弹性力学复习题1

弹性力学复习题 – 2015年春

一、 名词解释

1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或者温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

3. 外力：其它物体对研究对象（弹性体）的作用力。外力可以分为体积力和面积力。 4. 体力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。 5. 面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力。

二、填空题

1.弹性力学的基本假设为均匀性、各向同性、 连续性 、 完全弹性 和 小变形 。 2.弹性力学正面是指 外法线方向与坐标轴正向一致 的面，负面指 外法线方向与坐标轴负向一致 的面。

3.弹性力学的应力边界条件表示在边界上 应力 与 面力 之间的关系式。除应力边界条件外弹性力学中还有 位移 、 混合 边界条件。

4.在平面应力问题与平面应变问题中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和边界条件都相

2同。因此，若已知平面应力问题的解答，只需将其弹性模量E换为 E?1???，泊松比?换为??1???，即可得到平面应变问题的解答。

5.平面应力问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远小于另外两个方向上的尺寸；平面应变问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸。

三、单项选择题

1. 下列关于弹性力学问题中的正负号规定，正确的是 D 。 (A) 应力分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 (B) 体力分量是以正面正向为正，负面负向为正 (C) 面力分量是以正面正向为正，负面负向为负 (D) 位移分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负

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2. 弹性力学平面应力问题中应力分量表达正确的是 A 。 (A) ?z?0 (B) ?z?[?z??(?x??y)]/E (C) ?z??(?x??y) (D) ?z?fz 3. 弹性力学中不属于基本方程的是 A 。

(A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程

4. 弹性力学平面问题中一点处的应力状态由 A 个应力分量决定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5

四、 问答题

1. 弹性力学的基本假定是什么，各有什么作用？

答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：

1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是

连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，

复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。

因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是

说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。 2. 弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？

答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

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（1）平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的

作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。

（2）平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力

的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量?x,?y,?xy存在，且仅为x,y的函数。

3. 常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数?求解，应力函数?必须满足哪些条件？

答：（1）相容方程：?4??0 ；（2）应力边界条件；（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

4. 请说明应力和面力符号规定的区别；

答：当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力或切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。与此相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。 5. 请说明弹性力学和材料力学中关于切应力符号规定的区别。

答：在弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同：材料力学中规定，凡企图使微段顺时针转动的切应力为正；在弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，相反的方向均为负。

6. 平面问题的位移解法是如何推导出来的？请详细推导。 7. 平面问题的应力解法是如何推导出来的？请详细推导。

8. 求解弹性力学问题的三类基本方程是什么？仅由基本方程是否可以求得具体问题的解答？为什么？

答：平衡方程，几何方程和物理方程。仅由基本方程不可以求得具体解答，因为缺少边界条件，只能得到问题的通解而不是特解。 9. 简述圣维南原理及其在弹性力学中的简化作用。

答：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略

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不计。

作用： (1)将次要边界上复杂的面力做分布的面力替代；(2) 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

10. 如何正确写出弹性力学平面问题的应力边界条件？请写出具体步骤。 答：(1) 找出边界的外法线方向n??l,m?，求出l和m；

(2) 写出边界上的应力的x分量X以及y分量Y的表达式； (3) 按如下公式写出边界条件

???x??l???xy??m?Xs?s ???l???m?Y?y?s???xy?s下标s表示在边界上取值。

11. 什么是半逆解法？请写出半逆解法求解弹性力学平面问题的步骤。 12. 阐述你对有限元方法的认识。

五、 计算题

1. 试考虑下列平面问题的应变分量是否有可能存在

32(1) ?x?Axy，?y?By，?xy?C?Dy；

22(2) ?x?Ay，?y?Bxy，?xy?Cxy；

(3) ?x?0，?y?0，?xy?Cxy

解：应变分量存在的必要条件是应变分量满足变形协调条件，即

22?2?x??y??xy?2?

?x?y?y2?x因此，(1)相容；(2)须满足B?0,??2A?C；(3)不相容。只有C?0，则?x???y??yx2. 在无体力的情况下，试考虑下列应力分量是否可能在单连通弹性体中存在 (1) ?x?Ax?By，?y?Cx?Dy，?xy?Ex?Fy；

2222(2) ?x?A?x?y?，?y?B?x?y?，?xy?Cxy

0。

解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，即

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???x??xy??fx?0??x?y?2 和 ???x??y??0 ????xy???y?f?0y??y??x因此，(1)该组应力满足相容方程，为了满足平衡微分方程，必须满足A??F和D??E；(2)为了满足相容方程，其系数必须满足A?B?0，为了满足平衡微分方

程，其系数必须满足A?B??意义。

C。这只能是A?B?C?0，即弹性体内无应力，无23. 已知平面应力问题的应力?x?ax?by，其他应力分量为零，求位移场。 解：由平面应力问题的物理方程

?x?2?1???11?x???y??y???y???x??xy??xy ?EEE可以得到

?11??x???x???y???ax?by?EE??1???y???y???x????ax?by? (1)

EE??2?1??????xy?0?xyE?(1)式代入几何方程

?x??u?x?y??v?y?xy??v?u? ?x?y得到

??u1??x?E?ax?by????v?????ax?by? (2)

E??y??v?u?0???x?y?(2)式的前两式分别对 x、y积分，得

?1?12??u?E?2ax?bxy??f1?y???? (3) ??1???v??axy?by2??f2?x???E?2??将(3)式代入(2)式的第三个方程中，可得

b?ax?f1??y??y?f2??x??0 EE 5 / 15

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f2??x??b?ax??f1??y??y (4) EE此方程的左边的自变量为x，右边的自变量为y，等式要恒成立则要求两边等于同一个常数c，故可以令：

b??fx?x?c????2E (5) ??a??f??y??y?c1??E将这两个方程分别对x和y积分就得到

b2?fx??x?cx?c2????22E (6) ??a2?f?y??y?cy?c11??2E(6)式代入(3)式得到

?1?12??a2?u?E?2ax?bxy??2Ey?cy?c1??? (7) ??1b??22?v??x?cx?c2?axy?by???E22E???4. 如图所示三角形柱体，下部受均匀载荷，斜面自由，不计体力，试检验应力分量

??x?a??arctan???y?a??arctan?y2?xy??a2x?y2?yxy?2?b?xx?y2??yxy?2?c? xx?y2?是否满足应力表示的全部方程，并求常数a，b，c使其满足给定的边界条件。

BβOqA

解：(1) 验证（略）应力分量满足如下平衡方程

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???x??xy??0??x?y? ????xy???y?0??y??x和相容方程

??2?2??2?2???x??y??0

?y?x??(2) 对y?0有边界条件

???y?y?0??q???xy0?0 y?将

??yxy?y?a???arctanx?x2?y2?c?? 和

y2?xy??ax2?y2

代入(1)式得到

ac??q 对OB边有如下边界条件

?????x?s?l???xy?s?m?0????y?s?m???xy?s?l?0 将

???l?cos????2?????sin????? ??m?cos???????cos?代入(3)式得到

?????x?s?sin????xy?s?cos??0????y?s?cos????xy?s?sin??0OB边的方程为

y??tan??x 将(5)式代入应力分量

(1) (2)

(3)(4)(5)7 / 15

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??x?a??arctan???y?a??arctan?y2?xy??a2x?y2?yxy?2?b?xx?y2??yxy?2?c? 2xx?y?并利用(2)式得到

???x??a???sin?cos??b?s?????y?s?a???sin?cos??c? (6) ????a?sin2????xy?s将(6)式代入(4)式有

2??a???sin?cos??b??sin??a?sin??cos??0 ?2??a???sin?cos??c??cos??a?sin??sin??0解得

??b???? (7) ?3sin??c??sin?cos????tan????cos??(7)式代入(2)式得到

a??q (8)

tan???5. 如图所示，设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力忽略不计，

l??h。试用应力函数??Axy?By2?Cy3?Dxy3求解应力分量。

MFNOh/2h/2FS

(>> hδ = 1)解：(I) 显然，应力函数

??Axy?By2?Cy3?Dxy3 (1)

满足双调和方程。

(II) 写出应力的表达式（不计体力）

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?2??x?2?2B?6Cy?6Dxy (2)

?y?2??y?2?0 (3)

?x?2???A?3Dy2 (4) ?xy???x?y(III) 通过边界条件确定待定系数 边界条件为：

边界y??h2上：

?yy??h?02 ?xyy??h?02 边界y?

h

2

上： ?yy?h?02 ?xyy?h?02 由(2)(4)(5)(6)式有

2?A?3D??h???2???0

A?34h2D?0 由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。

在边界x?0上，用圣维南原理提出如下边界条件

h?2?h??xx?0??dy?1??FN 2h?2?h??xy2x?0??dy?1??Fs h?2?h??xx?0??dy?1?y??M 2将(2)代入(10)得到

h?2?h?2B?6Cy??dy??FN 2Bh??FN2B??FN2h 将(4)代入(11)得到

h?2?A?3Dy2?h??dy?Fs

2(5)

(6)

(7) (8)

(9) (10)

(11)

(12)

(13) 9 / 15

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F1A?Dh2?s (14) 4h联立(9)(14)得到

A?3Fs (15) 2h2Fs (16) h3D??将(2)代入(12)得到

??2B?6Cy?y?dy??M

C??2M (17) h3h2h?2由(13)(15)(16)(17)及(2)(3)(4)得到

?x??FN12M12F?3y?3sxy (18) hhh?y?0 (19)

?xy??3Fs6Fs2?y (20) 2hh36. 如图所示的墙，高度为h，宽度为b，h>>b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试用应力函数??Axy?Bx3y求解应力分量。

Oqhb/2b/2q

解：(I) 显然，应力函数

?=Axy?Bx3y (1)

满足双调和方程。

(II) 写出应力的表达式（不计体力）

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?2??x?2?0 (2)

?y?2??y?2?6Bxy (3)

?x?2???A?3Bx2 (4) ?xy???x?y(III) 通过边界条件确定待定系数 边界条件为：

b边界x??上：

2 ?x?xyx??b2?0 (5)

x??b2??q (6)

边界x?b上： 2 ?x?xyx?b2?0 (7)

x?b2??q (8)

由(2)(4)(5)(6)式有

?b??A?3B?????q??2?23A?b2B?q (9) 4由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。 在边界y?0上，有

?y?xyy?0?0 (10) ?0 (11)

y?0条件(10)自动满足，然而，条件(11)会导致A?B?0，这说明问题原应力函数取得不合适。因为h??b，可以用圣维南原理，在边界y?0处提出如下边界条件

?由 (4)(12)有

b2b?2????dx?1?0 (12)

xyy?0???A?3Bx?dx?0

2b2b?2 11 / 15

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b2A?B?0 (13)

4由 (9)(13)有

A??q (14) 2B?2q (15) b2(IV) 将(14)(15)代入(2)(3)(4)有

?x?0 (13)

?y?12qxy (14) b2q6q2?x (15) 2b2 ?xy?7. 设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为?，试用纯三次多项式为应力函数求解应力分量。

Oαρ

解：(I) 取应力函数为

?=ax3?bx2y?cxy2?dy3 (1)

显然应力函数?满足双调和方程。 (II) 写出应力的表达式

X?0?2??x?2?Xx?2cx?6dy (2)

?yY??g?2??y?2?Yy?6ax?2by??gy (3)

?x?2???2bx?2cy (4) ?xy???x?y(III) 通过边界条件确定待定系数 边界y?0上：

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?y?xyy?0?0 (5) ?0 (6)

y?0????l?cos??????sin???x??l???m?0xyy?xtan?2??y?xtan???y?xtan?边界上： ? ?

??l???m?0??m?cos?yy?xtan??xyy?xtan???即

??x??xyy?xtan??sin???xy?sin???yy?xtan??cos??0 (7) ?cos??0 (8)

y?xtan?y?xtan?由(3)(5)式有

6ax?0?a?0 (9)

由(4)(6)式有

?2bx?0?b?0 (10)

由(2)(3)(4)(7)(8)及(9)(10)有

???2cx?6dy??sin????2cy?y?xtan??cos??0?y?xtan? ????2cy?y?xtan??sin?????gy?y?xtan??cos??0?????2cx?6dxtan???sin????2cxtan???cos??0? ?2cxtan??sin????gxtan??cos??0????c?d???g (11) 2tan??g (12)

3tan2?(IV)将(9)(10)(11)(12)代入(2)(3)(4)有

?x??g2?gx?y (13) tan?tan2??y???gy (14)

?xy???gy (15) tan?8. 固定端为无限远的三角形悬臂梁，上表面受到均匀分布的载荷q作用，如图所示。取应力函数为

y????k???x2?y2???x2?y2?arctan?xy?x2tan??

x??求应力分量（不计体力）。

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Oα

解：(1) 验证应力函数?满足双调和方程?4??0

?4??16x3?x4?k?y?16xy?x2?y2???? ??x2?y2?3???4

???16xy3?16xy?x2?y2???y4?k?????x2?y2?3??4??16x3y?8xy?x2?y2??

???x2?y2?k????x2?y2?3????4??0 (2) 写出应力表达式

??2???2??2arctany2xy?x??y2?k?x?x2?y2?? ??2??y2xy?y??x2?k??2???tan???2arctanx+x2?y2?? ??2???k?2x2?xy???x?y??2?x2?y2?? (3) 通过边界条件确定待定系数k 边界y?0上：

?yy?0??q ?xyy?0?0 由(3)式和(5)式得

k??q2???tan?? 由(4)式知道，(6)式自动满足。

(1)(2)(3)(4) (5)(6)

(6)

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边界y?xtan?上：

??x?l??xy?m?0y?xtan??y?xtan? (7) ????xyy?xtan??l??yy?xtan??m?0上式中

??l?cos?????????sin? ???2? ???m?cos?将(2)(3)(4)代入(7)式，自动满足。 故应力分量为

?x??q?2???tan????2??2arctanyx?2xy?x2?y2?? ?q??y????tan?????tan??arctanyx+xyx2?y2???q?x2 ?xy???tan???1?x2?y2??

(8)

(9) (10)

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