2014北京昌平高三二模数学（理）试卷

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昌平区2014年高三年级第二次统一练习

数 学 试 卷（理 科） 2014.4

考生须知：

1． 2． 3．

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

4． 5．

(D(X)?(x1?E(x))2p1?(x2?E(x))2p2?L?(xn?E(x))2pn)

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 已知集合A?{x2x?1?3},B?{xx?4} , 则AUB?

(A) {x?2?x?1} (B) {xx?2} (C) {x?2?x?1} (D) {xx?2} (2) “a?1,b?1”是“ab?1”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

2（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 (3) 设a?40.1,b?log30.1,c?0.50.1，则

（A）a?b?c （B）b?a?c （C）a?c?b （D）b?c?a (4) (x?2)6的展开式中x的系数是

（A）?120 （B）120 （C）?60 （D）60 (5) 在?ABC中，BC?23,AC?2，S?ABC?6，则?C等于

（A）

2

?? （B） 43 （C）

?3??2?或 （D）或

4343

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(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）12 （B）36 （C）24 （D）72

463左视图 左视图

主视图主视图 俯视图 俯视图

(7) 如图，AB是半圆O的直径，C,D是弧AB的三等分点，

uuuruuruM,N是线段AB的三等分点，若OA?6，则MD?NC的值

是

（A）2 （B）10 （C）26 （D）28

?1??1, x?1,（8）已知f(x)??x，若函数g(x)?f(x)?kx?k只有一个零点，则k的

??lnx, 0?x?1取值范围是

（A）(??,?1)U(1,??) （B）(?1,1) （C）[0,1] （D）(??,?1]U[0,1]

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

1(9) 若数列{an}满足：a1?1,an?1?an(n?N*)，则a4?_______ .

2

(10)圆C：??2sin?的圆心到直线l:?sin???2的距离为_________ . (11)如图，已知eO中，弦BC?23,BD为eO直径. 过点C作eO的切线，交BD的延长线于点A，

?ABC?30?.则AD?____ .

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（12）已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F(2,0)，则p?________，

过点A(3,2)向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E，则EF?_____.

（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派

方法共有_____种 .

M,则 (14) 已知正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为2，在四边形ABC1D1内随机取一点

?AMB?90?的概率为_______ ，?AMB?135?的概率为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数f(x)?cosx?sinx?1,(x?R).

27?)的值； 6?2?]时，求f(x)的取值范围. （Ⅱ）当x?[?,63（Ⅰ）求f(

(16)(本小题满分13分)

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是题正确完成与否互不影响.

(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

(17)(本小题满分14分)

已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AB?2,AA1?4. （Ⅰ）求证：BD?AC1；

2,且每3

www.yitiku.cn 2014高考高频考点尽在易题库 （Ⅱ）求二面角A?AC1?D1的余弦值；

?平面PBD，若存在，求出（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面ACD11值；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

已知函数f(x)?axlnx,(a?0). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

CP的PC1（Ⅱ）当a?0时，若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?3ax?1成立，求a的取值范围.

(19)(本小题满分13分)

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，点B(0,3)为短轴的一个端

ab点，?OF2B?60?. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k(k?0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，A为椭圆的右顶点，直线线段AE,AF分别交直线x?3于点M,N，为

，记直线PF2的斜率为k'.

的中点

求证: k?k'为定值.

(20)(本小题满分14分)

已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)?a1?a2?L?an,B(n)?a2?a3?L?an?1,

C(n)?a3?a4?L?an?2,n?1,2,L .

（Ⅰ）若a1?1,a2?5，且对任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列

*

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{an}的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N*，三个数

A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.

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数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 题 号 答 案

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） B A C D C A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

1 （9） （10）3

85（11）2 （12）4；

2（13）240 （14）（第一空2分，第二空3分）

2?2??22； 1616三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为f(x)?cos2x?sinx?1

2 ?1?sinx?sinx?1 ???1分

2 ??sinx?sinx

2 ??(sinx?)?11 ， ???3分

247?7?1211113)??(sin?)???(??)2??? . ???6所以f(66242244分

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（或f(7?313 )?(?)2??1?? ???3分）

6224（Ⅱ）因为x?[?]

31所以sinx?[?,1]. ???8分

6?2?,2所以sinx?112?[?1,2].

所以(sinx?122)?[0,1]. 所以?(sinx?122)?[?1,0].

所以?(sinx?12)2?14?[?34,14]. 所以f(x)的取值范围为[?314,4].

(16)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为?, 则?的取值分别为1,2,3. P(??1)?C124C21C3?； 65P(??2)?C214C23C3?；

653P(??3)?C04C21C3?； 65 考生甲正确完成题数?的分布列为 ? 1 2 3

P 1315 5 5

E??1?15?2?315?3?5?2. 设乙正确完成面试的题数为?，则?取值分别为0,1,2,3.

???10分

???12分

???13分

???1分

???3分 ??????4分

??????5分

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1013()?； P(??0)?C3327612112P(??1)?C3()()?,

3327122221P(??2)?C3()()?,

33278323P(??3)?C3()?. ??????7分

327 考生乙正确完成题数?的分布列为:

E??0?? P 0 1 2 3 1 276 2712 278 2716128?1??2??3??2. ??????8分 272727271312222(Ⅱ)因为D??(1?2)??(2?2)??(3?2)??, ?????10分

55551612822?(1?2)2??(2?2)2??(3?2)2??. ??12分 D??(0?2)?2727272732（或D??npq?）.

3 所以D??D?. (或：因为P(??2)?31128??0.8,P(??2)???0.74, 552727 所以P(??2)?P(??2). )

综上所述，

从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定；

从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ?????13分

（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）

(17)(本小题满分14分)

证明：(Ⅰ)因为ABCD?A1BC11D1为正四棱柱，

所以AA1?平面ABCD，且ABCD为正方形. ???1分 因为BD?平面ABCD，

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所以BD?AA1,BD?AC. ???2分 因为AA1AC?A,

所以BD?平面A1AC. ???3分

因为AC?平面A1AC, 1所以BD?AC1. ???4分 (Ⅱ) 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz.则

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4) ???5分

uuuuruuur 所以D1A1?(2,0,0),DC?(0,2,?4). 1 设平面A1D1C的法向量n?(x1,y1,z1).

uuuur??x1?0,?n?D1A1?0, 所以 ?uuu.即???6r2y?4z?0?11??n?D1C?0分

令z1?1，则y1?2. 所以n?(0,2,1).

由（Ⅰ）可知平面AAC的法向量为 1uuurDB?(2,2,0). ??7分

uuur 所以cos?DB,n??410. ??8分 ?55?22 因为二面角A?AC1?D1为钝二面角，

所以二面角A?AC1?D1的余弦值为?10. ???9分 5uuruuur(Ⅲ)设P(x2,y2,z2)为线段CC1上一点,且CP??PC1(0???1).

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uuruuur 因为CP?(x2,y2?2,z2),PC1?(?x2,2?y2,4?z2).

所以(x2,y2?2,z2)??(?x2,2?y2,4?z2). ???10分 即x2?0,y2?2,z2?所以P(0,2,4?. 1??4?). ???11分 1??设平面PBD的法向量m?(x3,y3,z3).

uuurr4?uuu),DB?(2,2,0)， 因为DP?(0,2,1??

uuur4???z3?0,?m?DP?0,?2y3? 所以 ?.即?. ???12分 1??uuur???m?DB?0?2x3?2y3?0 令y3?1，则x3??1,z3?? 所以m?(?1,1,?1??. 2?1??). ???13分 2??平面PBD，则m?n?0. 若平面ACD11即2?1??1?0，解得??. 2?3所以当

CP1?平面PBD. ???14分 ?时，平面ACD11PC13(18)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,??). ????? 1分

因为f'(x)?alnx?a?a(lnx?1)， ????? 2分 令f'(x)?0，解得x?1. ????? 3分 e①当a?0时， 随着x变化时，f(x)和f'(x)的变化情况如下：

x f'(x) f(x)

1(0,) e1 e0 1(,??) e? ↘ ? ↗

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即函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增. ????? 5分 ②当a?0时， 随着x变化时，f(x)和f'(x)的变化情况如下：

1e1ex f'(x) f(x) 1(0,) e1 e0 1(,??) e? ↗ ? ↘ 即函数f(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减. ????? 7分

（Ⅱ）当a?0时，对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?3ax?1成立，

即axlnx?3ax?1.

所以axlnx?3ax?1?0.

设g(x)?axlnx?3ax?1.

因为g'(x)?alnx?a?3a?a(lnx?2), ????? 8分 令g'(x)?0，解得x?e. ????? 9分 因为a?0，

所以随着x变化时，g(x)和g'(x)的变化情况如下：

21e1ex g'(x) g(x) 2(0,e2) e2 0 2(e2,??) ? ↘ ? ↗ 即函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减. ????? 10分 所以gmax(x)?g(e2)?ae2lne2?3ae2?1??ae2?1. ????? 11分

2 所以?ae?1?0.

1. ????? 12分 e21 所以a的取值范围为(?2,0). ???13分

e 所以a?? 法二：

当a?0时，对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?3ax?1成立， 即axlnx?3ax?1.

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所以a(xlnx?3x)?1. 即

1?xlnx?3x. ????? 8分 a设g(x)?xlnx?3x. 因为g'(x)?lnx?2,

令g'(x)?0，解得x?e2. ????? 9分

所以随着x变化时，g(x)和g'(x)的变化情况如下：

x g'(x) (0,e2) e2 0 (e2,??) ? ↘ ? ↗ g(x) 即函数g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,??)上单调递增. ????? 10分 所以gmin(x)?g(e2)?e2lne2?3e2??e2. ????? 11分

1??e2. a1 所以a??2. ????? 12分

e1 所以a的取值范围为(?2,0). ???13分

e 所以

(19)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由条件可知a?2,b?3， ????2分

x2y2??1. ????4分 故所求椭圆方程为43（Ⅱ）设过点F2(1,0)的直线l方程为：y?k(x?1). ????5分

?y?k(x?1),?2222由?x2y2可得：(4k?3)x?8kx?4k?12?0 ????6分

?1??3?4因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即??0恒成立.

设点E(x1,y1),F(x2,y2)，则

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8k2x1?x2?2,4k?34k2?12x1x2?. ????8分

4k2?3因为直线AE的方程为：y?y1(x?2)， x1?2y2(x?2)， ???9分 直线AF的方程为：y?x2?2令x?3，可得M(3,y1x)，N(3,y2x)， 1?22?2所以点P的坐标(3,1y2(y1x?2?2x)). 12?21y1y直线PF'?2(x2?2x)?01?2?22的斜率为k3?1

?1yy4(1x2?2x) 1?2?2?1x1y2?x2y1?2(y1?y2)4?x4 1x2?2(x1?x2)??12kx1x2?3k(x1?x2)?4k4?x 1x2?2(x1?x2)?44?12k?k2?128k22?3k?2?4k4?4k?34k?34k2?128k24k2?3?2?4k2?3?4??34k

所以

为定值?34.

(20)(本小题满分14分)

解: (Ⅰ) 因为对任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，

所以B(n)?A(n)?C(n)?B(n).

???10分 ????12分 ????13分

???1分

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所以an?1?a1?an?2?a2, ???2分 即an?2?an?1?a2?a1?4. ???3分 所以数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列. ???4分 所以an?1?(n?1)?4?4n?3. ???5

分

（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等

比数列，则

B(n)?qA(n),C(n)?qB(n). ???6分

所以C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),

即an?2?qan?1?a2?qa1. ???7分

因为当n?1时，由B(1)?qA(1),可得a2?qa1， ???8分

所以an?2?qan?1?0. 因为an?0， 所以

an?2a2??q. an?1a1即数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列， ???9分 （２）必要性：若数列?an?是公比为q的等比数列，则对任意n?N，有

?an?1?anq. ???10分

因为an?0，

所以A(n),B(n),C(n)均大于0.于是

B(n)a2?a3?...?an?1q(a1?a2?...?an)???q, ???11分 A(n)a1?a2?...?ana1?a2?...?anC(n)a3?a4?...?an?2q(a2?a3?...?an?1)???q, ???12分 B(n)a2?a3?...?an?1a2?a3?...?an?1

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即

B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)???13分

综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. ???14分

【各题若有其它解法，请酌情给分】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0m48.html