Cewizz概率论与数理统计试题-a（含答案）

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||生活|

一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..

|-----郭敬明

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准

开/闭卷

闭卷

课程名称

概率论与数理统计

A/B卷 A 学分 3

2219002801-课程编号 2219002811

学院 专业 姓名 学号 命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日 题号 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 基本题总分 附加题 第一部分 基本题

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）

1. 事件表达式A?B的意思是 ( ) (A) 事件A与事件B同时发生 (B) 事件A发生但事件B不发生 (C) 事件B发生但事件A不发生 (D) 事件A与事件B至少有一件发生 答：选D，根据A?B的定义可知。

2. 假设事件A与事件B互为对立，则事件A?B( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从 ( ) (A) 自由度为1的?2分布 (B) 自由度为2的?2分布 (C) 自由度为1的F分布 (D) 自由度为2的F分布

答：选B，因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的?2分布。

4. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(?2,1), 则( ) (A) X+Y~P(4) (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) (D) X+Y~N(0,3) 答：选C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。

5. 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=?, D(X)=?2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是?的无偏估计

(B)

X1?X2?X3是?的无偏估计

32_____________ ________ (C) X是?的无偏估计

222

?X?X2?X3?2(D) ?1?是?的无偏估计

3?? 答：选B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

6. 随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上） 1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(A?B)= __________ 答：填0.18, 由乘法公式P(A?B)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________

答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1?0.216=0.784。

3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或

15?3?21，由古典概型计算得所求概率为??0.25。 34C1040?x?1,?x,?4. 已知连续型随机变量X~f(x)??2?x,1?x?2, 则P{X?1.5}=_______

?0,其它.?答：填0.875，因P{X?1.5}??1.50f(x)dx?0.875。

5. 假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)=__________

答：填4.5，因E(X)=5?0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5

6. 一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝________

答：填0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。 三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分） 解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412 四、已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分）

?1,0?x?1,解：已知X的概率密度函数为fX(x)??

其它.?0,Y的分布函数FY(y)为

FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X?y?1y?1?}?FX??? 2?2?

因此Y的概率密度函数为

?11?y?1??,1?y?3,fY(y)?FY?(y)?fX? ???22?2??其它.?0,五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：

Y 1 2 ?1 X 0.1 0.2 0.3 ?1 2 0.2 0.1 0.1 (1) 试求X和Y的边缘分布率 (2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数?XY(满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：

X 2 ?1 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： Y 1 2 ?1 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)??1?0.6+2?0.4=0.2, E(X2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D(X)=E(X2)?[E(X)]2=2.2?0.04=2.16

E(Y)??1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D(Y)= E(Y2)?[E(Y)]2=2.2?0.64=1.56

E(XY)=(?1)?(?1)?0.1+(?1)?1?0.2+(?1)?2?0.3+2?(?1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1= =0.1?0.2?0.6?0.4+0.2+0.4??0.5

cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)??0.5?0.16??0.66

?XY?cov(X,Y)?0.660.66?????0.36

1.836D(X)D(Y)2.16?1.56

六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 (满分10分)

解：已知样本均值x?1950, 样本标准差s=300, 自由度为15?1=14, 查t分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出t0.025(14)为x?166.1，即(1784, 2116)。

附：标准正态分布函数表?(x)?12?s2.1448?300??166.1, 因此平均使用寿命的置信区间

3.87315?x??e?u22du

?(x) x 0.9 0.95 0.975 0.99 1.281551 1.644853 1.959961 2.326342 t分布表P{t(n)>t??n)}=? ?? N

0.1 0.05 0.025 14 15 16 1.3450 1.3406 1.3368 1.7613 1.7531 1.7459 2.1448 2.1315 2.1199 第二部分 附加题 附加题1 设总体X的概率密度为

?(??1)x?,0?x?1, f(x;?)??其它,?0,其中?>?1为未知参数，又设x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。（满分15分）

解：似然函数

??L?(??1)n??xi?

?i?1?n?lnL?nln(??1)???lnxi

i?1ndlnLn???lnxid?(??1)i?1n

令

dlnL?0，解出?的最大似然估计值为 d?????n?lnxi?1n?1

i

附加题2 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分15分） Y P{X=xi}=pi? y1 y2 y3 X 1 x1 81 x2 81P{Y=yj}=p?j 1 6解：已知X与Y独立，则 pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj), 经简单四则运算，可得 Y X

y1 y2 y3 P{X=xi}=pi? x1 x2 P{Y=yj}=p?j

1 241 81 61 83 81 21 121 41 31 43 41

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