2016年天津中考24题专题复习

中考24题专题复习——坐标系下的最值问题

一、知识梳理

1.已知点A、B在直线MN的同侧，在MN上求作一点P，

⑴使PA＋PB最小 ⑵ PA－PB最大 ⑶| PA－PB | 最小 AAA BBB

ll

2.已知点A、B在直线MN的两侧，在MN上求作一点P，

使⑴PA＋PB最小 ⑵PA－PB最大 ⑶| PA－PB | 最小 AAA

lll BBB

3.如图，在两条直线EF和CD上画出点P和Q的位置，使点A到P、P到Q、Q到B三

段 距离和最短

⑴当点A、B在两直线之间时 ⑵当点A、B在某一直线一侧时⑶当点A、B在两直线外

侧时 A

l EF EEF

BDA A DB CB C C

4.已知线段AB、CD，其中线段CD是直线l上的动线段，就下列四种情况，试在直线l上确定D点的位置，使四边形ABCD的周长最短

BB

AFDA1

C DLCDL LL AC DB

A

C

DB

M

5.如图：已知∠MON及角内一点P，在∠MON的两边上分别 求作点E、F，使得△PEF周长最小 作法：

P

ON M6.如图：已知∠MON及角内点P、Q，在边OM、ON的两边上分别 求作点E、F，使得四边形PQEF周长最小 作法： Q P

ON

7.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB?BD，ED?BD，连接AC，EC．已知AB?5，DE?1，BD?8，设CD?x．

（1）用含x的代数式表示AC?CE的长； A （2）请问点C满足什么条件时，AC?CE的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 B x2?4?(12?x)2?9的最小值．

C

D E 2

二、典型习题

1、（2010天津25）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、

y轴的正半轴上，OA?3，OB?4，D为边OB的中点.

（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

O E A x O A x D D y B y C B C 温馨提示：如图，可以作点D关于x轴的对称点D?，连接CD?与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了. D? 第（25）题

（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF?2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

3

2、（2014西青一模）已知点A的坐标为（3，4），点B为直线x=－1上的动点，设点B的坐标为（－． y 1，y）

（Ⅰ）如图①，若点C的坐标为（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC于点C，求y与x之间

的函数关系式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； （Ⅲ）如图②，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线

段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

x = -1 x= -1 图①

图②

第（24）题

y A A B D -1 O B（-1，1） C x D O E F x 4

3、（2013河北一模）如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA＝15，OC＝9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．

（Ⅰ）求DE所在直线的解析式；

（Ⅱ）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；

（Ⅲ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

4、（2013天津25）（本小题10分）

在平面直角坐标系中，已知点A(?2，点B(点E在OB上，且?OAE??OBA． 0)，04，)，（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A?E?O?，连接A?B、BE?． ① 设AA??m，其中0?m?2，试用含m的式子表示A?B2?BE?2，并求出使

A?B2?BE?2取得最小值时点E?的坐标；

② 当A?B?BE?取得最小值时，求点E?的坐标（直接写出结果即可）．

yyBBEAO图①

第（25）题

ExE?AA?OO?x图②

5

5.（15年北辰一模）

如图，矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点P为BC边上的动点（不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ,连接OQ.设BP=t.

（1）当t=1时，求点Q的坐标；

（2）设S四边形OQCB=s，试用含有t的式子表示s；

（3）当OQ取得最小值时，求点Q的坐标.（直接写出结果即可）

6、（1）如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 ；

（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

6

7、（2015年和平区三模）已知正方形ABCD的边BC在x轴上，BA在y轴上，点B与原点O重合，点D在第一象限．△ABE是等边三角形，点E在第二象限．M为对角线BD（不含B点）上任意一点．

（Ⅰ）如图①，若BC?6，当AM?CM的值最小时，求点M的坐标； （Ⅱ）如图②，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM． ①求证△AMB≌△ENB；

②当AM?BM?CM的最小值为3?1时，直接写出此时点E的坐标． E yADyADENM CxCxO(B) O(B) 图① 图②

练习

1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为 ．

2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

7

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ．

ADMB′NBP

4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ．

5．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．

6．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 ．

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