2008年~2011年_广东省数学(理科)高考真题试卷_全部附有答案

绝密 ★ 启用前 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试

室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应

位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息

点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．

已知n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）

A ．(15)，

B ．(13)， C

． D

．

2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =

，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36

D ．48

3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）

A ．24

B ．18

C ．16

D ．12 表1

4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ?+?

+?????

，，

，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）

A ．90

B ．80

C ．70

D ．40

5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．()p q ?∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ?∧?

D ．()()p q ?∨?

7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-

B ．3a <-

C ．1

3

a >-

D ．13

a <-

8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与

CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =

（ ）

A ．

11

42

+a b B ．2133+a b

C ．

11

24

+a b D ．1

233

+

a b 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题） 9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10．已知26

(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8

x 的系数小于 120，则k = ．

11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直

的直线方程是 ．

12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．

E F D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1

图2 B

E

A ．

B

E

B ． B

E

C ．

B

E

D ．

图3

图4 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ??=< ???

，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ． 14．（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104

x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 ．

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，则圆O 的半径R = ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，

，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ?? ???

，． （1）求()f x 的解析式；

（2）已知π02αβ?

?∈ ???，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值．

17．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．

（1）求ξ的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

18．（本小题满分14分） 设0b >，椭圆方程为22

2212x y b b

+=，抛物线方程为28()

x y b =-．如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的

右焦点1F ．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

19．（本小题满分14分）

设k ∈R ，

函数111()1x x f x x ?

，≥，()()F x f x kx =-，

x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．

20．（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠= ，45BDC ∠= ，PD 垂直底面ABCD ，

分别是PB CD ，上的点，且

PE DF EB FC

=，过点E 作BC 的平行线交（1）求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；

（2）证明：EFG △是直角三角形；

（3）当12PE EB =时，求EFG △的面积．

21．（本小题满分12分） 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，

22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，

，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=；

（2）求数列{}n x 的通项公式；

（3）若1p =，14q =

，求{}n x 的前n 项和n S ．

图5

绝密★启用前 试卷类型B

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：C D C C A D B B

1．C 【解析】12+=a z ，而20<

2．D 【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S

3．C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是5003703803773732000=----，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=?

4．C 5．A

6．D 【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ?∨?

为真命题

7．B 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a

=

-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-。

8．B

二、填空题：

9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算，而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12，即此时有3i =。

10．【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r r T C kx C k x +==，我们知道8x

的系数为444615C k k =，即415120k <，也即48k <，而k 是正整数，故k 只能取1。 11．【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。

12．【解析】21cos 211()sin sin cos sin 2)2242x f x x x x x x π-=-=

-=-+，故函数的最小正周期22

T ππ==。 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

图4

13．【解析】由cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=?≥

≤

=??=

??

)6π。 14．10,4

??

????

15．【解析】依题意，我们知道PBA PAC ?? ,由相似三角形的性质我们有

2PA PB

R AB

=,

即2PA AB R PB ?===

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ?=+，将点1

(

,)32M π代入得1

sin()32

π?+=，而0?π<<，536π

?π∴

+=，2π?∴=，故()sin()cos 2

f x x x π

=+=；

（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,2

π

αβ∈，

45

sin ,sin 513

αβ∴====，

3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=。

17．解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；

126(6)0.63200P ξ===，50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===，4

(2)0.02200

P ξ=-==

故ξ的分布列为：

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

18．解：（1）由2

8()x y b =-得2

18

y x b =

+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，

1

'4

y x =

， 4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -， 由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，

即椭圆和抛物线的方程分别为2

212

x y +=和28(1)x y =-； （2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,

∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ?只有一个，同理∴以PBA ∠为直角的Rt ABP ?只有一个。 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为2

1(,

1)8

x x +，A 、B

两点的坐标分别为(

和，

222421152(1)108644

PA PB x x x x =-++=+-= 。

关于2

x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ?有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP ?为直角三角形。

19．解：

1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ?-

，21,1,(1)'(),

1,

k x x F x k x ?-

()(1)1F x kx x x =-<-，

当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；

当0k >时，函数()F x

在(,1-∞

上是减函数，在(1上是增函数；

对于()(1)F x k x =≥，

当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；

当0k <时，函数()F x 在211,14k ??+???

?上是减函数，在211,4k ??++∞????上是增函数。 20．解：（1）在Rt BAD ?中，

60ABD ∠=

，,AB R AD ∴==

而PD 垂直底面ABCD

，PA =

=

F P

G E

A B

图5

D

PB===,

在PAB

?中，222

PA AB PB

+=,即PAB

?为以PAB

∠为直角的直角三角形。

设点D到面PAB的距离为H,

由

P ABD D PAB

V V

--

=有PA AB H AB AD PD

=

,

即

AD PD

H

PA

==

，

sin

H

BD

θ==;

(2)//,PE PG

EG BC

EB GC

∴=,而

PE DF

EB FC

=,

即,//

PG DF

GF PD

GC DC

=∴,GF BC

∴⊥，GF EG

∴⊥,EFG

∴?是直角三角形；（3）

1

2

PE

EB

=时

1

3

EG PE

BC PB

==,

2

3

GF CF

PD CD

==,

即

1122

2cos45,

3333

EG BC R R GF PD

==???===?=,

EFG

∴?

的面积2

114

229

EFG

S EG GF R

?

===

21．解：（1）由求根公式，不妨设<

αβ

，得==

αβ

∴+==p

αβ

，==q

αβ

（2）设

112

()

---

-=-

n n n n

x sx t x sx，则

12

()

--

=+-

n n n

x s t x stx，由

12

n n n

x px qx

--

=-

得，

+=

?

?

=

?

s t p

st q

，消去t，得20

-+=

s ps q，∴s是方程20

x px q

-+=的根，

由题意可知，

12

,

==

s s

αβ

①当≠

αβ时，此时方程组+=

?

?

=

?

s t p

st q

的解记为12

12

==

??

??

==

??

s s

t t

αα

ββ

或

112

(),

---

∴-=-

n n n n

x x x x

αβα

112

(),

---

-=-

n n n n

x x x x

βαβ

即{}

11-

-

n n

x t x、{}

21-

-

n n

x t x分别是公比为

1

=

sα、

2

=

sβ的等比数列，

由等比数列性质可得2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ααβ,2

121

()-

-

-=-n

n n

x x x x

ββα,

两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ

22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα

1()-∴-=-n n

n x βαβα，即1--∴=-n n

n x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ，

即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知 2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα 即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n α，得111--=+n

n n n x x αα，即111---=n

n n n x x αα

∴数列{}n

n x α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-?=+-=+n

n x x n n n αααα

∴=+n n n x n αα 综上所述，11

,(),()++?-≠?=-??+=?

n n n n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12

==αβ 11()()22

∴=+ n n n x n 232311111111()()()...()()2()3()...()2

2222222n n n S n ????=+++++++++ ? ?????

23111111()()2()3()...()22

222n n n ??=-+++++ ??? 111111()2()()3(3)()2222

n n n n n n -=-+--=-+

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1. 已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系

的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

A. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 无穷多个 【解析】由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=?N M ，有2个，选B.

2. 设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

【解析】()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，选C.

3. 若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =

A. 2log x

B. 12log x

C.

12

x D. 2x

【解析】x x f a log )(=，代入)a ，解得21=a ，所以()f x =12

log x ，选B. 4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

【解析】由25252(3)n n a a n -?=≥得n n a 222=，

0>n a ，则n n a 2=， +???++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+???++=-，选C.

5. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是

A. ①和②

B. ②和③

C. ③和④

D. ②和④

【解析】选D.

6. 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为

A. 6

B. 2

C.

D.

【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D.

7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则

有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.

8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是

A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面

B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在0t 时刻，两车的位置相同

D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面

【解析】由图像可知，曲线甲v 比乙v 在0～0t 、0～1t 与x 轴所围成图形面积大，则在0t 、1t 时刻，甲车均在乙车前面，选A.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9 ~ 12题）

9. 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示

的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征

是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：

=”）

【解析】s =n

a a a n +???++21；平均数

10. 若平面向量a ，b 1=，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则= .

【解析】)0,1(=+或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=或

)1,3()1,2()0,1(-=---=.

11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 【解析】2

3=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为193622=+y x . 12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，

b = ．

【解析】由题知1211=

++c b a ，061=++-c a ，1121211222=?+?+?c a ，解得125=a ，4

1=b . （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）若直线??

?+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =??=-?（s 为参数）垂直，则k = ． 【解析】1)2(2-=-?-k ，得1-=k .

14．（不等式选讲选做题）不等式1

12x x +≥+的实数解为 ． 【解析】1

1

2x x +≥+2302)2()1(022122-≤????≠++≥+????≠++≥+?x x x x x x x 且2-≠x . 15．（几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，

则圆O 的面积等于 ．

【解析】解法一：连结OA 、OB ，则090=∠AOB ，∵4=AB ，OB OA =，∴22=OA ，则ππ8)22(2=?=圆S ；解法二：222445sin 4

20=?==R R ，则

ππ8)22(2=?=圆S .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分12分） 已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2π

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值；

（2）若sin()2π

θ??-=<<，求cos ?的值．

解：（1）∵a 与b 互相垂直，则0cos 2sin =-=?θθb a ，即θθcos 2sin =，代入1co s sin 22=+θθ得55

cos ,55

2sin ±=±=θθ，又(0,)2πθ∈，∴

55

cos ,55

2sin ==θθ.

（2）∵20π?<<，20π

θ<<，∴22π

?θπ

<-<-，则

1010

3)(sin 1)cos(2=--=-?θ?θ，∴

c ?22

)s i n s i n )c o s

(c o s )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ. 17．（本小题满分12分）

根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，

得到频率分布直方图如图5.

（1）求直方图中x 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

（结果用分数表示．已知7812557=，12827=，++3652182531825

7 9125

1239125818253=++

，573365?=） 解：（1）由图可知-=150x ++365218253(182********

123150)9125818253?-=?++，解得18250

119=x ； （2）219)5036525018250119(365=?+??； （3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

5

33652195036525018250119==?+?，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为5

2531=-，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为78125

76653)53()52()53()52(116670777=--C C .

18．（本小题满分14分） 如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点

E 是正方形11BCC B 的中心，点

F 、

G 分别是棱111,C D AA 的中点．

设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．

x

（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；

（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.

解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1

DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ，

则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为

111111E D G Rt FG E Rt FG D E S S S ??+= 2212

12221=??+??=

， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴323111111=?=-EE S V FG DE FG DE E . （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、)1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ， ∴01)1(01=+-+=?FG ，01)1(011=+-+=?FE FG ，即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，

又F FE FE =?1，∴⊥1FG 平面1FEE .

（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA

，则62

,cos 11=>=

面直线11E G EA 与所成角为θ，则3

3321sin =-

=θ. 19．（本小题满分14分） 已知曲线2

:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．

（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；

（2）若曲线222

51:24025

G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 解：（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)2

5,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则22

5,221t y s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2)212(252-=-

x y 化简可得8

112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4

541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4

541<<-x ）. （2）曲线22251:24025

G x ax y y a -+-++=， 即圆E ：2549)2()(22=-+-y a x ，其圆心坐标为)2,(a E ，半径5

7=r 由图可知，当20≤≤a 时，曲线22251:24025

G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点； 当0

G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，只需圆心E 到直线:20l x y -+=的距离5

72|

|2|

22|≤=+-=a a d ，得0527<≤-a ，则a 的最小值为5

27-. 20．（本小题满分14分）

已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x

=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q

m 的值；

（2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；

又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =

m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x m

f x x x x

=

=++， 设()

,o o P x y ，则2

02

020202)()2(||x m x x y x PQ +

+=-+= m m m m m x m x 2||2222222220

2

20

+=+≥++=

当且仅当20

2

20

2x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2

当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0

+-m 解得12--=m

（2）由()

()120m

y f x k x k x x

=-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()*

当1k =时，方程()*有一解2m x =-

，函数()y f x kx =-有一零点2

m

x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，

若0m >，1

1k m

>-

， 函数

()y f x

k x =

-有两个零点

)

1(2)

1(442k k m x ---±-=

，即

1

)

1(11---±=

k k m x ；

若0m <，11k m

<-

， 函数

()y f x

k x =

-有两个零点

)

1(2)

1(442k k m x ---±-=

，即

1

)

1(11---±=

k k m x ；

当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 11k m

=-

, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1

综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-

；

当11k m >-(0m >)，或11k m

<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1)1(11---±=

k k m x ； 当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=1

1. 21．（本小题满分14分）

已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（2

）证明：13521n n n x x x x x y -????<

< . 解：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得

0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2222=+--=?n n n k k n k ，∴12+=n n

k n （12+-n n

舍去）

22

222

)1(1+=+=n n k k x n n n

，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵1

21111111+=+++-=+-n n n n n

x x n n 1

2112125331212432112531+=+-??????<-??????=???????-n n n n n x x x x n ∴n

n n x x x x x x +-

n x x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得22c o s =x ，给定区间)4,0(π，则有0)('

单调递减，∴0)0()(=

121

0π

<≤+

sin 2121+<+n n ，即n

n

n n y x

x x sin 211<+-.

绝密★启用前 试卷类型：A

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式V =13

sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合A={x|-2＜x ＜1},B=A={x|0＜x ＜2},则集合A ∩B=

A.{x|-1＜x ＜1}

B.{x|-2＜x ＜1}

C.{x|-2＜x ＜2}

D.{x|0＜x ＜1}

2.若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z1`z1=

A.4+2i

B.2+i

C.2+2i

D.3+i

3.若函数f(x)=3x +3x -与g(x)=33x x

--的定义域均为R ，则

A ．f(x)与g(x)均为偶函数

B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C ．f(x)与g(x)均为奇函数

D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数

4．已知数列{n a }为等比数列，n s 是它的前n 项和,若2a *3a =2a ．，且4a 与27a 的等差中项为54，则5s =

A ．35

B ．33

C ．3l

D ．29

5.“14

m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

6.如图1，ABC V 为正三角形，''

'////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥=

==平面ABC 且3AA 则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是

7.已知随机量X 服从正态分布N （3,1），且P （2≤X ≤4）=0.6826，

则P(X ＞4)=

A.0.1588

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪

亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜

色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记住5个彩灯

有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且

仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A.1205秒

B.1200秒

C.1195秒

D.1190秒

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分

30分

（一）必做题(9～13题)

9.函数，f (x )=lg (x -2)的定义域是

10．若向量a =(1,1，x)，b =(1，2,1)，c =(1，1,1)满足条件(c —a )·2b =-2，则x=

11.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，

b

A +C =2

B ，则sin

C = .

12.若圆心在x

O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0

相切，则圆O 的方程是 .

13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年

的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，

4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，分别为1，2，

则输出的结果s 为 .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB

的中点P ，23a PD =

,∠OAP=30°则CP=

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0msq.html