河南省洛阳市孟津一高2016届高三上学期期末考试数学（文）试卷

孟津一高2015——2016学年上期期末考试

高三数学（文）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1211(A){y|0?y?} (B){y|0?y?1} (C){y|?y?1} (D)?

22????????????2.设O 为原点，向量OA,OB 对应的复数为2?3i,?3?2i,那么向量BA 对应的复数是

1.已知集合A?{y|y?log2x,x?1}，B?{y|y?()x,x?1}，则A?B?（ ） （ ）

(A)?5?5i (B)?5?5i (C)5?5i (D)5?5i

3.从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）

(A)1111 (B) (C) (D) 2346xx3

2

4.已知命题p：?x∈R,2＜3；命题q：?x∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是( )．

(A)p∧q (B)?p?q (C)p??q (D)?p??q

5.若e1,e2 是夹角为

?3 的两个单位向量，则a?2e1?e2;b??3e1?2e2的夹角为（ ） (C)(A)?6 (B)?32?5? (D) 366.已知函数 f(x)?ax3?记g(x)?12x 在x??1处取得极大值 ， 21.在如图所示的程序框图中，若输出的结果 f?(x)S? (A)2016 ，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（ ）

2017n?2016? (B)n?2017? (C)n?2016? (D)n?2017?

7. 若三角形ABC为钝角三角形，三边为2，3，x ，则x的取值范围是（ ）

(A)(1,5) (B)(1,5)?(13,5) (C)(5,13) (D)(13,5)

8. 已知直线y?k(x?2)(k?0)与抛物线C:y?8x相交于A,B两点，F为C的焦点.若|FA|?2|FB|,则k等于（ ）

2 1

(A)22212 (B) (C) (D)

33339. 设定义在(?1,1)上的函数f(x)的导函数f?(x)?5?cosx ,且f(0)?0 ,则不等式

f(x?1)?f(1?x2)?0 的解集为( )

(A){x|1?x?2} (B){x|x?1或x??1} (C){x|?1?x?1}

(D){x|0?x?1}

10.若数列{an}满足an?1?(?1)nan?2n?1 ，则{an}的前40项和为( )

(A)760 (B)780 (C)800 (D)820

11.一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）

(A)2?3 (B)1?3 (C)4?3 (D)2?23 12.函数f(x)?ax?3x?1对于x?[?1,1]，总有f(x)?0成立，则a的取值集合为（ ） (A)(??,0] (B)[2,4] (C){4} (D)[4,??)

3第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分

?x?y?2?0?13.已知?x?y?4?0 ，则z?|x?2y?4| 的最大值为 .

?2x?y?5?0?x2y214.已知双曲线C:??1左右焦点分别为F1,F2 ,P为C右支上的一点，且

916|PF2|?|F1F2|，则三角形PF1F2的面积等于 . a15.数列?an?的首项a1?1,?bn?为等比数列且bn?n?1,若b50b51?201650,则a101= . an16.四面体有一条棱长为x,其余棱长为4.当四面体体积最大时,其外接球的表面积为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

2

1

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且csinA?(1)求角C ；

(2)若c?14，且sinC?3sin2A?sin(A?B),求△ABC的面积 。

3acosC .

18.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是AB,BB1的中点。 (1)证明：BC1 ∥平面ACD ; 1(2)设AA1?AC?CB?2,AB?22,求三棱锥C?A1DE 的体积 .

19. （本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）， 以?160,180?，?180,200?，?200,220?，?220,240?，

?240,260?，?260,280?，?280,300?分组的频率分布

直方图如右图．

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为?220,240?，?240,260?，?260,280?，?280,300?的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在?220,240?的用户中应抽取多少户？

20. （本小题满分12分）

x2y21已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点(0,3)，离心率为，左、右焦点分别为

ab2 3

F1(?c,0),F2(c,0) .

(1)求椭圆的方程； (2)若直线l:y??1x?m与椭圆交于A,B两点，与以F1F2为直径的圆交于C,D两2点，且满足

|AB|53 ，求直线l的方程。 ?|CD|4

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)??2xlnx?x?2ax?a,其中a?0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a?(0,1)，使得f(x)?0恒成立，且f(x)?0在区间(1,??)内有唯一解.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图AB是?O直径，AC是?O切线，BC交?O于点E.

（1）若D为AC中点，求证：DE是?O切线； （2）若OA?3CE ，求?ACB的大小.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

22?x?tcos?,在直角坐标系xOy中，曲线C1:?(t为参数，t?0)，其中0????.在以

y?tsin?,?O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??2sin?，C3:??23cos?.

(1) 求C2与C3交点的直角坐标；

(2) 若C1与C2相交于A，C1与C3相交于B，求AB的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知f(x)?|x?a|?|x?2|

(1)当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

4

(2)若f(x)?|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

5

孟津一高2015——2016学年上期期末考试

高三数学（文）答案

一、选择题.1-5ADBBC 6-10ABDAD 11-12CC 二、填空题（13）21 （14）48 （15） 2016 （16）17.解：（1）?csinA?80? 33acosC，由正弦定理得sinCsinA?3sinAcosC……2分

?sinA?0 ?tanC?3, ?0?C?? ?C??3 ……4分

(2) sin(??A?B)?sin(A?B)?3sin2A ?2cosAsinB?6sinAcosA 当cosA?0时，sinB?3sinA ?b?3a ……6分

?a?2,b?32 S?133 ……9分 absinC?22当cosA?0时，A??2 ，b?ctan?6?42173 ?S?bc? ……12分 32318.（1）证明：连接AC1交AC1与点F,则F为AC1的中点。 ……2分 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.

∵DF?平面ACD ,BC1? 平面ACD ∴BC1∥平面ACD ……5111分

(2)∵ ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴AA1 ⊥CD 由已知AC=CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB.

又AA1? AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1. ……8分 由AA1=AC=CB=2，AB=22 得∠ACB=90°，CD=2，A1D?故A1D2?DE2?A1E2 ，即DE⊥A1D

6,DE?3,A1E?3

11?VC?A1DE???6?3?2?1 ……12分

3219.（1）依题意，20?(0.002?0.0095?0.011?0.0125?x?0.005?0.0025)?1

解得x=0.0075. ……4分 (2)由图可知，最高矩形的数据组为[220，240) ,

6

所以众数为

220?240?230 。 2?[160,220)的频率之和为(0.002?0.0095?0.011)?20?0.45 ，

? 依题意，设中位数为y

∴0.45+（y-220）? 0.0125=0.5 , 解得y=224，

? 中位数为224. ……8分

（3） 月平均用电量在[220，240)的用户在四组用户中所占比例为

0.012550.0125?0.0075?0.005?0.0025?11

? 月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取11?511=5（户） ?b?320（1）由题设知??c1 ，又b2?a2?c2 ，

??a?2a?2,b?3,c?1 ? 椭圆的方程为x22?y4?3?1 （2）由（1）知，以F221F2为直径的圆的方程为x?y?1 ， 所以圆心到直线的距离为d?2|m|5 ，由d?1 得|m|?52 （? ）?|CD|?21?d2?21?45m2?255?4m2 ?x?设A(x?y??12x?m1,y1),B(2,y2) 由?2 得x2?mx?m2?3?0 ?x2??4?y3?1由根与系数的关系可得x21?x2?m,x1x2?m?3

?|AB|?[1?(?12)2][m2?4(m2?3)]?1524?m2 由|AB||CD|?534得4?m25?4m2?1 ，解得m??33 ，满足（? ） ∴直线l 的方程为y??132x?3或y??132x?3 ……12分

……4分

……6分

10分

……12分 7

……

21. (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,??)，

g(x)?f?(x)?2(x?1?lnx?a)， ?g?(x)?2?当x?(0,1)时，g?(x)?0,g(x)单调递减；

22(x?1) ……2分 ?xx当x?(1,??)时，g?(x)?0,g(x)单调递增. ……5分 （2）由f?(x)?2(x?1?lnx?a)?0，解得a?x?1?lnx. 令?(x)??2xlnx?x?2x(x?1?lnx)?(x?1?lnx)

22?(1?lnx)2?2xlnx ……7分

则?(1)?1?0,?(e)?2(2?e)?0 于是，存在x0?(1,e)使得?(x0)?0.

令a0?x0?1?lnx0?u(x0)，其中u(x)?x?1?lnx(x?1). 由u?(x)?1?1?0知，函数u(x)在区间(1,??)上单调递增， x故0?u(1)?a0?u(x0)?u(e)?e?2?1，即a0?(0,1).

当a?a0时，有f?(x0)?0,f(x0)??(x0)?0 ……9分 再由（1）知，f?(x)在区间(1,??)上单调递增， 当x?(1,x0)时，f?(x)?0,从而f(x)?f(x0)?0； 当x?(x0,??)时，f?(x)?0从而f(x)?f(x0)?0； 又当x?(0,1)时，f(x)?(x?a0)2?2xlnx?0 . 故x?(0,??)时f(x)?0

综上所述，存在a?(0,1)，使得f(x)?0恒成立，且f(x)?0在区间(1,??)内有唯一解. ……12分

22.(1)如图,连接AE,由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE， 连接OE，则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°， 所以∠DEC+∠OEB=90°,

8

故∠OED=90°，DE是⊙O的切线 ……5分

（2）设CE=1.AE=x，由已知得AB=23 ，BE=12?x ，

由射影定理可得，AE2?CE?BE ，所以x?12?x ，即x4?x2?12?0 可得x?2223 ，所以∠ACB=60°。 ……10分

2223.（1）曲线C2的直角坐标方程为x?y?2y?0 ，曲线C3的直角坐标方程为

?22x???x?0???x?y?2y?022 x?y?23x?0，联立?，解得?或?22y?0??x?y?23x?0?y????所以C2与C3与交点的直角坐标为(0,0)和(32 3233,) 。 ……5分 22（2）曲线C1 的极坐标方程为???(??R,??0),其中0???? ， 因此A的极坐标为(2sin?,?)，B的极坐标为(23cos?,?) ， 所以|AB|?|2sin??23cos?|?4|sin(??当???3)|

5?时，|AB|取最大值，最大值为4 ……10分 6－2x＋5，x≤2，??

24．解：(1)当a＝－3时，f(x)＝?1，2

??2x－5，x≥3.

当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2

当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． ……5分 (2) f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[－3,0]． ……10分

9

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