导数与微分习题及答案

导数和微分

一、选择题

1．设函数为y＝f（x），当自变量x由x0改变到x0??x时，相应的函数改变量△y为（ ）

A.f?x0??x??f?x0? C.f??x0???x

B.f?x0??x D.f?x0??x?

dy?3x?2?22．设y?f??,且f??x??arcsinx,则dx?3x?2?A．π

Ｂ．2π

等于(x?0)

?D. 23.设f??3??4,则limh?0f?3?h??f?3?为(2hＢ．－2

3C.? 2

)

C．－3

D．1

A．－１

４．设周期函数f（x）在（－∞，＋∞）内可导，周期为T，又lim（T＋1，f（T＋1））处的切线斜率为（ ）

f?x??f?1?x???1,则曲线y＝f（x）在点

x?02x1A． 2B．0 C．－1 D．－2

5.设f?x?在?a,b?内连续，且x0??a,b?,则点x0处(A．f（x）极限存在，但不一定可导 C．f（x）极限不存在但可导

)

6.设f?x?在x0处可导,则limA.?f??x0?

?x?0f?x0??x??f?x0?等于(?xC.f???x0?

B．f（x）极限存在且可导 D．f（x）极限不一定存在

)

D.2f??x0?

B.f??x0?

ln?1?x??ax?bx27.设lim?2,则(x?0x2A．a＝0，b＝－2 C．a?1,b????)

Ｂ．a?0,b??

525 D．a＝1，b＝－2 28．设f（x）处处可导，则（ ）

A.当limf?x????时,必有limf??x????

x??x??B.当limf??x????时,必有limf?x????x???x???x???C.当limf?x????时,必有limf??x????

x???D.当limf??x????时,必有limf?x????x???x???9．两曲线y?x2?ax?b与2y??1?xy3相切于点（1，－1）处，则a，b值分别为（ ）

A．0，2 B．1，－3 C．－1，1

D．－1，－1

10.若f?x?在x0可导，则|f?x?|在x.0处（） A．必可导

B．不连续

C．一定不可导

D．连续但不一定可导

11.在三次抛物线y?x3上切线斜率等于3的点是()

A．（1，1） B．（－1，1）

C．（1，1）和（－1，－1）

D．(－1,－1)

?12.函数f?x????xarctan1x?0,在x?0处()

?x?0x?0,A．既连续又可导

B．连续但不可导 C．既不连续也不可导

D．不连续但可导

13．垂直于直线2x?6y?1?0且与曲线y?x3?3x2?5相切的直线方程是( ) A．3x－y＋6＝0 B．3x＋y＋6＝0 C．3x－y－6＝0

D．3x＋y－6＝0

11114．抛物线x2?y2?a2上任一点的切线所截两坐标轴之和等于()1A．a

B．2a

C.a2

D.a2

15．设f（x）＝|sinx|，则f（x）在x＝0处（ ） A．不连续 B．连续，但不可导 C．连续且有一阶导数 D．有任意阶导数

16.令f?x????sinxx?0,?x?1x?0.则f?x??0处()

A．不连续，必不可导 B．不连续，但可导 C．连续，但不可导

D．连续，可导

17.设x?at3,y?bt3,则d3xdy3等于()

A.27b3t7

8a2a8aB.27b3?1t7 C.?9b2?1t4 D.2a13b?t 18．要使点（1，3）为曲线y?ax3?bx2的拐点，则a，b的值分别为（ ）

A.a??392,b?2

B.a?32,b??92

C.a??32,b??92

D.a?32,b?92

19．如果f（x）与g（x）可导，xlim?xf?x??0xlim?xg?x??0,且limf?x?0x?x0g?x??A，则（

）

f??x??B存在，且A?Bx?x0g??x?f??x?B.必有lim?B存在，且A?Bx?x0g??x?

f??x?C.如果lim?B存在，且A?Bx?x0g??x?f??x?D.如果lim?B存在，不一定有A?Bx?x0g??x?A.必有lim20．已知f（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且当x∈（a，b）时，有f??x??0;又已知f（a）>0．则（ ） A．f（x）在[a，b]上单调增加，且f（b）>0 B．f（x）在[a，b]上单调减少，且f（b）<0 C．f（x）在[a，b]上单调增加，且f（b）<0

D．f（x）在[a，b]上单调减少，但f（b）正负号无法确定

21.设函数f?x???2x,则f?x?(1?x2)

A．在（－∞，＋∞）单调增加 B．在（－∞，＋∞）单调减少

C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加 D．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少 22．当x≠0时，有不等式（ ）

A.ex?1?xB.ex?1?xC.当x?0时e?1?x,当x?0时e?1?xD.当x?0时ex?1?x,当x?0时ex?1?x23．若在区间（a，b）内，函数f（x）的一阶导数f??x??0，二阶导数f???x??0，则函数f（x）在此区间内是（ ）

A．单调减少，曲线是下凹的 C．单调减少，曲线是下凸的

xx

B．单调增加，曲线是下凹的 D．单调增加，曲线是下凸的

24.指出函数y?1?36x?x?3?2的渐近线（ ）A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线

B．x＝－3为其垂直线渐近线，但无水平渐近线 C．既有垂直渐近线，也有水平渐近线 D．只有水平渐近线

25．设函数y＝f（x）在x?x1处有f??x1??0,在x?x2处有f??x2?不存在，则（ ）

A.x?x1及x?x2一定都是极值点 C.x?x1及x?x2都可能不是极值点

B.只有x?x1是极值点

D.x?x1及x?x2至少有一个点是极值点

26．若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）

A．极大值一定是最大值，极小值一定是最小值 B．极大值必大于极小值

C．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值

D．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值

27.设f?x?在x0可导，则limx?0f?x0?x??f?x0?3x?等于(xC.3f??x0?

)

D.4f??x0?

A.2f??x0? B.f??x0?

28.设f??x0??2,则limh?0f?x0?h??f?x0?2h?等于(2hC．－3

)

D．－2

A．3

1xB．2

29.设y??1?x?,则y??1?的值为(A．－ln4

)

C.e

1B.?ln2 2D．2

?x?2t?3?arctant30.曲线?在x?3处的切线方程是(2?y?2?3t?ln1?t??)

D．x－y＝1

A．x＋y＝1 B．x＋y＝5 C．x－y＝5

?eax31.若f?x????b?sin2xA．a＝2,b＝1 C．a＝－1,b＝－1

二、解答题

x?0,在x?0处可导，则a,b值应为(x?0,B．a＝1,b＝2 D．a＝2,b＝－1

)

dy?3x?2?21.设y?f??,且f??x??arcsinx,求dx?3x?2?.

x?0?x?arctantdy2.设y?y?x?由?所确定，求. 2tdt?2y?ty?e?53．讨论函数f?x??|4x3?18x2?27|,x??0,2?的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值． 4．作函数y?lnx的图形，说明函数的单调及凹凸区间、极值点、拐点、渐近线． xx3?45.设y?,

x2（1）求函数的增减区间及极值． （2）求函数图象的凹凸区及拐点． （3）求其渐近线并作出其图形．

参考答案

一、选择题

dy12?3x?2?3?3x?2??3?3x?2??3x?2?1．A 2．C 提示：?f???arcsin?. ???22dx3x?23x?2?3x?2??????3x?2?23．B 4．D 5．A 6．A 提示：自变量的增量为－△x．

7．C 提示：运用洛必达法则．

8．D 9．D 10．D 11．C 12．B 13．B 14．A 提示：设点?x0,y0?为抛物线x?y将抛物线方程两边对x求导：

1212?a1212上任一点，则x0?12y01?a2.

12x?y?2y?0,得y???yx.

所以在点?x0,y0?处的切线斜率为?y0x0，由此可得切方程为y?y0??y0x0

?x0?x0?,

即

x0?xx0?y0??y0?yx0?y0??1.

2此切线与两坐标轴的截距之和为：x0?x0?y0?y0??x0?y0??1???a2??a. ????15．B 16．A 提示：讨论分段函数在交接点处是否可导应按导数定义判断；考察在某点得是否连续，应按左、右极限是否相等来判断．

d3xd3y17.B 提示：3?3.

dydx18．A 提示：因为（1，3）是连续曲线y?ax3?bx2的拐点的定义可得a＋b＝3①再结合拐点的定义可得b＝－3a②结合①②解之．

19．C 20．D 21．C 22．B 23．D 24．B 25．C 26．D

27．D 提示：这里插入f?x0?，因为题目假定f（x）在x0点可导，所以分成两项的极限都存在．

即 limf?x0?x??f?x0?3x?x?0x?f?x0?x??f?x0????f?x0?f?x0?3x??? ?limx?0 xf?x0?x??f?x0?f?x0?3x??f?x0? ?lim?3limx?0x?0x?3x ?f??x0??3f??x0??4f??x0?.注意：本题有个常见的错误做法：令x则x0?3x?t 0?3x?t,

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