淮海工学院概率论与数理统计试卷和答案集合

淮 海 工 学 院

09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A

闭卷）

答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-----------------（ B ） (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/6 2．设随机变量X~b(3,p)，且P{X?1}?P{X?2}，则p为---------------（A ）

(A)0.5 (B)0.6 (C)0.7 (D)0.8

3．设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则边缘概率密度fX(x)?----------（ C ） (A)?????f(x,y)dx (B)?????xf(x,y)dx (C)?????f(x,y)dy (D)?????yf(x,y)dy

4．设X是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------------------（ C ）

(A)E[D(X)]?D(X) (B)E[E(X)]?E(X) (C)D[E(X)]?E(X) (D)D[E(X)]?0

5．已知E(X)?0，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P{|X|?6}?------（ B ） (A) 1/4 (B) 1/12 (C) 1/16 (D) 1/36

6．设总体XN?1,22?，X1,X2,,Xn为X的一个样本，则---------------（ C ）

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(A)

X?1X?12N?0,1? (B) 4N?0,1? (C) X?12/nN?0,1? (D) X?12N?0,1?

7．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，X1,X2,?,Xn为来自X的样本，样本

均值为X，样本标准差为S，则?的置信水平为1??的置信区间为-------（ D ）

(A) (X??nz?) (B) (X??(n?1))

2nz?2(C) (X?snt)) (D) (X?s?(nnt?(n?1)) 228．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，检验假设H22220:???0,H1:???0的

拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------（ A ）

(A)2222?(n?1)或????1)22 ???1??(n (B)????(n?1)

22(C)?2??2?(n?1或)?2??21n(? 1 ) (D) ?2??2??1??(n?1)

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．设A,B,C表示三个随机事件，则事件“A,B,C不都发生”可用A,B,C的运

算关系表示为ABC.

2．随机变量X的数学期望E(X)?2，方差D(X)?4，则E(X2)? 8

?3．设X和Y相互独立，且X~U?0,1?，Y的概率密度为f?1e?12y,y?0Y(y)??2，

??0,其他??1则(X,Y)的概率密度为

f(x,y)??12y?2e,x?(0,1),y?0.

??0,其他4．设X?,X21,X2,n是来自正态总体X~N(?,?)的一个简单随机样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则E(X)??，E(S2)??2.

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．已知P?A??0.4,P?AB??0.7，分别在下列两种条件下，求P?B?的值.

（1）若A与B互不相容；（2）若A与B相互独立. 解 由加法公式P?AB??P?A??P?B??P?AB? ------------2?

（1）A与B互不相容，即AB???P(AB)?0，

代入加法公式得，P?B??0.7?0.4?0.3 ------------2? （2）A与B相互独立，即P?AB??P(A)P(B)

代入加法公式得，0.7?0.4?P(B)?0.4P(B)，得P?B??0.5 ------------3?

22．已知随机变量X的概率密度函数为f(x)???ax,0?x?1, ?0,其他,求（1）常数a；（2）P{X?0.3}. 解 (1)

???1??f(x)dx?1,??0ax2dx?1?a?3 -----------------4?

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(2) P{X?0.3}??1310.33x2dx?x0.3?0.973. -----------------3?

3．已知随机变量X~U(0,1)，求随机变量Y?lnX的概率密度函数fY(y). 解 fX(x)???1,0?x?1,?0,其他, ---------------------2?

y?g(x)?lnx,g?(x)?1x?0,g(x)在(0,1)严格单调增， 反函数x?h(y)?ey,h?(y)?ey

??min?g(0),g(1)????,??max?g(0),g(1)??0.----------------------2?

fy)???fX[h(y)]?|h'(y)|,??y??,?ey,y?0,Y(?0,其他，??0 ---------------------?0,y?3?

4．设随机变量X与Y相互独立，且具有相同的分布律：

X 1 2

pk 0.3 0.7 求（1）?X,Y?的分布律；（2）P{X?Y?3}. 解 （1） Y X 1 2 P{X= i} 1 0.09 0.21 0.3 2 0.21 0.49 0.7

P{Y= j} 0.3 0.7 1 -------------------5?

（2）P{X?Y?3}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}

?0.21?0.21?0.42. ---------------------2?

四、应用题（本题8分）

某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1:2:1，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设A1?“一级品”，A2?“二级品”，A3?“三级品”，B?“灯泡正常”，

------------------2?

P(A)?14,P(A2112)?4,P(A3)?4, ------------------2? P(B|A1)?0.9,P(B|A2)?0.8,P(B|A3)?0.7,?P(A)P(B|A1)3|B)?P(A3P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

1?0.9?14?0.281. ----------------4?

4?0.9?24?0.8?14?0.7

五、计算题（本题8分）

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.

?1解 f???3,2?x?5X(x) , ---------------2?

??0,其他,p?P{X?3}??5133dx?23 ---------------2?

设Y表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则Y~b(3,23)---------------2?

?P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1263)3?27 -----------------2?

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六、计算题（本题8分）

?1?x设总体X的概率密度为f(x;?)???e?,x?0,?? 其中?＞0为未知参数，

?0,x?0.X1,X2,,Xn为来自X的样本，x1,x2,,xn为相应的样本值，

（1）求?的最大似然估计量??1； （2）试问??1与??2?2X?X1是不是?的无偏估计量？当n?1时，上述两个估计量哪一个较为有效？

nxn解 (1) 似然函数L(?)??f(x1n?i?i?1i;?)???n,x1,x2,,xn?0 -------2?

i?1?ei?1 lnL(?)??nln??1n??xi， i?1dlnL(?)?n令

d(?)??n??1?2xi?0，解得???1nxi?x， i?1n?i?1所以?的最大似然估计量为??1?X. ----------------2? (2) E(??1)?E(X)??, E(??2)?E(2X?X1)?2?????, ?估计量??1与??2都是?的无偏估计量。 ----------------2? 又D(??)?D(X)??21n,

D(??2)?D(2X?X21)?D??2?n?nX1?2nX2??nX?n??

222???2?n??n??D(X?2?1)???n??D(X2)????2??n??D(Xn)

?(2?n)2?4(n?1)n2?2??2.当n?1时，D(??1)?D(??2)，所以??1较??2为有效. ------------------2?

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七、应用题（本题8分）

根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布，标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件，计算得到平均寿命为2536小时，试问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的平均寿命为2500小时？并给出检验过程.

( 已知 z0.025?1.96,z0.05?1.645 )

解 设产品的使用寿命X~N(?,?),??150已知，由题意

需检验假设 H0:??2500;2

H1:??2500 ---------------2?

采用Z检验，取检验统计量Z?X??0?/n，

则拒绝域为|z|?z0.025?1.96 ----------------2? 将n?25,??150,?0?2500,x?2536代入算得

|z|?2536?2500150/25?1.2?1.96，未落入拒绝域内，故接受H0， ----------3?

即认为这批产品的平均寿命为2500小时. ----------------1?

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09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计试卷（B

(A) 1/9 (B) 1/3 (C) 8/9 (D) 1

闭卷）

6．设总体X~N(?,?)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3为来自总体X的一个样本，则下列各式不是统计量的是---------------------------------------------------（ D ）

2答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．设A,B,C为三事件，则事件“A与B都发生，而C不发生”可用A,B,C的运算关系表示为--------------------------------------------------------------------------（ C ）

(A) AB (B) C (C) ABC (D) AB?C

2．设随机变量X~N(0,1)，Y?aX?b(a?0)，则------------------------（ C ）

(A)Y~N(0,1) (B)Y~N(b,a) (C)Y~N(b,a2) (D)Y~N(a?b,a2)

3．设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，则其边缘概率密度fY(y)? --------（ A ）

(A)?????f(x,y)dx (B)?????f(x,y)dy (C)???xf(x,y)dx (D)???????yf(x,y)dy

4．设随机变量X~b(n,p)，且E(X)?24.,(DX)14.4?，则二项分布的参数n,p的值为--------------------------------------------------------------------------------------（ B ）

(A)n?4,p?0.6 (B)n?6,p?0.4 (C)n?8,p?0.3 (D)n?24,p?0.1

5．设随机变量X具有数学期望E(X)??，方差D(X)??2，则由切比雪夫不等式，有P?X???3??? --------------------------------------------------------------（ A ）

(A) 13(X1?X2?X3) (B) X1X2?2?

(C) max{X11,X2,X3} (D) 2?2(X21?X2?X23)

7．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，X1,X2,?,Xn为来自X的样本，样本

均值为X，样本标准差为S，则?的置信水平为1??的置信区间为-----（ D ）

(A) (X??nz?) (B) (X??(n?1))

2nz?2(C) (X?snt(n)) (D) (X?s?t?(n?1)) 2n28．设总体X~N(?,?2)，?,?2未知，检验?2

，可取检验统计量为-------（ C ）

(A)Z?X??01)S22(n?1)S2?/n

(B)T?X??0S/n

(C)?2?(n??2

(D)??0?2

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．一口袋有6个白球，4个红球，“无放回”地从袋中取出3个球，则事件“恰有两个红球”的概率为3/10.

2．设随机变量TU?0,5?，则方程x2?Tx?1?0有实根的概率为

3/5.

3．设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?1e?x2?4x?4?,x?R，则

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E(X)??2，D(X)?1/2.

反函数x?h(y)?22y?b1,h?(y)? aa1n(Xi?X)2和4．设总体X的均值为?，方差为?，在统计量S??n?1i?11nB2??(Xi?X)2中，

ni?1??min?g(0),g(1)??b,??max?g(0),g(1)??a?b. --------------------2?

?1?fX[h(y)]?|h'(y)|,??y??,?,b?y?a?b,-------------3? fY(y)????|a|其他，?0,?0,y?0?S2是?的无偏估计量.

2

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．设事件A,B,C相互独立，且其概率都等于0.9，求事件A,B,C中最多发生2个的概率.

解法一 P(D)?P(ABC)?1?P(ABC) -------------3?

?1?P(A)P(B)P(C)

?1?0.93?0.271 -------------4?

解法二 D?ABCABCABCABCABCABCABC

P(D)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) -------------3?

?0.13?0.12?0.9?3?0.1?0.92?3?0.271 -------------4?

2．设随机变量X~U(0,1)，求随机变量Y?aX?b(a?0)的概率密度fY(y). 解 f10?x?1X(x)????0其他 ---------------------2?

y?g(x)?ax?b,g?(x)?a?0,g(x)在(0,1)为严格单调函数，

3．设二维随机变量(X,Y)的分布律如下表：

Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 ? ? 求（1）?,?应满足的条件；

（2）若X与Y相互独立，求?,?的值.

解 （1）??0,??0,????13 （2）p111212?p1??p?2?9?3(9??)???9

???19

4．已知(X,Y)的概率密度为

f(x,y)???kxy,0?x?y?1，?0,其他求（1）常数k的值； （2）P{X?Y?1}.

----------------------4? ----------------------3?

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解 （1）由

??????????f(x,y)dxdy??dy?kxydx?1?001yk?1?k?8 --------4? 8写出Y的分布律，并求P{Y?1}． Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数．解 顾客未等到服务离开的概率为p?P{X?10}?由题意 Y（2）P{X?Y?1}? ?1?10.5dy?y1?y8xydx

???101?x/5edx?e?2 --------4? 5,5，

152224y[y?(1?y)]dy?(8y?4y)dy?. ----------3? ??b(5,e?2)，其分布律为P{Y?k}?C5k(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,0.50.56

四、应用题（本题8分）

有朋自远方来，他乘火车、汽车、飞机来的概率分别是0.5,0.2,0.3. 已知他乘

火车、汽车、飞机来的话迟到的概率分别是1114,4,12. 结果他迟到了，试问他乘火

车来的概率是多少？

解 设A1?“乘火车”，A2?“乘汽车”，A3?“乘飞机”，B?“迟到”，----2?

P(A1)?0.5,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3,P(B|A111 -----------------------2?

1)?4,P(B|A2)?4,P(B|A3)?12P(A1|B)?P(A1)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

0.5?1?4?0.5?0.625. 0.5?14?0.2?1 -------------------4?

4?0.3?10.812

五、应用题（本题8分）

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（分钟）服从指数分布，其概率密度为?xf?1e?5,x?0X(x)??5

??0,其他某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟他就离开．已知他一个月要到银行5次．以

P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e?2)5 --------4?

六、计算题（本题8分）

设总体X的概率密度为f(x;?)???(??1)x?,0?x?1, ?0,其他.其中?＞0为未知

参数，X1,X2,,Xn为来自X的样本，x1,x2,,xn为相应的样本值，

(1) 求?的矩估计量； (2) 求?的最大似然估计量. 解 (1) ??E(X)??10x(??1)x?dx??1(??1)x??1dx???10??2， ---------------2? 令

??1??2?X，得?的矩估计量的矩估计量为???2X?11?X.---------------2? n（2）似然函数L(?)??f(x;?)?(??1)nix?1x?2x?n, 0?x1,x2,,xn?1

i?1-----------------2?

n 取对数有 lnL(?)?nln(??1)???lnxi i?1令

dlnL(?)nd(?)?n??1??lnxi?0 i?1解得?的最大似然估计值为????n?1 ?nlnxii?1?的最大似然估计量为????n?n?1. --------------2?

lnXii?1

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七、应用题（本题8分）

假定人的脉搏服从正态分布，正常人的脉搏平均为72次/分钟，现测得16例慢性铅中毒患者的脉搏样本的均值为66次/分钟，标准差为8次/分钟，试问在显著性水平0.05下，慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异? 并给出检验过程.

(已知t0.025(15)?2.1315,t0.025(16)?2.1199,t0.05(15)?1.7531,t0.05(16)?1.7459)解 设脉搏数X~N(?,?),?未知，由题意

需检验假设H0:??72;22H1:??72， ---------------------2?

采用t检验，取检验统计量t?X??0S/n，

则拒绝域为：

t?t??n?1? ----------------------2?

2将n?16,?0?72,x?66,s?8代入算得t?66.?728/16?3?2.1315，

落入拒绝域，故拒绝H0， ----------------------3? 即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异. -----------------------1?

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09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（A

卷）

答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 18 6 6 6 6 8 8 8 10 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．一袋中有6个白球,4个红球,任取两球都是白球的概率是-------------------（ B ） (A)12 (B)13 (C)114 (D)6 2．设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则下列错误的是----------（ C ）(A)f(x)?0 (B)?????f(x)dx?1

(C)???0f(x)dx?0.5 (D)P?a?X?b???baf(x)dx

)的概率密度函数为f(x,y)???e?y3．已知(X,Y,0?x?y,则关于Y的边缘概率密

?0,其他,度函数为---------------------------------------------------------------------------------------（D ）?y?y(A)f??e,y?x,?ye,0,其他. (B)fy?x,Y(y)?Y(y)??

??0,其他.(C)f?e?y,y?0,?Y(y)?? (D) f?ye?y,y?0,?0,其他.Y(y)? ?0,其他.4．设X是随机变量，则下列各式中不正确的是------------------------------------（ C ）(A)E?D(X)??D(X) (B)E[E(X)]?E(X)

第９页 共30页

(C)D?E(X)??E(X) (D)D[E(X)]?0

5．设X和Y相互独立, E?X??1,D?X??1,E?Y??1,D?Y??2,则由切比雪夫不等式得P(|X?Y|?6)?-------------------------------------------------------------（ C ）

(A)14 (B)16 (C) 1112 (D) 36 6．设X1,X2,,Xn是总体XN?0,1?的一个样本，X,S2分别为样本均值和样

本方差，则------------------------------------------------------------------------------------（ B ）

(A)XN?0,1? (B)nXN?0,n?

n(C)?X2i?2?n?1? (D)XSt?n?1? i?17．设总体XN??,?2?,?,?2未知。X1,X2,,Xn为来自总体X的样本，样本

均值为X，样本标准差为S，则?的置信水平为95%的置信区间为---------（ C ）

(A)(X??nz0.05) (B)(X??nz0.025)

(C)(X?Snt?1)） (D)(X?S0.025(nnt0.025(n))

8．X~N(?,?2)，?2未知，

假设检验H0:???0,H1:???0的拒绝域为---（ B ） (A) t?t??n?1? (B)t?t??n?1? (C) z?z? (D) z?z?

2222

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

2．设P?A??0.3,P?AB??0.7,若A与B不相容，则P?B??0.4。

2．已知离散型随机变量X~P(?)，且P(X?2)?P(X?4)，则??23。 3．设X和Y相互独立，且X~N?0,1?和Y~N?1,1?，则P?XY??1??50.。

4．设随机变量X,Y相互独立,其中X在?0,6?上服从均匀分布,Y服从参数为??3的泊松分布，记Z?X?2Y，则D?Z??15。

5．设X~b(100,0.2)， 利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得

P?X?30??0.0062， 其中?(2.5)?0.9938。

6．设总体X~N(0,0.25)，X1,X2Xn为来自总体X的样本，若

nk?X2i~?2(n)，则k?4 。

i?1三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

1．设P(A)?12,　P(B)?345,P(B|A)?5,　 求P(AB),P(AB)。 解： P(A)?12,P(B|A)?45,　?P(AB)?P(A)P(B|A)?25-------------------3?

P(AB)?1?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?310--------------------3?

?x2．已知连续型随机变量X的概率密度函数为f?,x?(0,4),X(x)??8求随机变

??0,其他.量Y?3?2X的概率密度函数fY(y)。

第１０页 共30页

解： g(x)?3?2x,h(y)?12(3?y),h?(y)??12 ??min?g(0),g(4)???5,??max?g(0),g(4)??3.----------------------3?f(y)???fX[h(y)]|h'(y)|,??y??,?3?yY?0,???,y?(?5,3),其他，------------------3? ?32?0,其他.

3．设二维随机变量?X,Y?的分布律如右表，若

Y X 1 3 5 X与Y相互独立，求a,b的值。

0 1115 a 5 解：由a?b?25?310?115?1---------------------2? 1 b 135 10 P?X?0,Y?5??P?X?0??P?Y?5?,-------2?

?解得??a?2?15-------------------------------------2???b?1?

104．设随机变量X的概率密度函数f(x)???x?k,0?x?1,?0,其他. 求常数k及D?X?。

解：由

???11??f(x)dx?1,即?0(x?k)dx?1，可得k?2--------------------------------2? E(X)????1??xf(x)dx??0x(x?12)dx?712------------------------------------------------1? E(X2)??????x2f(x)dx??1150x2(x?2)dx?12-------------------------------------------1?

D(X)=E(X2)?(E(X))2?11144-----------------------------------------------------------2?

四、计算题（本题8分）

设某仓库有一批产品，已知其中45%，35%，20%分别由甲、乙、丙厂生产，甲、乙、丙厂生产的次品率分别为 4%,2%,5%，现从这批产品中任取一件，求： （1）取得正品的概率？（2）假设已知取得的是一个正品，那么它出自甲厂的概率是多少？

解： 设A1?“取得的产品由甲厂生产”，A2?“取得的产品由乙厂生产”，

A3?“取得的产品由丙厂生产”，B?“取得的产品是正品”，-----------------------2?

P(A451)?100,P(A35202)?100,P(A3)?100,P(B|A96100,P(B|A98951)?2)?100,P(B|A3)?100,?P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?45100?96100?35100?98100?20100?95100?0.965------------------------------------------3? P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

45?4596100?96351004329820?-----------------------------------3? 100?100?100?100?100?95965100

第１１页 共30页

五、计算题（本题8分）

已知某电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为

?1500f(x)???x2,x?1500, ??0,其他.（1）1只这种电子元件寿命大于2000小时的概率为多少？

（2）在一批这种元件（元件是否损坏相互独立）中，任取出5只，其中至多有4只

寿命大于2000小时的概率是多少？

解：寿命在2000小时以上的概率p?P(X?2000)????150032000x2dx?4----------4? 设5只电子管中寿命在2000小时以上的个数为Y，则Y~B(5,34)---------------2?

?1?P(Y?5)?1?(32694)5?512-------------------------------------------------------------2? 六、计算题（本题8分）

已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X~N(?,?2)，?2?0.03，

在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？

(显著性水平??0.05(?22.0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.7)

解：由题意建立原假设和备择假设H220:??0.03,H1:??0.03，---------------2?

拒绝域为?2?(n?1)s2?2??21??/2(n?1)或?2?(n?1)s2??2?2?/2(n?1).----2?

s2?0.0375, n?10, ?2??n?1?s29?0.0375?2?0.03?11.25,

因为?2?11.25<19.023,因此接受H0，-------------------------------------------3? 即这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异. ---------1?

第１２页 共30页

七、计算题（本题10分）

设总体X~P(?)，X1,X2,2

,Xn为来自总体X的样本，样本均值为X，

样本方差为S，其中?是未知参数，且??0， （1）试求?的最大似然估计量；

（2）试证：对一切?(0???1)，?X?(1??)S都是?的无偏估计； （3）试求?的一个无偏估计量。

解：（1）X服从参数为?的泊松分布，则P?X?x??n

22?xx!e?x，

似然函数为L?????P?X?x??ii?1n?n?xii?1e?n?.----------------------------------------2?

i?x!i?1

?n?lnL????ln??xi?n??ln??xi!?，

i?1?i?1?nxidlnL????1ni?1??n?0.解得???xi?x.

ni?1d??n1??所以?的最大似然估计量为??Xi?X.------------------------------------------2? ni?1n（2）对一切?(0???1)，E(?X?(1??)S)??E(X)?(1??)E(S)

22????(1??)???，所以?X?(1??)S2都是?的无偏估计---------------------3?

第１３页 共30页

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5. 设E(X)?12，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P(X?12?4)?---（ C ）

09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（B

卷）

答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 18 6 6 6 6 8 8 8 10 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．设一射手每次命中目标的概率为p,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手射击了10次的概率为---------------------------------（ C ）

(A) C5p5(1?p)5 (B)C4410p(1?p)5 (C)C49p5(1?p)5 (D) C45109p4(1?p) 2．设连续型随机变量的概率密度函数和分布函数分别为f?x?,F?x?，则下列选项中正确的是-------------------------------------------------------------------------------（ C ）

(A)0?f?x??1 (B)P?X?x??F?x? (C)P?X?x??F?x? (D)P?X?x??f?x?

3．已知(X,Y)的概率密度为f(x,y),则关于Y的边缘概率密度为---------（ A ） (A)?????f(x,y)dx(B)?????f(x,y)dy (C)?????xf(x,y)dx (D)

?????yf(x,y)dy

4．设X是一随机变量，则下列各式中正确的是--------------------------------（ D ）

(A)D(5?2X)?5?2D(X) (B)D(5?2X)?5?2D(X) (C)D(5?2X)??4D(X) (D)D(5?2X)?4D(X)

(A)

316 (B) 716 (C) 131516 (D) 16 6．设X1,X2,,Xn是总体XN?0,1?的一个样本，X,S2分别为样本均值和样

本方差，则------------------------------------------------------------------------------------（ B）

(A)XN?0,1? (B)nXN?0,n?

n(C)?X2i?2?n?1? (D)XSt?n?1?

i?17．设样本X21,X2,?Xn来自正态总体N(?,?0)，?0为常数，?未知，则?的置信水平为1??的置信区间长度为------------------------------------------------------（ B ）

(A)

2?0nz2?2?? (B) 0nz? (C)0z2?? (D)022n1?z?

2n8．X~N(?,?2)，?2已知，

假设检验H0:???0,H1:???0的拒绝域为--（ D ） (A) t?t??n?1? (B)t?t??n?1?

(C)

z?z? (D) z?z?

2222二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

1 ．假设 P ? A ? ? 0.4, P ? A B ? ? 0.7, 若 A 与 B 相互独立，则

P?B??0.5。

2．设随机变量Xb?2,p?，Yb?3,p?，

若P?X?1??59，则P?Y?1??1027。 3．已知?X,Y?的分布函数为F?x,y?，关于X和Y的边缘分布函数分别是

FX?x?,FY?y?，则概率P?X?x0,Y?y0?

可表示为1?FX(x0)?FX(y0)?F(x0,y0)。

4．已知XN(?3,1), YN(2,1) 且X与Y相互独立, Z?X?2Y?7, 则

ZN(?7,5)。

5．设X~b(100,0.2)， 利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得

P?X?30??0.0062， 其中?(2.5)?0.9938。

6．设总体XN??,?2?，X,S2分别为样本均值和样本方差，n为样本容量，则

常用统计量T?X??St?n?1? 。

n三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

1．已知P(B)?13，P(AB)=16，求P(AB)，P(AB)。

解：

P(B)?13,P(AB)?16,　?P(A|B)?P(AB)1P(B)?2----------------------------3?

P(AB)?P(B)?P(AB)?16-----------------------------------------------------3? 2．设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试写出X的概率密度函数f(x)，并求Y?e3X的概率密度函数fY(y)。

解： f(x)???11?x?2?0其他-----------------------------------------------------------------2?

g(x)?e3x,h(y)?113lny,h?(y)?3y

第１４页 共30页

??min?g(1),g(2)??e3,??max?g(1),g(2)??e6.---------------------------------2?

f)???fX[h(y)]|h'(y)|,??y??,???1?3y,y?(e3,e6),Y(y?0,其他，--------------------2? ??0,其他.

3．设二维随机变量(X,Y)的分布律如右表。 Y X 1 2 3 求（1）关于X的边缘分布律； 0 0 1/4 1/4 （2）Z?X?Y的分布律

1 1/4 0 0 解：关于X的边缘分布律为-------------------------3? 2 1/4 0 0 X 0 1 2 p 0.5 0.25 0.25

Z?X?Y的分布律---------------------------------------------------------------------------3?

X+Y 1 2 3 4 5 p 0 0.5 0.5 0 0 4．若f(x)???k(1?x2),0?x?1,为某连续型随机变量X?0,其它.的概率密度函数，

求:（1）常数k； （2）E?X?。 解：解：由

?????f(x)dx?1,即?1k(1?x2)dx?301，可得k?2-----------------------2? E(X)????1??xf(x)dx??302x(1?x2)dx?38----------------------------------------------4?

四、计算题（本题8分）

某电子设备厂所用的元件由甲、乙、丙三家元件厂提供,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品, 则它出自乙厂的概率是多少? 解： 设A1?“取得的元件由甲厂生产”，A2?“取得的元件由乙厂生产”，

A3?“取得的元件由丙厂生产”，B?“取得的元件是次品”，----------------------2?

P(A151)?100,P(A)?8052100,P(A3)?100,P(B|A2131)?100,P(B|A2)?100,P(B|A3)?100P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?15100?2100?80100?1100?53100?100?0.0125. -----------------------------------3? P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)P(A

1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)80?1?152100801001?16.------------------------------------------------3?

100?100?100?100?5100?325100

第１５页 共30页

五、计算题（本题8分）

设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)???8xy,0?x?y?1,?0,其他.?

求：（1）关于X的边缘概率密度；（2）P{X?Y?1}.

?解：ff(x,y)dy??1X(x)??????x8xydy0?x?1??,

??0其他???4x(1?x2)0?x?1,-----------------------------------------------------4??0其他

1P{X?Y?1}?(x,y)dxdy?x???fy?1?2dx?1?x08xydy?1x6.-------------------------4?

六、计算题（本题8分）

设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在0.05的显著性水平下，可否认为全体考生这次的平均成绩为70分?(已知t0.05(35)?1.6896,t0.025(35)?2.0301)

解：由题意建立原假设和备择假设H0:??70,H1:??70，---------------------2?

拒绝域为：

t?t??n?1?.----------------------------------------------------------2?

2t?X??X?7066.5?70S?n2.5， 统计量t?2.5?1.4 而t0.025(35)?2.0301?t?t0.025(35)--------------------------------------------------3? 故接受H0，即可以认为这次考试的平均分为70分-------------------------------1?

第１６页 共30页

七、计算题（本题10分）

x?1???xe,x?0,设总体X具有概率密度f(x)???2其中?＞0为未知参数，

?0,x?0.?

2X1,X2,,Xn来自X的样本，x1,x2,,xn是相应的样本值。

? (1) 求?的最大似然估计量??是否是?的无偏估计量？为什么？ (2) 问求得的估计量?解：(1)构造似然函数L(?)?n?i?1nf(xi)?1n1?2n?xeii?1n?i?1??xi -----------------------2?

取对数有lnL(?)??2ln??(1?令

?)?xi

i?1dlnL(?)??X------------3? ??x，所以?的最大似然估计量为??0 得?d(?)22xx1??12??1??2??X1xedx??xde?? ----4? (2)E(?)?E()?EX??2?0022?22??是?的无偏估计量。------------------------------------------------1? ?估计量?

（3）由于E(X)??,D(X)??, 故E(X)??,E(X)?D(X)?E(X)?从而E(X?22?n??2---------------------------------------1?

21X)??2， n22

??X?所以?的一个无偏估计量为?1X------------------- n

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10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（A卷）

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 (填首卷) 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．对于事件A，B，下列命题正确的是 （ D ） （A）若A，B互不相容，则 与 也互不相容。 （B）若A，B相容，那么 与 也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么 与 也相互独立。

2．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从

袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B ) （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 3．设P{X?0,Y?0}?37，P{X?0}?P{Y?0}?47，则P{max{X,Y}?0}?

( C )

(A)

37 (B) 47 (C) 567 (D) 7 4．设X~N(?,1)，则满足P?X?2??P?X?2?的参数?? ( C )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5．设X~P????Poisson分布?,且E???X?1??X?2????1,则?? ( A ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0

6．设总体X~N(1,?2)，X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，

则为参数?2

的无偏估计量的是 ( A )

(A) 1nn?1?(Xi?X)2 (B) 1?n(X21n2i?X) (C) ?Xi (D) X2 i?1ni?1ni?1第１７页 共30页

7．设总体X~N(1,?2)，其中?2

已知，?未知，X1,X2,???,Xn为其样本，下列

各项中不是统计量的是 ( D ) 3(A) XX2i1?X2?X3 (B) min?X1,X2,X3? (C) ?2 (D) X1??

i?1?8．设总体X~N??,?2?，X1,X2,,Xn是取自总体X的样本，x1,x2,,xn为

样本的观测值，?2

为未知，则?的置信水平为1??的置信区间为 （ D ）

?n(x?x)2?n(x?x)2ii(A) (i?1i?1?22 (B) (x?s?(n?1),2?1??(n?1)) 2nzs?,x?z?) 2n2(C) (x??? (D) (x?snz?,x?zts2n?) 2n?(n?1),x?t?(n?1)) 2n2

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．一书架上有5本小说，3本诗集以及1本字典，今随机选取3本，则选中2本小说和1本诗集的概率是

514 2．设随机变量XN(?,1)，Y?2(n)，且X,Y相互独立，则

T?X??Ynt(n)

3．已知X~b?3,0.2?，则E?X2?? 0.84 4．设随机变量X的数学期望E(X)?75，方差为D(X)?5，利用切比雪夫不等式估计得P?X?75????0.05，则?? 10

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

１．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份吗，7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。求先抽到的一份是女生表的概率。

第１８页 共30页

解： 设Hi表示“报名表是取自第i地区的考生”(i?1,2,3)，Aj表示“第j次

取出的报名表是女生表” (j?1,2)。 （1分）

(1)fX?x???????1 P(H?)33375 P(A1H1)?， P(A1H2)?， P(A1H3)? （2分）

101525由题意，有 P(H?1)?P(H2) 由全概率公式，

x????x1/4dy,0?x?2?x/2,0?x?2f(x,y)dy?? ?? (3分)

0,其他??其他?0,fY?y????????21/4dx,?2?y?0??2?y?/4,?2?y?0???y??f(x,y)dx??21/4dx,0?y?2???2?y?/4,0?y?2

??y?0,其他??3P(AP(H1375291)??i)P(AHi)?i?13(10?15?25)?90 (4分)

?0,x?02．已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)???x2， ??Be??A2,x?0求：(1) 常数A,B的值； (2) 随机变量X的密度函数f?x?；

(3) P?2?X?2?。

解： (1) 由F?x?右连续性得F?0???F?0?，即A?B?0，又由F?????1得，A?1， 解得A?1,B??1 (3分)

2 (2) ??xf(x)?F??x????xe2,x?0， (2分)

??0,其它(3) P?2?X?2??F?2??F?2??e?1?e?2 (2分)

?3．设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)??1?4,0?x?2,y?x。

??0,其他（1）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（2）X和Y是否独立? 解:

?0,其他(3分)

(3) fX?x?fY?y??f(x,y)，不独立 (2分)

4．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

解：设X为抽白球的个数，X=0，1, 2，3。 (1分)

有下列分布率

X 0 1 2 3

P C3122133C4C3C4C3CC3?1 ?12 ?18 4?4 735C3735C3735C3735(3分)

E(X)?1?121841235?2?35?3?35?7 (1分) E(X2)?1?121842435?4?35?9?35?7 (1分) D(X)?24122247?(7)?49 (1分)

四、证明题 （本题8分）

设三个事件A,B,C满足AB?C,试证明:P?A??P?B??1?P?C?

证明：由于AB?C，所以P?AB??P?C?， （3分） 所以P?A??P?B??P?AB??P?AB??P?AB??P?C??1?P?C?

(5分)

五、计算题（本题8分）

已知某仪器装有3个独立工作的的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，概率密度为

?x f(x)??e??600600,x?0, ??0,x?0.试求在仪器使用的最初200h内，至少有一个电子元件损坏的概率。

解：把3个元件编号1，2，3，并设事件Ak为“在仪器使用的最初200h内，第k只元件损坏”(k?1,2,3)。 （1分）

设Xk表示第k只元件的使用寿命(k?1,2,3)，由题意，Xk(k?1,2,3)服从概率密度为f(x)的指数分布，于是

P(A?200}????1200600e?xk)?P{Xk600dx?e?13，(k?1,2,3) （3分）

因此所求事件的概率为

P(A1A2A3)?1?P(A1A2A3)?1?(e?13)3?1?e?1。 （4分）

六、计算题（本题8分）

设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本，X的密度函数:

f(x)???(??1)x?,0?x?1?0,其他 ，

??0, 求参数?的矩估计量和极大似然估计量。

解：E?X???10x(??1)x?dx???1??2 (2分) 第１９页 共30页

由X?E?X????1???2知矩估计量为??11?X?2 (2分) ?nL??????(??1)n?x?i,0?xi?1?i?1 (1分) ?0,其它??nlnL??nln(??1)???lnxi (1分)

i?10??lnL???n???n??1??lnxi (1分)

i?1故极大似然估计量为 ???n?n?1 (1分)

lnxii?1

七、计算题（本题8分）

某种元件的寿命X（以小时计）服从正态分布N(?,?2)，?,?2均未知，现

测得16只元件的寿命的均值x=241.5，s=98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）。（??0.05,t0.05(15)?1.7531）

解：提出假设：H0:??225;H1:??225 (3分)

拒绝域为：t?t?(n?1), (1分) 计算统计量的值：

t?x?22598.7259?241.5?2250.05(15) (2分)

1698.7259?0.6685?1.7531?t16没有落入拒绝域，接受H0，因此认为元件的平均寿命不大于225。(2分)

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10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（B卷）

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 (填首卷) 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．设A,B为对立事件，0?P?B??1，则下列概率值为1的是 ( C )

(A) P?A|B? (B) P?B|A? (C) P?A|B? (D) P?AB? 2．设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是 ( A )

(A)

P(A?B)?P(A) (B) P?AB??P?A?

(C) P?B|A??P?B? (D) P?B?A??P?B??P?A?

3．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B )

（A）

15 （B）25 （C）345 （D）5 4．设P{X?1,Y?1}?459，P{X?1}?P{Y?1}?9，则P{min{X,Y}?1}?

( A )

(A)

23 (B) 2081 (C) 49 (D) 13 5．设X~P????poission分布?,且E???X-1??X?2????1,则??( A )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0

6．设f?x?是随机变量X的概率密度，则一定成立的是 ( B )

(A) f?x?定义域为[0,1] (B) f?x?非负 (C) f?x?的值域为[0,1] (D) f?x?连续

7．设随机变量X~N?1,1?，概率密度为f?x?，分布函数F?x?，则下列正确的是

第２０页 共30页

( B )

(A) P{X?0}?P{X?0} (B) P{X?1}?P{X?1} (C) f?x??f??x?, x?R (D) F?x??1?F??x?, x?R 8．设X1,X2,,Xn是正态总体X~N??,?2?的样本，其中?已知，?未知，则

下列不是统计量的是 ( C ) n(A) maxXk1?k?nXk (B) min1?k?nXk (C) X?? (D)

?k?1?

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．设A,B为随机事件，P?A??P?B??0.7，P?AB??0.3，则

P?AB??P?AB??_____0.1____ 2．设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，则Y?X2的概率密度函数为

f?y?????1?4y?,0?y?4Y ??0,其他3．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得

P?X?2?2??12 4．设XX~N?0,4?的样本，则当a?11,X2,X3,X4是来自正态总体20时，Y?a?X21?2X2??a?X3?2X224?~??2?

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1． 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球。

(1) 求此球是白球的概率；

(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.

解: 设A表示“取得的为白球” ，Bi分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” i?1,2,3 则

P?B1??P?B2??P?B3??1/3，

P?A|B1??2/3，P?A|B2??1/3，P?A|B3??1/2， (3分)

3由全概率公式得：P?A???P?A|Bi?P?Bi??1/2， (2分)

i?1由贝叶斯公式得：P?BP?A|B1?P?B1?1|A??P(A)?4/9 (2分)

?2．已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)??0,x?0?x2， ?Be??A?2,x?0求：(1) 常数A,B的值； (2) 随机变量X的密度函数f?x?；

(3) P?2?X?2?。

解: (1) 由F?x?右连续性得F?0???F?0?，即A?B?0, (1分)

又由F?????1得，A?1， (1分) 解得A?1,B??1 (1分)

x2 (2) ?f(x)?F??x?????xe2,x?0, (2分) ??0,其它第２１页 共30页

(3) P?2?X?2??F?2??F?2??e?1?e?2 (2分)

3．设总体为X，期望E?X???，方差D?X???2,X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，样本均值X?1n21nn?Xi，样本方差S??X?X?2，证明：S2i?1n?1?ii?1是参数?2

的无偏估计量。

证明：E?X???，D?X???2，X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个样本，

所以E?X???，D?X???2/n， (3分)

所以E?S2??12n?1E?n????X?1?n22?i?X?i?1?? ?n?1???E?Xi??nE?X?i?1?? 1?n?n?1?????2??2??n??2/n??2????2， （3分） i?1??即S2是参数?2

的无偏估计量 (1分)

4．设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为：

f(x)???e?x,x?00,，f?1,0?y?1X?x?0Y(y)??，

?0,其他求随机变量Z?X?Y的期望和方差。

解：因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)?f?x?f?e?x,x?0,0?y?1,XY?y???0, (3分)

?其它E?Z??????????1?x3????(x?y)f(x,y)dxdy??0(?0(x?y)?edy)dx?2 （2分） 第２２页 共30页

E?Z2????????????(x?y)2f(x,y)dxdy??(?(x?y)2?e?xdy)dx?00??110（2分） 32213fY?y??????21/4dx,?2?y?0??2?y?/4,?2?y?0???y??f(x,y)dx??21/4dx,0?y?2???2?y?/4,0?y?2

D(Z)?E?Z??(E(Z))?12 （1分） 四、证明题（本题8分）

设事件A,B,C相互独立，证明事件AB与事件C也相互独立.

证明：由于事件A,B,C相互独立，所以P?ABC??P?A?P?B?P?C?，

P?AB??P?A?P?B?，P?AC??P?A?P?C?，P?BC??P?B?P?C?，

（4分） 所以 P??AB?C??P?ACBC?

?P?AC??P?BC??P?ABC?

?P?A?P?C??P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B??P?A?P?C??P?A?P?B?P?C? ?P?AB?P?C?

即事件AB与C也相互独立。 (4分)

五、计算题（本题8分）

设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)???A,0?x?2,y?x?0,其他。

（1）求常数A的值；（2）求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（3）X和Y是否独立? （1）由

?????f(x,y)dy?1，得A?1/4 (2分)

(2)fX?x?????f(x,y)dy???x???x1/4dy,0?x?2 ??x/2,0?x?2???? (2?0,其他?0,其他分)

????y???0,其他?0,其他(2分)

(3) fX?x?fY?y??f(x,y)，不独立 (2分)

六、计算题（本题8分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数：f(x,y)???3y,0?x?y,0?y?1?0,其他

求（1）数学期望E?X?与E?Y?；（2）X与Y的协方差Cov?X,Y? 解: E?X????????xf(x,y)dxdy??1(?y????00x?3ydx)dy?3/8, (2分)

E?Y????????yf(x,y)dxdy??1(?y????00y?3ydx)dy?3/4, (2分) E?XY????????xyf(x,y)dxdy??10(?y????0xy?3ydx)dy?3/10, (2分)

Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?X?=3/160. (2分)

七、计算题（本题8分）

一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是

否正常，随机抽取他所包装面盐9袋。经测量与计算得x=0.511，取??0.05，问机器是否正常。（查表?0.025?1.96）

解：提出假设 H0:??0.5 ； H1:??0.5 （3分）

拒绝域的形式为：Z?z? （1分）

2计算统计量的值：Z?0.511?0.50.015?2.2?1.96?z0.025 （3分）

9落入拒绝域，拒绝H0，因此认为这天包装机工作不正常。 （1分）

第２３页 共30页

淮 海 工 学 院

10 - 11 学年 第1学期 概率论与数理统计 试卷（A

5． 设随机变量X的方差D(X)存在，a?0，则由切比雪夫不等式

闭卷）

?|X?E(X)|?P??1??------------------------------------------ ( C )

答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．设A,B为两个事件，且B?A，则下列式子正确的是-------------（ B ） （A）P(AB)?P(A) （B）P(AB)?P(A)

（C）P(B|A)?P(B) （D）P(B?A)?P(B)?P(A)

2．设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}?-----------（ C ） （A）增大 （B）减少 （C）不变 （D）增减不定

3．设随机变量X与Y相互独立且具有相同的分布律 0 1 X

P 0.5 0.5 则随机变量Z?max?X,Y?的分布律为----------------------------（ D ） (A)P{Z?0}?0.5,P{Z?1}?0.5 (B) P{Z?0}?1,P{Z?1}?0 (C)P{Z?0}?0.75,P{Z?1}?0.25 (D) P{Z?0}?0.25,P{Z?1}?0.75 4．设X与Y是两个随机变量，则下列各式中正确的是-------------- ( A ) (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y)

(C) E(XY)?E(X)E(Y) (D) D(XY)?D(X)D(Y)

?a?（A）D(X) （B）1 （C）

D(X)a2 （D）a2?D(X) 6．设X～N(?,?2)，其中?已知，?2

未知，X1,X2,X3为一个样本，则下列选

项中不是统计量的是---------------------------------------------（ C ） 3（A）XX2i1?X2?X3 （B）max{X1,X2,X3} （C）

?2 （D）X1??

i?1?7．总体X~N(?,1),?为未知参数，X1,X2,X3为X的一个样本，下面4 个关于

?的无偏估计量中最有效的一个是------------------------------- ( D )

（A）

13X21111?3X2 （B）4X1?2X2?4X3

（C）16X51111?6X2 （D）3X1?3X2?3X3

8．在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，?为犯第一类错误的概率，下列正确的是-------------------------------------------------------- ( A ) （A）P?拒绝H0|H0真???, （B）P?拒绝H1|H0真???, （C）P?接受H0|H0不真???, （D）P?拒绝H0|H0不真???.

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．设甲、乙的命中率分别为0.6和0.5，现两人独立地对同一目标射击一次，则两人同时击中目标的概率为 0.3 ，目标被击中的概率为 0.8 2．设随机变量X1,X2相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从参数

为λ?3的泊松分布，记Y?X1?2X2，则E(Y)? -3 ，D(Y)? 15 3．将一枚硬币连掷100次，以X记出现正面的次数，则X服从 b (100, 0.5) ，且根据德莫佛-拉普拉斯中心极限定理计算可得P{X?60}? 0.0228 .（已知?(2)?0.9772）

4. 设总体X~N(?,1)，据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则?的置信水平为0.95的置信区间为（4.804, 5.196） （已知.z0.05?1.645,z0.025?1.96）

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．设事件A与B相互独立，P(A)??，P(B)?0.3，P(A?B)?0.7，求?． 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)， ------------2?

P(A)?1?P(A)?1?? -----------1?

又由A,B独立，可知A,B独立，则P(AB)?P(A)P(B)?(1??)?0.3

------------2?

所以 1???0.3?(1??)?0.3?0.7，解得 ??37 ------------2? 2．已知随机变量X的概率密度为f(x)???ax?b,0?x?1，且15?0,其它P{X?2}?8，

求（1）a,b的值；（2）P{1?X?142}. 解

???11??f(x)dx?1??0(ax?b)dx?1?2a?b?1 ------------2? P{X?12}?58??13151(ax?b)dx?a?b282?8 ------------2?

解得a?1,b?12 -----------1? 第２４页 共30页

1P{14?X?1172}??12(x?)dx ------------2? 42?323．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)???cxy,0?x?2,0?y?2?0,其它 （1）求常数c；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y);（3）判定X与Y的独立性，并说明理由． 解 （1）由

??????????f(x,y)dxdy??20?20cxydxdy?4c?1?c?14 2（2）f???1f(x,y)dy????04xydy,0?x?2???1?2x,0?x?2X(x)????

??0,其它??0,其它? 由对称性得f?12y,0?y?2Y(y)??

??0,其它（3）因fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X与Y相互独立．

-----------3?

4．设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求E(X),E(Y)及相关系数?XY.

解

X 0 1 p 0.5 0.5 E(X)?0.5 ------------2?

Y 0 1 p 0.7 0.3

E(Y)?0.3 ------------2?

又E(X2)?0.5，D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.25

E(Y2)?0.3，D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?0.21

XY 0 1 p 0.9 0.1

E(XY)?0.1

?X,Y)E(XY)?E(X)E(Y)0.1?0.5?0.31XY?cov(D(X)D(Y)?D(X)D(Y)?0.250.21??21

--------3?

四、应用题（本题8分）

设甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有1个白球，2个黑球.由甲袋中任取

一球投入乙袋，再从乙袋中任取一球. （1）求从乙袋中取出的是黑球的概率；

（2）已知从乙袋中取出的是黑球，求从甲袋中取出放入乙袋的也是黑球的概率. 解 设事件B表示从乙袋中取出的是黑球，事件A1表示从甲袋中取出一白球，事件

A2表示从甲袋中取出一黑球，由题意，有

第２５页 共30页

P(A32231)?5,P(A2)?5,P(B|A1)?4,P(B|A2)?4, ---------2?

（1）由全概率公式，得

P(B)?P(A(B|A|A322331)P1)?P(A2)P(B2)?5?4?5?4?5.--------3?

2（2）P(AP(A|A?32)P(B2)2|B)?P(B)?543?12. --------3? 5

五、计算题（本题8分）

?1?1x设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x)???3e3,x?0，现对X??0,x?0进行4次重复独立观测，以Y表示 “观测值大于3”的次数， （1）写出Y的分布律； （2）求P{Y?1}．

解 （1）P{X?3}????1133e?3xdx?e?1 ----------------2? Y表示4次观测中“观测值大于3”的次数，则Y~b(4,e?1)，其分布律为

P{Y?k}?Ck?1n(e)k(1?e?1)n?k,k?0,1,2,3,4 --------------3?

（2）P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C0?10?144(e)(1?e)?1?(1?e?1)4 -------3?

六、计算题（本题8分）

设总体X的概率密度为f(x;?)????2xe??x,x?0,其中参数?(??0)未

?0,其它知，x1,x2,,xn来自总体X的简单随机样本.

（1）求参数?的矩估计量； （2）求参数?的最大似然估计量.

第２６页 共30页

解 （1）E(X)????0?2x2e??xdx?2? ---------------2? 将n?9,s?6,?0?53.6,x?57.7代入算得

??令E(X)?X，可得总体参数?的矩估计量?（2）构造似然函数

n2 ---------------2? Xt?57.7?53.66/9?2.05?1.860，落入拒绝域内，故拒绝H0， ----------3?

?nn???xi2n??f(xi)????xi?ei?1,x1,?,xn?0--------------2? L(x1,?,xn;?)??i?1i?1?其它?0,当x1,?,xn?0时，取对数 lnL?2nln??即认为今年的日均销售额比去年显著提高.

?lnxi?1ni???xi

i?1ndlnL2nn?0???xi?0 令

dλ?i?12n2???n? n1xixi??ni?1i?1??2 --------------2? 故其最大似然估计量为?X

七、应用题（本题8分）

某超市的日销售额X~N(?,?)（单位：万元），已知去年的日均销售额为

253.6，今年随机抽查9天，得平均日销售额x?57.7，方差s2?36．在显著性水

平??0.05下，试问今年的日均销售额比去年是否显著提高？

（已知 t0.025(9)?2.262,t0.025(8)?2.306,t0.05(9)?1.833,t0.05(8)?1.860）

2

解 ?未知，由题意，需检验假设H0:??53.6;H1:??53.6 ------------2?

采用T检验，取检验统计量T?X??0S/n，

则拒绝域为t?t0.05(8)?1.860 ----------------2?

第２７页 共30页

淮 海 工 学 院

10 - 11 学年 第1学期 概率论与数理统计 试卷（B

（C）

2X?Y23~N?0,1? （D）

2X?Y?123~N?0,1?

闭卷）

5．已知E(X)?0，D(X)?3，则由切比雪夫不等式得P{|X|?6}?------（ B ） 答案及评分标准

题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．8只碗有2只为次品，任取两只，恰有1只为次品的概率是- （C）

(A) 18 (B) 14 (C) 317 (D) 2

2．设连续型随机变量X的概率密度函数和分布函数分别为f?x?,F?x?，则下列选项中正确的是------------------------------------------------（ B ） （A）0?f?x??1 （B）0?F(x)?1 （C）P{X?x}?f(x) （D）P{X?x}?F(x) 3．已知X1,X2独立，且分布律为 X i 0 1

(i?1,2)

P 0.5 0.5 则下列结论正确的是-----------------------------------------------------------------（ C ） （A）X1?X2 （B）P{X1?X2}?1

（C）P{X1?X2}?0.5 （D）以上都不正确

4．设随机变量X~N?1,2?，Y~N?2,4?，且X与Y相互独立，则---（ C ） （A）2X?Y~N?0,1? （B）2X?Y?1~N?1,9?

（A）1/4 （B）1/12 （C） 1/16 （D）1/36 6．设X21,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?)简单随机样本，X是样本均值，记

S21?1nn?1?(Xi?X)2，S22?1n(X?X)2，则服从自由度为n?1的ti?1n?i分布i?1的随机变量是----------------------------------------------------------------------------（ C ）

（A）t?X??St?X??t?X??X??1/n?1 （B）S2/n?1 （C）S1/n （D）t?S2/n

7．设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，E(X)??,D(X)??2，则有（ B ）

（A）X1?X2?X3是?的无偏估计 （B）

X1?X2?X33是?的无偏估计

（C）X22?X?X?X223?是22是?的的无偏估计 （D） ?1?3???的的无偏估计

8．在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用-----（ A ） （A）Z检验法 （B）t检验法 （C）F检验法 （D）?2检验法

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从

袋中随机各取一球．则（1）第一人取到黄球的概率是 2/5 ，（2）第二人取到黄球的概率是 2/5 2．设X的概率密度为f(x)?12?e?x，则E(X)? 0 ，D(X)＝ 1/2

3．已知D(X)?25,D(Y)?36，（1）若X与Y相互独立，则D(X?Y)? 61 ； （2）若?XY?0.4，则D(X?Y)? 85 4．若某产品的不合格率为0.1，任取100件，以X记其中不合格品的件数，则X服从 b (100, 0.1) ，根据德莫佛-拉普拉斯定理计算得P{X?7}? 0.1587 （已知?(1)?0.8413）

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．设有两种报警系统Ⅰ与Ⅱ，它们单独使用时，有效的概率分别为0.92与0.93，且已知在系统Ⅰ失效的条件下，系统Ⅱ有效的概率为0.85，试求： （1）系统Ⅰ与Ⅱ同时有效的概率；（2）至少有一个系统有效的概率. 解 设事件A={报警系统Ⅰ有效}，事件B={报警系统Ⅱ有效}

已知P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(B|A)?0.85 ------------1? 由P(B|A)?P(BA)P(B)?P(AB)0.93?P(AB)P(A)?1?P(A)?1?0.92?0.85

求得P(AB)?0.862 ------------4?

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988----------2?

2．设随机变量X在(0,3)上服从均匀分布，求Y?2X?1的概率密度.

?1解 f?,0?x?3X(x)??3 ----------2?

??0,其它y?g(x)?2x?1，g?(x)?2?0，g(x)为严格单调增函数，

其反函数为x?h(y)?y?112,h?(y)?2， ----------2?

?所以f)??1?3,1?y?7Y(y ------------3?

??0,其它第２８页 共30页

3．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)???cxy,0?x?2,0?y?2?0,其它 （1）求常数c；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y);（3）判定X与Y的独立性，并说明理由． 解 （1）由

??????????f(x,y)dxdy??220?0cxydxdy?4c?1?c?14 ?（2）ff(x,y)dy??X(x)??????21?104xydy,0?x?2?????2x,0?x?2

??0,其它??0,其它? 由对称性得f?1y,0?y?2Y(y)??2

??0,其它（3）因fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X与Y相互独立． 4．设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 1 0.2 0.1 0.1 求E(X),E(Y)及E(XY)．

解

X 0 1 p 0.6 0.4 E(X)?0.4 ------------2?

Y 0 1 2 p 0.3 0.3 0.4 E(Y)?1?0.3?2?0.4?1.1 ------------2?

XY 0 1 2 p 0.8 0.1 0.1

E(XY)?1?0.1?2?0.1?0.3 --------3?

四、应用题（本题8分）

两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的

概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求（1）任意取出一个零件是合格品的概率；（2）若任意取出的一个零件发现是废品，问它出自第一台机床的概率．

解 设A={任意取出一个零件是合格品}，Bi={零件出自第一台车床}，i=1,2 已知P(B1)?23,P(B)?123,P(A|B1)?0.97,P(A|B2)?0.98 ------------2? 由全概率公式

P(A)?P(B21)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?3?0.97?13?0.98?0.973-----3? 2P(BP(ABB?0.031)P(1)P(A|B1)1|A)?P(A)?P(A)?31?0.973?0.74 ----------3?

五、计算题（本题8分）

?1?1X（以年计）的概率密度为f(x)???e4x一种电子元件的使用寿命,x?0?4，

?0,x?0若某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的．求在使用的第一

年内无一元件损坏的概率．

第２９页 共30页

解 设Y为在使用的第一年内损坏的元件个数，Y~b(3,p)，其中 p?P{0?X?1}??111104e?4xdx?1?e?4 ---------------4? 3所以 P{Y?0}?(1?p)3?e?4 ----------------4?

六、计算题（本题8分）

的概率密度为f(x;?)????2xe??x设总体X,x?0,,其中参数?(??0)?0其它未

知，x1,x2,,xn来自总体X的简单随机样本.

（1）求参数?的矩估计量； （2）求参数?的最大似然估计量. 解 （1）E(X)????220?xe??xdx?2? ---------------2?

令E(X)?X，可得总体参数?的矩估计量???2X ---------------2? （2）构造似然函数

?nL(x?,x??nnf(x?2n????xin;?)??i)??xi?ei?1,x1,?,x1,n?0--------------2? ?i?1i?1?0,其它nn当x1,?,xn?0时，取对数 lnL?2nln???lnxi??xi

i?1?i?1令

dlnLdλ?0?2nn???xi?0 i?1???2n2?n?x1n

ixii?1n?i?1故其最大似然估计量为???2X --------------2?

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七、应用题（本题8分）

某日从饮料生产线随机抽取16瓶饮料，分别测得重量（单位：克）后算出样本均值x?502.92及样本标准差s?12．假设瓶装饮料的重量X~N(?,?)，其中

2?2未知，问该日生产的瓶装饮料的平均重量是否为500克？（取??0.05）

（已知t0.025(16)?2.120,t0.025(15)?2.132,t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753） 解 由题意，需检验假设 H0:??500;采用T检验，取检验统计量T?H1:??500 ------------2?

，

X??0S/n则拒绝域为|t|?t0.025(15)?2.132 ----------------2? 将n?16,s?12,?0?500,x?502.92代入算得

|t|?502.92?50012/16?0.973?2.132，未落入拒绝域内，故接受H0，----3?

即认为该日生产的瓶装饮料的平均重量是否为500克. ---------1?

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