哈九中2012高三数学一轮复习单元练习题：函数(Ⅰ)

2012高三数学一轮复习单元练习题：函数（Ⅰ）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。 1、函数f(x)

1

的定义域为 ▲ 。

log2( x2 4x 3)

|x 1| 2,|x| 1,

1

2、设f(x)＝ 1，则f[f()]＝ ▲ 。

, |x| 12 1 x2

3、已知f(2x)的定义域为[0,2]，则f(log2x)的定义域为。 4、若a 20.5，b logπ3，c log2sin

2π

，则a、b、c从大到小的顺序是。 5

4 ，则该函数的解析5、若函数f(x) (x a)(bx 2a)（常数a，b R）是偶函数，且它的值域为 ，

式f(x) ▲ 。

6、若不等式｜3x－b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 ▲ 。

7、定义运算法则如下：

181

a b a b,a b lga lgb,M 2 ,N ,

412525

2

1

21312

则M＋N＝ ▲ 。

2x

8、设0 a 1，函数f(x) loga(a

2ax 2)，则使f(x) 0的x取值范围是 ▲ 。

|lg|x 1||,x 1f(x) 9、设定义域为R的函数，则关于x的方程f2(x) bf(x) c 0有7个不同实数

0,x 1

解的充要条件是 ▲ 。

10、设方程2lnx 7 2x的解为x0,则关于x的不等式x 2 x0的最大整数解为 11、若关于x的不等式x 2 x t至少有一个负数解，则实数t的取值范围是。

312

、设f(x) x log2x，则对任意实数a,b，a b 0是f(a) f(b) 0的

2

▲ 条件。

13、已知函数y xf (x)的图象如左图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y f(x)的图象大致是 ▲ 。

14、a是实数,函数

2

f(x) 2ax 2

.如

果函

数y f(x)在区间[－1,1]上有零点,则a的取值范围是 ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx，(a，b为常数，且a≠0)满足条件f(－x＋5) ＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有两个相等的实根。 (1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数m,n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在,求出m,n的值，若不存在,请说明理由。

16、某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

(1) 分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式； (2) 该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

17、设函数f(x) tx2 2t2x t 1(x R，t 0)． （1）求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围． （2）若h(t) 2t m对t (0，

18、已知函数f(x) 2

x

图2

a. 2x

(1) 若f(x)为奇函数，求a的值.

(2) 将y f(x)的图象向右平移两个单位，得到y g(x)的图象．求函数y g(x)的解析式； (3) 若函数y h(x)与函数y g(x)的图象关于直线y 1对称，求函数y h(x)的解析式； (4) 设y h(x)的最大值是m

，且m 2求实数a的取值范围．

19、设x1、x2(x1 x2)是函数f(x) ax3 bx2 a2x(a 0)的两个极值点. （1）若x1 1,x2 2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1| |x2| 22，求b的最大值；

（3）设函数g(x) f'(x) a(x x1)，x (x1,x2)，当x2 a时，求证： g(x≤

1

aa( 312

2

2 )。

20、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：①f(1) 3；②f(x) 2恒成立；③若

x1 0,x2 0,x1 x2 1，则有f(x1 x2) f(x1) f(x2) 2。

（1）试求函数f(x)的最大值和最小值； （2）试比较f(

11) 2的大小(n N）与； nn22

1

（3）某人发现：当x＝2n N)时，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：对一切x (0,1],都有f(x) 2x 2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由。

参考答案

一、填空题： 1、函数f(x)

1

的定义域为 ▲ 。(1,3)

log2( x2 4x 3)

|x 1| 2,|x| 1,

14

2、设f(x)＝ 1，则f[f()]＝ ▲ 。

, |x| 1213 1 x2

3、已知f(2x)的定义域为[0,2]，则f(log2x)的定义域为 ▲ 。[2,16] 4、若a 20.5，b logπ3，c log2sin

2π

，则a、b、c从大到小的顺序是 ▲ 。a>b>c 5

4 ，则该函数的解析5、若函数f(x) (x a)(bx 2a)（常数a，b R）是偶函数，且它的值域为 ，

式f(x) 2x2 4 ． ▲ 条件。

6、若不等式｜3x－b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 ▲ 。（5，7）

7、定义运算法则如下：

181

a b a b,a b lga lgb,M 2 ,N ,

412525

2

1

21312

则M＋N= ▲ 。

2x

8、设0 a 1，函数f(x) loga(a

( ,loga3) 2ax 2)，则使f(x) 0的x取值范围是 ▲ 。

解析：因为0 a 1，由loga(a2x 2ax 2) 0得：a2x 2ax 2 1，即：(ax 3)(ax 1) 0，所以

ax 3，故x loga3，故选C． ▲ 。

|lg|x 1||,x 19、设定义域为R的函数f(x) ，则关于x的方程f2(x) bf(x) c 0有7个不同实数

0,x 1

解的充要条件是 ▲ 。

（A）b 0且c 0 （B）b 0且c 0 （C）b 0且c 0 （D）b 0且c 0

解析：由f(x)图象知要使方程有7解，应有f(x) 0f(x) 0有4解．则c 0,b 0，选C．

10、已知函数y xf (x)的图象如左图所示(其中f'(x)是的导函数)，下面四个图象中y f(x)的图象大致是

有3解，

函数f(x)▲ 。C

11、设方程

的解

为

2lnx 7 2x

x0,

则关于x的不等式x 2 x0的最大整数解为___▲___。4

9 2

xx 2 x tt12、若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是____▲____。 ,2

4

313

、设f(x) x log2x，则对任意实数a,b，a b 0是f(a) f(b) 0的 ▲ 条

件。充要

a是实数,函数f(x) 2ax2 2x 3 a.如果函数y f(x)在区间[－1,1]上有零点,则a

的取值范围14、

是 ▲ 。

( 二、解答题：

1

[, ) 2

15、已知函数y kx与y x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是

y x2 2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．

（I）求k的取值范围；

（II）设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III

O是坐标原点）．

y kx，

解：（I）由方程 消y得x2 kx 2 0． ① 2

y x 2

依题意，该方程有两个正实根，

k2 8 0，故 x1 x2 k 0，

（II）由f (x) 2x，求得切线l1的方程为y 2x1(x x1) y1，

2

由y1 x1 2，并令y

0x1，x2是方程①的两实根，且x1

x2

x1是关于k的减函数，所以x

1

t是关于x

1( ，0)，

（III）当x1 x2时，由（II

由①可知x1x2 2．

当x2

x1

已知二次函数f(x)=x2＋bx，(a，b为常数，且a≠0)满足条件f(－x＋5) =f(x－3)，且方程f(x)=x有两个相等的实根。

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)是否存在实数m,n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]？

16、知：函数f(x) x2 2bx c(c b 1)，f(1) 0，且方程f(x) 1 0有实根。 （１）求证： 3 c 1且b 0；

（２）若m是方程f(x) 1 0的一个实根，判断f(m 4)的正负并加以证明。 【解析】：（1

又c＜b＜1方程f（x）＋1＝0有实根，即x2 2bx c 1 0有实根，故△＝4b2 4(c 1) 0 即(c 1)2 4(c 1

) 0 c 3或c 1 又c＜b＜1，得－3＜c≤－1b 0． （2）f(x) x2 2bx c x2 (c 1)x c (x c)(x 1)，f(m) 1 0， ∴ c＜m＜1 ∴ c 4 m 4 3 c，

∴ f(m 4) (m 4 c)(m 4 1) 0， ∴ f(m 4)的符号为正。

17、设函数f(x) tx2 2t2x t 1(x R，t 0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

（Ⅱ）若h(t) 2t m对t (0，

2)恒成立，求实数m的取值范围． 解：（Ⅰ） f(x) t(x t)2 t3 t 1(x R，t 0)，

当x t时，f(x)取最小值f( t) t3 t 1，

即h(t) t3 t 1．

（Ⅱ）令g(t) h(t) ( 2t m) t3 3t 1 m， 由g (t) 3t2 3 0得t 1，t 1（不合题意，舍去）． 当t变化时g (t)，g(t)的变化情况如下表：

2)内有最大值g(1) 1 m． g(t)在(0，

2)内恒成立等价于g(t) 0在(0，2)内恒成立， h(t) 2t m在(0，

即等价于1 m 0，

所以m的取值范围为m 1．

2x a

(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.，（1）求实数a的值组成的集合A；

x2 2

1

（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1

x

18、已知f(x)=

≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 2ax 2x2 2(x2 ax 2)

解：（1）f＇(x)== ， 2222

(x 2)(x 2)

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设 (x)=x2－ax－2， ①

(1)=1-a-2 0

(-1)=1+a-2 0

－1≤a≤1，

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}.

（2）由

2x a1

=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2＋8>0

x2 2x

∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x2=a，

∴ |x1－x2|=(x1 x2)2 4x1x2=a2 8. x1x2=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x1－x2|=a2 8≤3.

要使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2＋tm＋1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2＋tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2＋tm－2=mt＋(m2－2)， 方法一：

g(1)=m2－m－2≥0， ②

＋m－2≥0， m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二：

当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，

，， ② 或－1)=m2－m－2≥＋m－2≥0 m≥2或m≤－2. 所以，存在实数m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

19、设x1、x2(x1 x2)是函数f(x) ax3 bx2 a2x(a 0)的两个极值点. （1）若x1 1,x2 2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1| |x2| 22，求b的最大值；

（3）设函数g(x) f'(x) a(x x1)，x (x1,x2)，当x2 a时，求证： g(x)≤

1

a(3a 2)2. 12

【解析】：（I）∵f(x) ax3 bx2 a2x(a 0)，∴f (x) 3ax2 2bx a2(a 0)

依题意有 f ( 1) 0f (2) 0，∴ 3a 2b a2

0

(a 0). 12a 4b a2

0

解得

a 6

，∴ b 9

f(x) 6x3 9x2 36x.

（II）∵f (x) 3ax2 2bx a2(a 0),

依题意，x1,x2是方程f (x) 0的两个根，且|x1| |x2| 22， ∴(x1 x2)2 2x1x2 2|x1x2| 8。 即：(

2b3a)2 2 ( aa

3) 2| 3

| 8， ∴b2 3a2(6 a)。 ∵b2≥0，∴0 a≤6. 设p(a) 3a2(6 a)，则p (a) 9a2 36a. 由p (a) 0得0 a 4，由p (a) 0得a 4.

即：函数p(a)在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当a 4时，p(a)有极大值为96，∴p(a)在(0,6]上的最大值是96， ∴b的最大值为46.

（III） 证明：∵x1,x2是方程f'(x) 0的两根， ∴f'(x) 3a(x x1)(x x2).

∵xa1 x2

3，x，∴x1

2 a1 3

. ∴|g(x)| |3a(x 13)(x a) a(x 13)| |a(x 1

3)[3(x a) 1]|

∵x11

1 x x2，即 3 x a. ∴|g(x)| a(x 3

)( 3x 3a 1)

∴|g(x)| 3a(x 13a3)(x 13) 3a(x a2)2 3a31

4 a2 3

a

≤3a31a(3a 2)22

4 a 3a

12

.

∴|g(x)|≤

a

(3a 2)2 12

20、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：①f(1) 3；②f(x) 2恒成立；③若

x1 0,x2 0,x1 x2 1，则有f(x1 x2) f(x1) f(x2) 2．

（1

（2

； (n N）1

（3）某人发现：当x=2n(n N)时，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：对一切x (0,1],都有f(x) 2x 2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数t (0,1),使得x2=x1＋t, 由条件③得,f(x2)=f(x1＋t) f(x1)＋f(t)－2, ∴f(x2)－f(x1) f(t)－2, 由条件②得, f(x2)－f(x1) 0,

故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).

又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1) f(1)＋f(0)－2,即f(0)≤2,∴f(0)=2, 故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.

111111

(2)解:在条件③中,令x1=x2=2n得2n-1) 2f(2n)－2,即f(2n)－2≤2[f(2n-1－2], 11111111

故当n N*时，有f(2n－2≤22n-1－2]≤222n-2)－2]≤···≤2n20－2n11

即2n≤2n＋2. 11

又20≤2＋20,

11

所以对一切n N,都有f(2n)2n2. (3)对一切x (0,1],都有f(x) 2x 2. 对任意满足x (0,1]，总存在n(n N),使得 11

2n+1<x2n 根据（1）（2）结论，可知： 11

f(x)≤2n≤2n＋2, 11

且2x＋2>2 2n+1＋2=2n＋2, 故有f(x) 2x 2.

综上所述，对任意x (0,1],f(x) 2x 2恒成立.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0lu4.html