2011年全国各地高考数学试题分类汇编《不等式》（word版）

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不等式

安徽理（４）设变量x,y满足x?y?1,则x?2y的最大值和最小值分别为 （Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１（4）B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式x?y?1对应的区域如图所示，

[来源:Z|xx|k.Com]

当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以x?2y的最大值和最小值分别为2，－2.故选B. （19）（本小题满分12分）

[来源:学科网ZXXK]

（Ⅰ）设x?1,y?1,证明

x?y?（Ⅱ）1?a?b?c，证明

11??xy， xyxlogab?logbc?logca?logba?logcb?logac

?x?y?1,?安徽文(6)设变量x,y满足?x?y?1,则x??y的最大值和最小值分别为

?x???说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

（A） 1，?1 (B) 2，?2 (C ) 1，?2 (D)2，?1

（6）B【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.

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【解析】x?y?1,x?y?1,x?0三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入

x??y，得最大值为2，最小值为－2.故选B.

?x?y?2? 福建理8．已知O是坐标原点，点A(?1,1)，若点M(x,y)为平面区域?x?1上的一个

?y?2??????????动点，则OA?OM的取值范围是 C

A．[?1,0]

B． [0,1]

C． [0,2]

D． [?1,2]

21.(3) (本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲 设不等式|2x?1|?1的解集为M． (Ⅰ) 求集合M； (Ⅱ) 若a，b∈M，试比较ab?1与a?b的大小． 解：(Ⅰ)由|2x?1|?1??1?2x?1?1?0?x?1所以M?(0,1) (Ⅱ)由(Ⅰ)及a，b∈M知0?a?1,0?b?1，所以 (ab?1)?(a?b)?(a?1)(b?1)?0，故ab?1?a?b 福建文 16．商家通常根据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a、最高销售限价b（b＞a）以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)，这里，x被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项。据此可得，最佳乐观系数x的值等于 。5－12 ?0?x?2?广东理5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定.若M(x，y)为D??x?2y?????????y上动点，点A的坐标为(2，1)．则z?OM?OA的最大值为 A.42 B.32 C.4 D.3 解:如图,区域D为四边形OABC及其内部区域,[来源:Z§xx§k.Com] ?1??11?1??9?8?7?6?5?4?3???1?1CBA1?xO?1数学教育网http://www.qyjzs.cn ???3?4数学教育网http://www.qyjzs.cn

z?(x,y)?(2,1)?2x?y,即z为直线则y??2x?z的纵截距,显然当直线y??2x?z经过点B(2,2)时,z取到最大值, 从而zmax?(2)2?2?4,故选C.9.不等式x?1?x?3?0的解集是______.

解析:x?1?x?3?0?(x?1)?(x?3),?原不等式的解集为[1,??). 广东文

5．不等式2x2?x?1?0的解集是（ ） D A． (?221,1) B(1,??) 212C． (??,1)?(2,??) D． (??,?)?(1,??)

湖北理8.已知向量a??x?z,3?，b??2,y?z?，且a⊥b.若x,y满足不等式x?y?1，则z的取值范围为

A. ??2,2? B. ??2,3? C. ??3,2? D. ??3,3? 【答案】D

解析：因为a⊥b，2?x?z??3?y?z??0，

y A(0,1) 则z?2x?3y，x,y满足不等式x?y?1，[来源:学&科&网Z&X&X&K] D(-1,0) O 则点?x,y?的可行域如图所示,

当z?2x?3y经过点A?0,1?时，z?2x?3y取得最大值3 当z?2x?3y经过点C?0,?1?时，z?2x?3y取得最小值-3 所以选D.

C(0,-1) l1 x B(1,0) l2 ???湖北文8. 直线2与不等式组?x?y?10?0???A.0个；B.1个、；C.2个；D.无数个

B[来源:学科网]

x?0y?0表示的平面区域的公共点有

x?y??24x?3y?20?y?x?湖南文14．设m?1,在约束条件?y?mx下，目标函数z?x?5y的最大值为4，则m的值

?x?y?1?为 ．

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答案：3

解析：画出可行域，可知z?x?5y在点(1m,)取最大值为4，解得m?3。 1?m1?m?y?x?湖南理7. 设m?1，在约束条件?y?mx下，目标函数z?x?my的最大值小于2，则m的

?x?y?1?取值范围为（ ）

A．(1,1?2) B．(1?2,??) C．(1,3) D．(3,??) 答案：A

1m1m2,)取最大值，由??2解得解析：画出可行域，可知z?x?5y在点(1?m1?m1?m1?m1?m?2?1。

10.设x,y?R,则(x?答案：9

解析：由柯西不等式可知(x?2211)(2?4y2)的最小值为 。 2yx1122)(?4y)?(1?2)?9。 22yx江苏附加D．选修4-5：不等式选讲[来源:学,科,网] （本小题满分10分） 解不等式：x?|2x?1|?3．

解：原不等式可化为?解得：

?2x?1?0?2x?1?0或?

?x?(2x?1)?3?x?(2x?1)?31414?x?或?2?x?，所以原不等式得解集为{x|?2?x?} 2323江西理15（2）.（不等式选做题）对于实数x，y，若x?1?1，y?2?1，则x?2y?1的最大值为 .

【答案】5 【解析】

x?2y?1?(x?1)?2(y?2)?2?(x?1)?2(y?2)?2?x?1?2y?2?2?5

江西文15．对于x?R，不等式x?10?x?2?8的解集为________

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答案：{xx?0} 解析：两种方法，方法一：分三段，

当x<-10时， -x-10+x-2?8, ? 当?10?x?2时， x+10-x+2?8, 0?x?2 当x>2时， x+10-x+2?8, x>2

x?0 ?综上：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为d1?10，到2的距离为d2?2，d1?d2?8，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是x?0.

（PS: 此题竟出现在填空的最后一道压轴题，不知道神马情况。。。。。更加肯定考试考的都是基础）

辽宁理24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=|x-2|?|x-5|． （I）证明：?3≤f(x)≤3；

（II）求不等式f(x)≥x2?8x+15的解集． 24．解：

x?2,??3,? （I）f(x)?|x?2|?|x?5|??2x?7,2?x?5,

?3,x?5.? 当2?x?5时,?3?2x?7?3.

所以?3?f(x)?3. ??????5分 （II）由（I）可知，

当x?2时,f(x)?x?8x?15的解集为空集；

当2?x?5时,f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}； 当x?5时,f(x)?x?8x?15的解集为{x|5?x?6}.

综上，不等式f(x)?x2?8x?15的解集为{x|5?3?x?6}. ????10分 辽宁文11．函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f?(x)?2，

则f(x)?2x?4的解集为 B

A．（?1，1） C．（??，?1）

B．（?1，+?）

D．（??，+?）

22全国Ⅰ理（13）若变量x,y满足约束条件??3?2x?y?9,则z?x?2y的最小值为 -6

?6?x?y?9,数学教育网http://www.qyjzs.cn

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(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1（24）解：

（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为

? ，求a的值。

|x?1|?2。

由此可得 x?3或x??1。 故不等式f(x)?3x?2的解集为

{x|x?3或x??1}。

( Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组

?x?a?x?a 或 ??x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a????aa即 x? 或a?? ???4?2因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??由题设可得?a2?

a= ?1，故a?2 2全国Ⅰ文（11）已知 ?ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ?ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是

（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20） B

?lgx1,0?x?10?（12）已知函数f(x)=?1x?6,x?0 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值?2范围是

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（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)

C

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数?(x)=2x?4 + 1。 （Ⅰ）画出函数y=?(x)的图像：

（Ⅱ）若不等式?(x)≤ax的解集非空，求n的取值范围

[来源:学科网]

（Ⅱ）由函数y?f?x?与函数y?ax的图像可知，当且仅当a??2时，函数y?f?x?与函数y?ax的图像有交点。故不等式f?x??ax的解集非空时，a的取值范围为

???,?2????1?,???。 ??10分 ?2?全国Ⅱ理[来源:Z&xx&k.Com]

（3）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是 (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a>b (D)a>b 【答案】：A 【命题意图】：本小题主要考查充分必要条件及不等式等有关知识。 【解析】：由a>b+1，得a>b；反之不成立。 全国Ⅱ文

2233?x?y?6? (4) 若变量x,y满足约束条件?x?3y??2，则z?2x?3y的最小值为

?x?1?（A）17 （B）14 （C）5 （D）3

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【答案】C

【解析】作出可行域，分析可知当x?1,y?1，zmin?5 山东理

山东文

（5）已知a，b，c∈R，命题“若a?b?c=3，则a2?b2?c2≥3”，的否命题是

（A）若a+b+c≠3，则a2?b2?c2<3 （B）若a+b+c=3，则a2?b2?c2<3 （C）若a+b+c≠3，则a2?b2?c2≥3

222（D）若a?b?c≥3，则a+b+c=3

A

?x?2y?5?0?（7）设变量x，y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z?2x?3y?1的最大值为

?x?0?（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.5

B

陕西理 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

|x?1|?|x?2|存在实数解，则实数a的取值范A．（不等式选做题）若关于x的不等式|a|…围是 ．

【分析】先确定|x?1|?|x?2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可． 【解】当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3；

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当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3；

综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要|a|…3，解得a??3或a…3， 即实数a的取值范围是(??,?3]?[3,??)． 【答案】(??,?3]?[3,??) 陕西文

3.设0?a?b，则下列不等式中正确的是 （ ） [来源:Z_xx_k.Com]

a?ba?b?b （B）a?ab?22a?ba?b?b （c）a?ab?b? (D) ab?a?22（A） a?b?ab?【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较． 【解】选B （方法一）已知a?b和

ab?a?b，比较a与2ab，因为

a2?(ab)2?a(a?b)?0，所以a?ab，同理由b2?(ab)2?b(b?a)?0得ab?b；

a?bb?aa?ba?b??0，所以?b，综上可得a?ab??b；故选B．（方2222a?ba?b?5，所以a?ab??b． 法二）取a?2，b?8，则ab?4，22作差法：b?12．如图，点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x?y的最小值为________. 【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确

定目标函数过哪一个点时取得最小值．[来源:学科网ZXXK]

【解】目标函数z?2x?y，当x?0时，z??y，所以当y取得最大值时，

z的值最小；移动直线2x?y?0，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时z?2?1?1?1． 【答案】1 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）若不等式|x?1|?|x?2|…a对任意x?R恒成立，则a的取值范围是 ．

【分析】先确定|x?1|?|x?2|的取值范围，则只要a不大于|x?1|?|x?2|的最小值即可． 【解】当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3；

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当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3； 综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要a?3， 即实数a的取值范围是(??,3]． 【答案】(??,3] 上海理 4.不等式

x?11?3的解为 . x?0或x? x215. 若a,b?R，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）D （A）a?b?2ab. （B）a?b?2ab. （C）上海文 6、不等式

22ba112??. （D）??2.

ababab1?1的解为 x?0或x?1； x9、若变量x,y满足条件??3x?y?05，则z?x?y得最大值为

2?x?3y?5?0四川理

9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为

（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元[来源:Z。xx。k.Com]

答案：C

54x053?y，解析：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u?0 ?x?y?12,?2x?y?19,??由题意，x、y满足关系式?10x?6y?72,作出相应的平面区域，u?450x?350y?50(9x?7y)在

?0?x?8,???0?y?7,?x?y?12,由?确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C． ?2x?y?19四川文 22．（本小题共l4分）

21已知函数f(x)?x?，h(x)?x．

32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；

33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)；

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1． 6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0)，

（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)???h(n)]??F?(x)??3x2?12．

令?F?(x)?0，得x?2（x??2舍去）．

当x?(0,2)时．F?(x)?0；当x?(2,??)时，F?(x)?0，

故当x?[0,2)时，F(x)为增函数；当x?[2,??)时，F(x)为减函数． x?2为F(x)的极大值点，且F(2)??8?24?9?25．

33（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x)，

24?x?a,a?x即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2，且?

1?x?4,4?x?①当1?a?4时，1?x?a，则x?1?a?x，即x2?6x?a?4?0， 4?x6?20?4a?3?5?a，∵1?x?a， ??36?4(a?4)?20?4a?0，此时x?2此时方程仅有一解x?3?5?a．

a?x1?x?4，x?a?4?0，??36?4(a?4)?20?4a，②当a?4时，由x?1?，得x2?6

4?x若4?a?5，则??0，方程有两解x?3?5?a； 若a?5时，则??0，方程有一解x?3； 若a?1或a?5，原方程无解．

方法二：原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x)，

1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x，??a?x?0,??2a??(x?3)?5.??(x?1)(4?x)?a?x.?①当1?a?4时，原方程有一解x?3?5?a； ②当4?a?5时，原方程有二解x?3?5?a； ③当a?5时，原方程有一解x?3；

④当a?1或a?5时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得h(1)?h(2)???h(n)]?1?2???n，

14n?31f(n)h(n)??n?．

6661设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?f(n)h(n)?（n?N*）

64k?34k?1从而有a1?S1?1，当2?k?100时，ak?Sk?Sk?1?k?k?1．

661(4k?3)2k?(4k?1)2(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]??

66(4k?3)k?(4k?1)k?111???0． 6(4k?3)k?(4k?1)k?1数学教育网http://www.qyjzs.cn

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即对任意k?2时，有ak?k，又因为a1?1?1，所以a1?a2???an?1?2???n． 则Sn?h(1)?h(2)???h(n)，故原不等式成立． 天津理

logx,x?0??28．设函数f?x???log?x,x?0若f?a??f??a?，则实数a的取值范围是（ ）．

?1???2 Ａ．??1,0?U?0,1? Ｂ．???,?1?U?1,??? Ｃ．??1,0?U?1,??? Ｄ．???,?1?U?0,1? 【解】若a?0，则log2a?log1a，即2log2a?0，所以a?1，

2若a?0则log1??a??log2??a?，即2log2??a??0，所以0??a?1，?1?a?0。

2所以实数a的取值范围是a?1或?1?a?0，即a???1,0?U?1,???．故选C．

9．设集合A?xx?a?1,x?R，B?xx?b?2,x?R．若A?B，则实数a,b必满足（ ）．

Ａ．a?b?3 Ｂ．a?b?3 Ｃ．a?b?3 Ｄ．a?b?3 【解】A?xa?1?x?a?1,x?R，B?xx?b?2或x?b?2,x?R．

BAa-1a+1b-2b+2a-1BA????????a+1

若A?B，则满足a?1?b?2或a?1?b?2，因此有

a?b??3或a?b?3，即a?b?3．故选Ｄ．

天津文

?x?y?3,?2．设变量x,y满足约束条件?x?y??1,则目标函数

?y?1,?z?4x?2y的最大值为（ ）．

Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．2 【解】画出可行域如图，直线z?4x?2y经过B?2,1?时，目标函数取得最大值，

所以zmax?4?2?2?1?10．故选Ｂ．[来源:学+科+网]

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?x?4y?3?0?浙江理15．已知O是坐标原点，A(2,1)，P(x,y)满足?3x?5y?25，则OP在OA方向

?x?1?0?上的投影的最大值等于 ▲ .

5125 ?x?2y?5?0,?浙江文（3）若实数x，y满足不等式组?2x?y?7?0,则3x+4y的最小值是

?x?0,y?0,? A

（16）若实数x,y满足x2?y2?xy?1，则x?y的最大值是________________。

A．13 B．15 源:Zxxk.Com]

C．20

D

．

28[

来

23 314?的最小值是 C ab79（A） （B）4 (C) (D) 5

22重庆理（7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=重庆文(2)设

,,则

,

A ,

,

，则的最大值

(A), (B)(C)

,

,,满足

(D)

,

(15)若实数,

是 .2?log23

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0m15.html