二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 年 级 2010级 学 号

指导教师 刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设f?x,y?是定义在可求面积的有界区域D上的函数. J是一个确定的数,若对任给的正数

?,总存在某个正数?,使对于D的任意分割T,当它的细度T??时,属于T的所有积分和都有

?f??,????iii?1ni?J??,

则称f?x,y?在D上可积,数J称为函数f?x,y?在D上的二重积分,记作J???f?x,y?d?,

D其中f?x,y?称为二重积分的被积函数, x,y称为积分变量, D称为积分区域.

1.2二重积分的若干性质

1.21若f?x,y?在区域D上可积, k为常数,则kf?x,y?在D上也可积,且

??kf?x,y?d??k??f?x,y?d?.

DD1.22 若f?x,y?,g?x,y?在D上都可积,则f?x,y??g?x,y?在D上也可积,且

??[f?x,y??g?x,y?]d????f?x,y?d????g?x,y?d?.

DDD 1

1.23 若f?x,y?在D1和D2上都可积,且D1与D2无公共内点,则f?x,y?在D1D2上也可积,且

D1D2??f?x,y?d????f?x,y?d????f?x,y?d?

D1D21.3在矩形区域上二重积分的计算定理

设f?x,y?在矩形区域D??a,b???c,d?上可积,且对每个x??a,b?,积分?f?x,y?dy存

cd在,则累次积分

?badx?f?x,y?dy也存在,且

cbd??Df?x,y?d???dx?f?x,y?dy.

acbd 同理若对每个y??c,d?,积分

?f?x,y?dx存在,在上述条件上可得

a??Df?x,y?d???dy?f?x,y?dx

cadb2.求的二重积分的几类理论依据

二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X?型、Y?型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.

2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算

X?型区域: D???x,y?y1?x??y?y2?x?,a?x?b? Y?型区域: D???x,y?x1?y??x?x2?y?,c?y?d?

定理:若f?x,y?在X?区域D上连续,其中y1?x?,y2?x?在?a,b?上连续,则

??f?x,y?d???dx???f?x,y?dy

Day1xby2?x?即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y?型,有

??Df?x,y?d???dx?cdx2?y?x1?y?f?x,y?dy

例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.

222 解：设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为 x?y?a与x?z?a.

222 只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以

2

z?a2?x2为曲顶,以四分之一圆域D:

??0?y?a2?x2, ?0?x?a,??为底的曲顶柱体,所以

aa2?x2a122222V???a?xd???dx?a?xdy??(a2?x2)dx?a3

00083D于是V?163a. 3 另外,一般常见的区域可分解为有限个X?型或Y?型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.

2.2 二重积分的变量变换公式

定理: 设f?x,y?在有界闭域D上可积,变换T: x?x?u,v?, y?y(u,v)将平面uv由

按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy平面上的闭区域

D,函数

x?x?u,?v,y?y(u,v)在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ??x,y?J?u,v???0, ?u,v???,

??u,v?则

??f?x,y?dxdy???f?x?u,v?,y?u,v??J?u,v?dudv.

D?x?yx?y用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例2 求

??eDdxdy,其中D是由x?0,y?0,x?y?1所围区域.

11(u?v),y?(u?v),则 22 解 为了简化被积函数,令u?x?y,v?x?y.为此作变换T:x?12J?u,v??1?2即

121??0. 122uv??eDx?yx?yuv11111e?e?1?1vdxdy??edudv??dv?edu??v(e?e)dv?

0?v02224?例3 求抛物线y?mx，y?nx和直线y??x，y??x所围区域D的面积?(D)

22 3

(0?m?n,0????)．

解 D的面积?(D)???dxdy．

D为了简化积分区域，作变换T： x?面上的矩形区域???m,n????,??．

由于

uu

y?，．它把xy平面上的区域D对应到uv平v2v

1v2J?u,v??1v所以

?2uuv3?4?0，?u,v???， uv?2vn2?m2???3??3??dvn?u?(D)???dxdy???4dudv??4?udu? 33?mvv6??D?2.3 用极坐标计算二重积分

定理: 设f?x,y?在有界闭域D上可积,且在极坐标变换T：??x?rcos? 0?r???，

y?rsin??0???2?下，xy平面上有界闭区域D与r?平面上区域?对应，则成立

??f?x,y?dxdy???f?rcos?,rsin??J(r,?)drd?．

D?其中J(r,?)?cos?sin??rsin?rcos??r．

22当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为fx,y时，采用该极坐标变

??换．

二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：

（i）若原点O?D，且xy平面上射线??常数与D边界至多交与两点，则?必可表示成

r1(?)?r?r2(?)，?????，

于是有

??Df(x,y)dxdy??d????r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ltv.html