中考数学一轮复习精品导学案-第7讲：一元二次方程及其应用

第7讲一元二次方程及其应用

一、知识梳理

一元二次方程的概念及一般形式

1.－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．

一元二次方程的四种解法

1．一元二次方程的解法：

(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．

(2)配方法的步骤：移项 ，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方． (3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．

(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．

一元二次方程的根的判别式

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．(1)当△>0时， 方程有两个_______的实数根． (2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根． (3)当△<0时， 方程没有实数根．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1?x2＝________．

一元二次方程的应用

应用类型 等量关系 (1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增增长率问题 长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b 利率问题 (1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数来源学优高考网来源学优高考网gkstk]

销售利润问题 二、题型、技巧归纳

(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价 考点1一元二次方程的概念及一般形式

例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

技巧归纳：运用1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方

程的解的概念，解决此问题。

考点2一元二次方程的解法

例2 解方程：x2－4x＋2＝0.

技巧归纳：可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种解决此题。利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．

考点3 一元二次方程的根的判别式

例3 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

技巧归纳：(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

考点4 一元二次方程的应用

例4 为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要元．

(1)求a的值；

a交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20100(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？

技巧归纳：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．

三、随堂检测

1.k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．

2.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2

3、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；

(2)若x1?x2＝x1x2－1，求k的值．

参考答案

例1、A

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－b±b2－4ac

例2、[解析]通过对方程的观察发现此题直接应用公式法x＝解比较方便． 2a4±8解：∵Δ＝42－4×1×2＝ 8，∴x＝2. x1＝2＋2 ，x2＝2－2.

例3、解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根．

例4、解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，

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20?2a?80?a??35， 100即a?80a?1500?0。 解得a=30或a=50。

由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。 ∴a=50。 （2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元。

?20(0?x?50)则y??

20?0.5(x?50)(x?50)?∵5月份交电费45元， ∴5月份用电量超过50千瓦时。 ∴45=20＋0.5（x－50）， 解得x=100。

答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。 随堂检测

1、解：∵方程有两个相等的实数根， ∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16. 解得k1＝4，k2＝－4. 把k1＝4代入x2－kx＋4＝0， 得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2； 把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0，

得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.

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2、Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C. 1

3、解：(1)依题意，得Δ≥0即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤.

2(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2. 以下分两种情况讨论：

①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1. ∵k≤1

2

， ∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．

②当x<0时，则有x(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2

1＋x21＋x2＝－－1)，∵k≤1

2，∴k＝－3.综合①、②可知k＝－3.

解得k1＝1，k2＝－3.

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