G中的等价关系。

1） 对G中任意元素a，因a-1*a=e，故a≡a(mod H)；

2） 对G中任意元素a和b，若a≡b(mod H)，则b-1*a∈H，从而a-1*b=(b-1*a)-1 ∈H，故b≡a(mod H)；

3） 对G中任意元素a,b和c，若a≡b(mod H)，b≡c(mod H),则b-1*a∈ H，c-1*b∈H，从而c-1*a=(c-1*b)*(b-1*a)∈H，故。a≡c(mod H)

由1），2）和3）知模H的左陪集关系是G中的等价关系。 同理可证模H的右陪集关系也是G中的等价关系。

这样一来，模H的左（右）陪集关系将G划分成一些等价类： L

〔a〕={x|x∈G,x≡a(mod H)}={x|x∈G,a-1*x∈H}

={a*h|h∈H}=aH R **

等价类aH(Ha)称为代表元素为a的群 关于子群的左（右）陪集或简称子群的左（右）陪集。

由集合中等价类的性质知任意两个左（右）陪集或相等或者其交为空集。当然，一般来说aH≠Ha。但对任意两个左陪集aH和bH，均有|aH|=|bH|=|H|，对任意两个右陪集也一样。设所有左（右）陪集构成的集为S1(Sr)，则也有|Sl|=|Sr|。

例2－5.5 设集合H={〔0〕,〔2〕}，则是交换群的子群，的左、右陪集为

[0]H=[2]H=H[0]=H[2]={[0],[2]} [1]H=[3]H=H[1]=H[3]={[1],[3]}

例2－5.6 设集合H={P1,P2}，则是3次对称群的子群,的

左陪集为

P1H=P2H={P1,P2} P3H=P6H={P3,P6} P4H=P5H={P4,P5}

而右陪集为

HP1=HP2={P1,P2} HP3=HP5={P3,P5} HP4=HP6={P4,P6}

可见P3H≠HP3,P4H≠HP4,即H的左陪集不同于它的右陪集。

定理 2－5.3 （拉格朗日Lagrange）有限群的子群的阶必能整除该群的阶。 证明 设是n阶有限群的m阶子群,的左陪集个数为K。因n=km,故m|n。 ★ 推论1 素数阶的群只有平凡子群。

推论2 对n阶有限群中的任意元素a，必有an=e,e是群中的幺元。 证明 设是由a生成的m阶循环子群，则am=e，再由定理2－5.3知m|n，即n=km，故an=(am)k=ek=e。 ★

定义2－5.3 设是群的子群，若对G中任意元素a，有aH=Ha，则称为正规子群或不变子群。

当是群的正规子群时，其左陪集或右陪集可称为陪集。模H的左陪集关系≡或右陪集关系≡可称为模H的陪集关系，记作≡。 交换群的每个子群当然都是正规子群。

但应注意，aH=Ha并不意味着对H中任意元素h均有a*h=h*a，而是对h，在H中必存在元素h1和h2，使a*h=h1*a和a*h2=h*a成立。

定理2－5.4 设是群的子群，则是正规子群的充要条件为对G中的任意元素a和H中任意元素h，有a-1*h*a∈H。 证明 必要性：因h*a∈Ha=aH，故H中存在元素hˊ，使h*a=a*hˊ，从而a-1*h*a=hˊ∈H。

充分性：设h1*a是Ha中的任意元素，由所给条件知a-1*h1*a=h2∈H，故h1*a=a*h2

∈aH，即Ha?aH。同理可证aH?Ha。从而aH=Ha，即是正规子群。 ★

由定理2－5.1和定理2－5.4可得下面定理。

定理2－5.5 设是群，H是G中的非空子集，则是正规子群的充要条件为对H是任意元素h,h1和G中任意元素a，有且a-1*h*a∈H。

这个定理是判断群的非空子集是否构成正规子群的一个方法。 如例2－5.4中的子群，只有3次交代群是3次对称群的正规子群。 例2－5.7 对任意正整数m，是群的正规子群，且其所有陪集恰好就是集合Mm={〔0〕,〔1〕,?,〔m-1〕}的所有元素。

我们证明，若是群的正规子群，则模H的陪集关系≡是同余关系。 前面已经知道≡是等价关系。又若a≡p(mod H)，b≡q(mod H) ，即p-1*a=h1∈H，q-1*b=h2∈H,则由是正规子群，在H中必存在元素h3，使h1*b=b*h3，从而(p*q)-1*(a*b)=(q-1*p-1)*(a*b)=q-1*(p-1*a)*b=q-1*h1*b=q-1*b*h3=h2*h3∈H，故a*b≡p*q(mod H)。这就证明了≡是同余关系。

定义2－5.4 设是群的正规子群，因为模H的陪集关系≡是同余关系，故可在商集G/≡（常记作G/H）中规定相应的运算*ˊ。

(aH) *ˊ(bH)=(a*b)H

从而是群，称为群关于正规子群的商群。

例2－5.8 3次对称群关于3次交代群的商群为，其中

S3/A3={A3,B3} A3={P1,P5,P6} B3={P2,P3,P4} ◇ˊ A3 B3 A3 A3 B3 B3 B3 A3 表2－5.1

2－6 群的同态与同构

将代数系统同态与同构的概念应用到群，便可得出群的同态与同构的定义。

定义2－6.1 设U=和V=是两个群。若存在映射（满射，单射，双射）f: G→H，对G中任意元素a和b，有

f(a*b)=f(a) f(b)

则称f是U到V的一个群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。

特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。

设eG和eH分别是群U=和V=的幺元，f是U到V的同态，因群中唯一的等幂元是幺元，故由f(eG) f(eG)=f(eG*eG)=f(eG)，可得f(eG)=eH。

因f(a-1) f(a)=f(a-1*a)=f(eG)=eH，同理f(a) (a-1)=eH，可得f(a-1)=(f(a))-1。 定义2－6.2 若群U=到存在一个满同态（同构），则称U同态（同构）于V，记作U～V(U?V)。

例2－6.1 f(a)=2不是群到的同态。 例2－6.2 f()=a+2b是群到的满同态，故

例2－6.3 群和，其中G={1,-1,i,-i}且i2=-1,的运算表如下：

? 1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1 表2－6.1

定义双射

f: [0]→1 [1]→i [2]→-1 [3]→-i 则。

例2－6.4 f(a)=|a|不是群的自同态，但却是群的自同态。 例2－6.5 由运算表可看出双射

〔0〕→〔1〕

f: 〔1〕→〔2〕 〔2〕→〔4〕

〔3〕→〔3〕

是群到的同构，故?。

定理2－6.1 设和是同型的代数系统，其中是群，若存在满射f: G→H，对G中任意元素a和b，有

f(a*b)=f(a) f(b)

则也是群。

证明 由定理1－2.2的2），5），6）即得结论。 ★

类似地，可象代数系统的同态基本室理一样，平行地引出有关群的同态基本室理。（有兴趣的读者请参阅《离散数学》许华康 杨留记 西北大学出版社，1994）

习 题

2.1 试给出一个半群，它含有左幺元和右零元，但它不是含幺半群。

2.2 给定代数系统U=，其中二元运算*定义如下： 1）x*y=min{x,y} 2）x*y=max{x,y}

对每种情况，U是否为半群？是否为含幺半群？

2.3 设是半群，取定a∈S，在S中定义新的二元运算 为

x y=x*a*y

试确定是否为半群。

2.4 给定半群。试证，对S中任意元素a,b和c，若a*c=c*a和b*c=c*b，则(a*b)*c=c*(a*b)。

2.5 给定交换半群U=。试证，若a和b是U中的等幂元， 则a*b也是U中的等幂元。

2.6 给定代数系统U=，R是实数集合，?a,b?R，定义*运算如下：

a*b=a+b+a?b

试证明 是含幺半群

2.7 给定代数系统U=，其中S={a,b}，Ss是S中所有映射的集合， 而o是映射的合成。U是否为含幺半群？是否为可交换含幺半群？

2.8 给定代数系统U=，其中S={a,b,c,d}，运算表为

* a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c

1） 试证U是一个循环含幺半群。 2） 试求U的所有生成元和等幂元。 2.9 试证，每个有限半群都有等幂元。

2.10 给定代数系统U=，其中S={a,b,c,d},运算表为

* a b c d a c b a d b b b b b c a b c d d d b d d

1） U是否为循环含幺半群？ 2） 试求U的生成集合。

2.11 给定字母表V={a,b}，设S是所有以a开始的有限字符串且包含空串 的集合，o是字符串的邻接运算。 试证是含幺半群。

2.12 给定两个含幺半群U=和V=其中X是任意集合， ∩和∪是通常

集合的交和并。试求U和V的零元。

2.13 设Z是半群U＝的左零元。试证，对S中任意元素x，x*z也是半群U的左零元。

2.14 给定两个半群U=和V=，f: S→T是U到V的同构。试 证，若z是U的零元，则f(z)是V的零元。

2.15 设a是半群U=中的一个元素，对U中任意元素x和y，要是a*x=a*y(x*a=y*a)，就有x=y，则称在U中a是左（右）可约的。试证，在U中若元素a和b都是左（右）可约的，则a*b也是左（右）可约的。

2.16 试证，含幺半群的左（右）可逆元素的集合，能构成一个子含幺半群。

2.17 试求含幺半群U＝的所有子半群。并举出U的一个子半群，它是含幺半群，但不是U的子含幺半群。

2.18 给定含幺半群U=，其中×是通常数的乘法。试证：<{0},×>是U的子半群，但不是子含幺半群。 算*分别定义如下：

1) S={1,3,4,5,9},*是模11乘法。 2) S=Q,*是通常数的加法， 3) S=Q,*是通常数的乘法。 4) S=I,*是通常数的减法， 5) S={a,b,c,d}，运算表为

* a b c d a b d a c b d c b a c a b c d d c a d b

6) S={a,b,c,d}，运算表为

* a b c d a a b c d b b a d c c c d a a d d c b b

对每种情况，试确定U是否为群，若U是群，则指出它的幺元和每个元素的逆元。

2.20 设U=是一个具有幺元e的群，试证，若G的任意元素a都有a2=e(或a-1=a)，

则U必是交换群。

2.21 试证，若是交换群，而n是任意整数，则对于G的任意元素a和b，必有(a*b)n=an*bn。

2.22 给定群U=。试证，U是交换群当且仅当对G中任意元素a和b，有a2*b2=(a*b)2。

2.23 给定群U=。试证，若对G中任意元素a和b，有 a3*b3=(a*b)3 a4*b4=(a*b)4 a5*b5=(a*b)5则U是交换群。

2.24 给定两个群U=<{1},×>和V=<{1,-1},×>，其中×是通常数的乘法， 试证，对×，U和V是仅有的非零实数构成的有限群。

2.25 给定群U=。试证，当且仅当d是U中一个元素的阶时，d才 是m的一个因数。

2.26 给定代数系统其中K={e,a,b,c}，运算表为

* e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e

试证，是群（称克莱因(KIein)四元群），但不是循环群。

2.27 试用例2－4.4中对称群的运算表，求出其中哪些 元素a和b，能使

1）(a◇b)2≠a2◇b2 2）a2=e 3）a3=e

这里e表示对称群中的幺元。

2.28 给定集合S={1,2,3,4,5}和其置换

234512345??a??1b?2314512354?c??1524334152?d??1322314554?试求出a◇b,b◇a,a2,c◇b,d-1和a◇b◇c。并解置换方程a◇x=b。

2.29 试求出和的所有子群。

2.30 试求出不是正四边形的四边形二面体群。并证这个群 是例2－4.6中正四边形二面体群的子群。

2.31 给定，令H={x|x∈G,对a∈G,x*a=a*x}。试证是群的子群。 2.32 设p为素数。试证，pm阶群中一定有p阶子群。

2.33 设和是群的s阶和t阶子群，且|S∩T|=μ，|S∪T|=ν。试证st

≥μν。

2.34 设和是群的两个互不包含的子群，试证，G中 存在元素，它既不属于H1，也不属于H2。

2.35 设是偶数阶有限群，其幺元为e，试证，在G中存在元素a≠e，使a2=e。 2.36 设是群，H是G的一个子集，且2|H|﹥|G|。试证，对G中任意元素a，在H中必存在元素b1和b2，使a=b1*b2。

2.37 设f和g都是群U=到V=的同态，令H1={x|x∈G1,f(x)=g(x)}。试证，是群U的子群。

2.38 设f是群U=到V=的同态。试证，f为单射的充要条件 为K(f)={e1}，这里e1是群U的幺元。

2.39 设f是群U=到V=的同态，

1） 若是U的子群，则是V的子群。

2） 若是V的子群，且T?f(G)，则是U的子群，这里f-1(T) 表示在f的作用下，T中元素的象源所构成的集合。

2.40 在群U=中取定元素a，定义映射f: G?G为f(x)=a-1*x*a。试 证，f是群U的自同构。

2.41 给定两个群U=和V=，其中P={P1,P2,P3,P4}和 Q={q1,q2,q3,q4}。运算表分别为

* P1 P2 P3 P4 q1 q2 q3 q4 P1 P1 P2 P3 P4 q1 q3 q4 q1 q2 P2 P2 P1 P4 P3 q2 q4 q3 q2 q1 P3 P3 P4 P1 P2 q3 q1 q2 q3 q4 P4 P4 P3 P2 P1 q4 q2 q1 q4 q3

试证，群U和V是同构的。

2.42 设是群的子群。试证模H的右陪集关系是G中的 等价关系。

2.43 设是群的子群。试证，对任意两个左（右）陪集aH(Ha) 和bH(Hb)，均有|aH|=|bH|=|H|(|Ha|=|Hb|=|H|)。

2.44 设是群的子群，的所有左（右）陪集构成的集合为 Sl(Sr)。试证|Sl|=|Sr|。

2.45 对例2－4.4 中的对称群，试求交代群的各左陪集 和右陪集。

2.46 设是阿上尔群的G规子群，试证商群(G/H, )，也是阿上 尔群。

2.47 试求群的每个子群的各左陪集和右陪集。

2.48 设是群的子群。试证的左（右）陪集中只有一个陪 集是群的子群。

12.49 设是偶数阶有限群,是群的子群，且 H?G。2试证是正规子群。

2.50 设和是群的两个子群（正规子群），令

H1H2={h1*h2|h1?H1,h2?H2}。是否为群的一个子群（正规子群）？

2.51 试证，上题中是群的子群的充要条件为H1H2=H2H1。 2.52 设和是群的两个子群。

1) 试证，也是群的子群。 2) 试证，不一定是群的子群。 2.53 试求群U=和V=的积代数。

2.54 试证，群U=和V=的积代数有两个分别同构于群U和V 的正规子群。