福建省福州市2022届高三上学期期末考试文科数学试题 含答案

- 1 - 福州市2018届高三上学期期末考试

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ?=（ ）

A ．()1,6-

B ．()1,1-

C ．()1,6

D ．?

2.若复数11a z i

=++为纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

3.已知()()1,2,1,1a b ==-，2c a b =-，则c =（ ）

A

． C

24sin 15cos15?-??= （ ） A ．12 B

C ．1 D

5.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 轴上，对称中心为原点，

若点M 在C 上，且12MF MF ⊥，M

到原点的距离为则C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2

212

y x -= D ．22

12x y -= 6.已知圆柱的高为2

圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）

A ．4π

B ．163π

C ．323

π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩

- 2 - 余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）

A ．23

B ．38

C ．44

D ．58

8. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移12

个周期后，所得图象对应的函数为（ ）

A ．sin 2cos y x x =-

B ．2sin cos y x x =-

C ．sin 2cos y x x =-+

D ．2sin cos y x x =--

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A

．2+ B

．2+ C

．2+

- 3 - D

．8+10.已知函数()22log ,0,

41,0.x x a x f x x -+>??=?-≤??若()3f a =，则()2f a -=（ ）

A ．1516

- B ．3 C ． 6364-或3 D ．1516-或3 11.过椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两

点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）

A

．? ?? B

????? C

．? ?? D

?????

12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤????恰有3

个整数解，则实数a 的最小值为（ ）

A ．1

B ．2e

C ．21e +

D ．331

e e +

第Ⅱ卷（共90分）

13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．

14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ． 15.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，已知

)cos cos ,60a C c A b B -==?，则A 的大小为 ．

16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把

- 4 - 椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-.

（1）证明数列{}n

a 是等比数列； （2）设()21n n

b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n

T . 18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；

- 5 - （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2

s ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)

5.92≈≈.

19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,

90A B C D A B C ∠=?,224CD AB CE ===，

点F 为棱DE 的中点

.

（1）证明：//AF 平面BCE ；

（2

）若4,120,BC BCE DE =∠=?=，求三棱锥B CEF -的体积.

20.抛物线2:24C y x

x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .

（1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；

（2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.

21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做

- 6 - 的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα

=??=?（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ??-= ???（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；

（2）若曲线C 上存在点到l

t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.

（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；

（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ??? ???，求 实数a 的取值范围.

- 7 -

参考答案

一、选择题

1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC

二、填空题 13. 23

14. y x = 15. 75? 16. 2100000

三、解答题

17. 解：（1）当1n =时，11121a

S a ==-，所以11a =， 当2n ≥时，()()112121n n n n n a

S S a a --=-=---， 所以12n n a a -=，

所以数列{}n a 是以11a =为首项，以

2为公比的等比数列. （2）由（1）知，12n n a

-=，

所以()1

212n n b n -=-， 所以()()22113252232212n n n T n n --=+?+?++-?+-? （1）

()()2121232232212n n n T n n -=?+?++-?+-?（2）

（1）-（2）得：

()()12112222212n n n T n --=++++--?

- 8 - ()12221221212

n n n --?=+?--- ()3223n n =--，

所以()2323n n T n =-+.

18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为

4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.

（2）由（1）中的样本评分数据可得

()1928486788974837877898310

x =+++++++++=， 则有

()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310

s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222

788377838983]33-+-+-= （3

）由题意知评分在(83+之间，即()77.26,88.74之间， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为

5100%50.0%10

?=.

另解：由题意知评分在(83+，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40

?=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM . 因为点F 为棱DE 的中点，

所以//FM CD 且122

FM CD ==， 因为//AB CD 且 2AB =，

- 9 - 所以//FM AB 且FM AB =，

所以四边形ABMF 为平行四边形， 所以//AF BM ，

因为AF ?平面BCE ，BM ?平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .

（2）因为

//90AB CD ABC ∠=?,， 所以CD BC ⊥.

因为,4,2CD CE DE ===222 C D CE DE +=，

所以CD CE ⊥，

因为BC CE C ?=,BC ?平面BCE ，CE ?平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .

因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为

2.

11sin 42sin12022

BCE S BC CE BCE ?=?∠=???=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --?==

?123=?=. 解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点

N.

因为//,2

=，

AB CD CD AB

所以A为DN中点.

又因为F为DE的中点，

所以//

AF EN.

因为EN?平面BCE，AF?平面BCE，

所以//

.

AF平面BCE

（2）同解法一.

解法三：（1）证明：取棱CD的中点G，连接,

AG GF，因为点F为棱DE的中点，

所以//

FG CE，

因为FG?平面BCE，CE?平面BCE，

所以//

FG平面BCE；

因为//,2

==，

AB CD AB CG

所以四边形ABCG是平行四边形，

所以//

AG BC，

因为AG?平面BCE，BC?平面BCE，

所以//

AG平面BCE；

- 10 -

- 11 - 又因为FG AG G ?=,FG ?平面AFG ，AG ?平面AFG ， 所以平面//AFG 平面BCE ； 因为AF ?平面AFG ，

所以//AF 平面BCE .

（2）同解法一.

20.解法一：（1）由题意得()()()()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQ x x a k x

-+= 24x =-

()2,4∈-

（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=

，解得1x =±，

故1,1A B ???? ? ? ? ?????

. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由22MP MA =得，(

)22221t a t +-=+??

， 解得124a t =+，则圆E

的半径为r MP =

- 12 - 所以圆E 的方程为()22211112442a a x y ????-+--=+- ? ?????，

所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ??+--++= ???， 即22112022x y x y a y ????+--+-= ? ?????

. 由22120,210,2

x y x y y ?+--=????-=?? 得012x y =???=??或212x y =???=??， 故E 都过定点110,,2,22???? ? ?????

. 解法二：（1）同解法一.

（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12

,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则

21122220,0,0.x Dx G x Dx G a Fa G ?++=?++=??++=? 因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ， 所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202a x x -+=的两根， 所以2,2

a D G =-=， 所以212G a F a a --??==-+ ??

?， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ??+--++= ???， 即22112022x y x y a y ????+--+-= ? ?????

. 由22120,210,2

x y x y y ?+--=????-=?? 得012x y =???=??或212x y =???=??， 故E 都过定点110,,2,22???? ? ?????

.

- 13 - 21.解：（1）()()0e f x a x x

'=->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数； ②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当e x a

>时，()0f x '<. 故在0,e a ?? ???上，()f x 为増函数；在,e a ??+∞ ???

上，()f x 为减函数. （2）因为0x >，所以只需证()2x

e f x e x

≤-， 由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，

所以()()max 1f x f e ==-.

记()()20x e g x e x x =->，则()()21x x e g x x -

'=，

所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，

所以()()min 1g x g e ==-.

所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2x

e f x e x

≤-，即()20x xf x e ex -+≤. 解法二：（1）同解法一.

（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex

e ex --+≤， 从而等价于ln 2x e x x ex -+≤. 设函数()ln 2g x x x =-+，则()11g x x '=-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =.

设函数()x e h x ex

=，则()()21x e x h x ex -'=. 所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>.

- 14 - 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増. 从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =. 综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.

22. 解：（1）因为直线l

的极坐标方程为cos 4

πρθ??-= ???cos sin 2ρθρθ+=，

所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；

因为cos ,sin x t y αα

=??=?（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2

221x y t

+=， 由2

222,1,x y x y t +=???+=??消去x 得，()

2221440t y y t +-+-=， 所以()()22

016414t t ?-+-<=，

解得 0t <，

故t

的取值范围为(.

（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l

的距离d =， 故d

=

解得t =又因为0t >

，所以t 23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ?-+-≤，

- 15 - 1,323,x x ??-≤?

解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，

故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.

（2）因为31,2M ??? ???

， 所以当31,2x ??∈ ???

时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a

≤+--101x x x a x a x x ?--+-≤?-≤--， 因为31,2

x ??∈ ???，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ??∈ ???

恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22??????

.

- 16 -

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