第15讲 函数的综合应用

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第15讲 函数的综合应用

《前置练习》

k

1．若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是( )

xA．－2 B．－1 C．1 D．2

k2．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝A(－1,2)，B(1，－2)

x两点，若y1<y2，则x的取值范围是( )

A．x<－1或x>1 B．x<－1或0<x<1 C．－1<x<0或0<x<1 D．－1<x<0或x>1

a

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则反比例函数y＝x y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是( )

211

4．设函数y＝xy＝x－1的图象的交点坐标为 (a，b)，则a－b的值为 . k5．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝x＞0)的图象交于A，B两点，与y

x轴交于C点，已知 A点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．

(1)求函数y1的解析式和B点坐标；

(2)观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．

《考点知识梳理》

考点一 一次函数与方程 (组)、不等式

1． 解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 时，求相应的自变量的值． 从图象上看，kx＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与x轴交点的 坐标．

2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求 值范围．

3．每个二元一次方程组都对应两个一次函数，方程组的解就是这两条直线交点的 .

温馨提示 求两个一次函数图象的交点坐标，就是解这两个一次函数对应的方程所组成的方程组的解. 考点二 二次函数与一元二次方程

1．直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解及比较大小等问题． 2．直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程的解及比较大小等问题． 3．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题．

4．利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．

5．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性． 6．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合．

7．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．

《典例解析》

考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象

例1 (2013·张家界)若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象在同一坐标系中大致是( )

考点二 利用函数图象解方程(组)或不等式

例2 (2013·黔西南)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x＜ax＋4的解集为( )

3

A．x＜ B．x＜3

23

C．x＞．x＞3

2

考点三 一次函数与反比例函数的综合应用

例3 (2013·聊城)如图，一次函数的图象与x轴、 y轴分别相交于A，B两点，8

且与反比例函数yx的图象在第二象限交于点C. 如果点A的坐标为(2,0)， 点B是AC的中点．

(1)求点C的坐标； (2)求一次函数的解析式．

考点四 函数知识的综合应用

例4 (2013·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0，－1)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C， 使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点 C的坐标以及此时圆的圆心P的坐标；

(3)在(2)的基础上，设直线x＝t(0<t<10)与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大？并求出最大值．

《达标训练》

一、选择题(每小题4分，共40分)

b

1．已知反比例函数y＝xb为常数，且b≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第______象限．( )

A．一 B．二 C．三 D．四

2．(2013·聊城)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )

A B C D

3．等腰三角形的周长为4，当底边长y是腰长x的函数时，此函数的图象是( )

4．(2013·呼和浩特)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )

A B C D

2

5．如图所示，函数y1＝x－1和函数y2＝xM(2，m)，N(－1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是( )

A．x＜－1或0＜x＜2 B．x＜－1或x＞2

C．－1＜x＜0或0＜x＜2 D．－1＜x＜0或x＞2

6．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲y＝

1

上，点N在直线y＝x＋32x

上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )

99

A B．有最大值，最大值为2299

C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为－

227．(2013·德州)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示， 有以下结论：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0； ④当1<x<3时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

8．烟花厂为扬州“4·18烟花三月经贸旅游节”特别设计制作了一种新型礼炮，这种5

礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升

2空后到最高点处才引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )

A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s

k11

9．(2013·南宁)如图，直线y＝x与双曲线y＝xk>0，x>0)交于点A，将直线y＝x

22k

向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝x(k>0，x>0)交于点B，若OA＝3BC，则k的值为( )

99

A．3 B．6 C. D.

42

(第9题) (第10题) (第11题)

k

10．(2013·重庆)一次函数y＝ax＋b(a>0)、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝x在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(－2,0)，则下列结论中，正确的是( )

A．b＝2a＋k B．a＝b＋k C．a>b>0 D．a>k>0 二、填空题(每小题4分，共12分)

11．(2013·三明)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(3,2)

，与反比例函数

2

y＝xx＞0)的图象交于点Q(m，n)．当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围是 .

6

12．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 .

4

13．如图，已知动点A在函数y＝xx>0)的图象上， AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D， 使AD＝AB，延长BA至点E，使AE＝AC.直线DE分 别交x轴、y轴于点P，Q.当QE∶DP＝4∶9时， 图中阴影部分的面积等于 . 三、解答题(共48分)

m

14．(10分)如图，一次函数y＝kx－3的图象与反比例函数y＝xx>0)的图象交于点P(1,2)．

(1)求k，m的值；

(2)根据图象写出当x取何值时， 一次函数的值小于反比例函数的值．

15．(12分)(2013·十堰)如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A(m，－2)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围； (3)若双曲线上的点C(2，n)沿OA方向平移5个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状，并证明你的结论．

16．(12分)(2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作．经过8 min时，材料温度降为600 ℃，煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)，已知该材料初始温度是32 ℃.

(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？

17．(14分)如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

(1)“抛物线三角形”一定是三角形；

(2)若抛物线y＝－x2＋bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； (3)如图，△OAB是抛物线y＝－x2＋b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

【点拨】本题考查一次函数、二次函数与圆等知识的综合应用．

解：(1)∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.由抛物线过点B(0，－1)，得4a＝－1，∴a＝－∴抛物线的解析式为y＝－x－2)2.即y＝ －x2＋x－1.

444

(2)设点C的坐标为(x，y)． ∵点A在以BC为直径的圆上， ∴∠BAC＝90°.

如图，作CD⊥x轴于点D， 连接AB，AC.

∵∠BAO＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°， ∴∠BAO＝∠DCA.∴△AOB∽△CDA. ∴

OBOA

＝. ADCD

∴OB·CD＝OA·AD，

即1·|y|＝2(x－2)，∴|y|＝2x－4.

∵点C在第四象限，∴y＝－2x＋4. y＝－2x＋4， 由 12

y＝－＋x－1， 4

x1＝10， 得 y1＝－16，

x2＝2，

∵点C在对称轴右侧的抛物线上． y＝0. 2

∴点C的坐标为 (10，－16)． ∵点P为圆心，∴P为BC的中点．

取OD的中点H，连接PH，则PH为梯形OBCD的中位线． 117

∴PH＝(OB＋CD)＝22∵点D(10,0)，∴点H(5,0)， ∴圆心P的坐标为(5，－

17

． 2

1

(3)如图，连接BN，CN，设点N的坐标为(t，－t2＋t－1)，直线x＝t(0<t<10)与直

4线BC交于点M.

S1

△BMN＝2MN·t，

S1

△CMN＝2

MN·(10－t)，

∴SS＝1

△BCN＝△BMN＋S△CMN2MN·10.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b， ∵直线BC经过B(0，－1)，C(10，－16)，

∴ b＝－1，

k＝－2， 10k＋b＝－16，

3

解得

b＝－1.

∴直线BC的解析式为y＝－3

2－1.

则点M的坐标为(t，－3

2－1)，

MN＝－13142＋t－1－(－2－1)＝－5

42＋2

t.

S11224＋52t)×10＝－54t2＋252t＝－54(t－5)2＋125

△BCN＝－4∴当t＝5时，S125

△BCN有最大值，最大值是4.

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