2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷（理科含答案）

2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(理科含答案）

201505

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合A?x1?x?3，集合B?xx?2，则A????B? ?1,2? ．

2．函数f(x)?x2,(x??2)的反函数是 y??x,(x?4 ) ． 3．过点(1,0)且与直线2x?y?0垂直的直线的方程 x?2y?1?0 ．

4．已知数列?an?为等比数列，前n项和为Sn，且a5?2S4?3，a6?2S5?3，则此数列的公比q? 3 ．

5．如果复数z满足z?i?z?i?2（i是虚数单位），则|z|的最大值为 1 ． 6．函数y?cos2x的单调增区间为 [k???2,k?]（k?Z） ．

47．行列式?32k则实数k= ?14 ． 4中第2行第1列元素的代数余子式的值为?10，

?25?11y2?1 的两个焦点，8．设F1,F2是双曲线x?且3PFP是双曲线上的一点，1?4PF2，242则?PF1F2的周长 24 ．

9．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一个平面内，AB?BC?CD?DA?1，

球心到该平面的距离是球半径的

382?倍，则球的体积是 ． 231 ． 910．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为5”的概率为 11．数列?an?中，an?1?1?an且a1?2，则数列?an?前2015项的积等于 3 ． 1?an12．若a,b,c均为平面单位向量,且a?b?c?(标表示）

333,)，则c? 22?31? ．（用坐???2,?2????13．在极坐标系中，动点M从M0(1,0)出发，沿极轴ox方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴ox绕极点o按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点M的

3? ． 214．记符号min?c1,c2,,cn?表示集合?c1,c2,极坐标方程 ??1?列?an?满足ai?ai?1,cn?中最小的数．已知无穷项的正整数数

?i?N?，令b?k?min?n|an?k?,?k?N??，若a20?14，

则a1?a2?...?a20?b1?b2?...?b14= 294 ．

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

?a1x?b1y?c1,存在唯一解的必要非充分条件是 （ D ）

ax?by?c?222ab A．系数行列式D?0 B．比例式1?1

a2b215．二元一次方程组? C．向量??a1??b1??,??不平行 D． 直线a1x?b1y?c1,a2x?b2y?c2不平行 a?2??b2?1在216．用符号?x?表示不小于x的最小整数，如????4，??1.2???1．则方程?x??x?(1,4)上实数解的个数为 （ D ）

A．0 B．1

C．2

D．3

x2?y2?1的左顶点．如果存在过点M?x0,0?,?x0?0?的直线交椭圆17．已知P为椭圆4于A、B两点，使得S△AOB?2S△AOP，则x0的取值范围为 （ C ）

A．1,3?

?? B．?3,2

?? C．?1,2? D．?1,???

18．在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB上一点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为 （ B ）

① 圆的面积为4?； ② 椭圆的长轴为37；

③ 双曲线两渐近线的夹角为??arcsin4； 5④ 抛物线中焦点到准线的距离为

45． 5 A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分. 如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段

CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面．

（1）求证：CD?平面AED； （2）设异面直线CB与DE所成的角为

BAE?1，将?ACD（及其内部）绕AE所在直

?且6CAODE线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积． 解：（1）证明：因为CE为圆O的直径，所以?CDE??2，即CD?ED ????2分

又因为AE垂直于圆O所在平面，所以CD?AE ???????????????4分 又CD?ED所以CD?平面AED??????????????????????5分 （2）由题意知，将?ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．

因为异面直线CB与DE所成的角为

??，且CB//DA，所以?ADE?，?????7分 66又因为AE?1，所以，在Rt?AED中，DE?3，DA?2 ?????????9分 在Rt?CDE中，CD?DA?2，DE?3，所以CE?所以该几何体的体积V?7??????????10分

114??CE2?AE???DE2?AE?? ????????12分 33320．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）

（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE?CD）（图1）,此时边长为多少？

（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时?DOE为多少？（用反三角函数表示）

图（1） 图（2）

解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM?DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM?x，OM?3x． 在Rt?OMD中，由勾股定理得，x??3x??25?x?22

5??????????5分 2所以，边长2x?5cm???????????????????????????6分 （2）过O作OM?DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM??，则OM?5cos?,DM?5sin?．

?ON?CN?5sin?，NM?5cos??5sin?．????????????????8分

所以，“十字形”的面积为

S?(2OM)2?4(NM)2?100cos2??100(cos??sin?)2 ?100(51sin(2???)?) 22（ 其中cos??125???或tan??） ?0???? ?????????????10分

252??所以，当2?????2时，Smax?505?1cm2 ???????????????12分

??此时，?DOE?2???2?arccos?125 或?arctan ???????????14分

22521．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数f(x)对任意x?R，都有f(2x)?a?f(x)，其中a为常数．当x?[1,2)时，

f(x)?sin(?2x)．

（1）设a?0，f(x)在x?[4,8)时的解析式及其值域； （2）设?1?a?0，求f(x)在x?[1,??)时的值域．

解：（1）当x?[4,8)时，于是

x?[1,2)，又f(2x)?af(x) 42所以f(x)?af()?af()即f(x)?asin(x22x4?8x)??????????????3分

28（2）由于[1,??)?[1,2)?[2,22)?[22,23)???[2n,2n?1)??

对于x?[2n,2n?1)(n?N)得于是f(x)?af()?af(所以f(x)?asin(nx?[4,8)????x???0?f(x)?a2即f(x)在x?[4,8)时的值域为(0,a2]?6分

只研究函数f(x)在[2n,2n?1)(n?N)值域即可??????????????7分

x?[1,2) 2nx22xxn)???af() 222n?x2nn?1) [2,2)(n?N)???????????????9分 x?n?1?22n?1因为?1?a?0

??x???0?sin(?x2n?1)?1

n所以当n为偶数时，f(x)在[2n,2n?1)(n?N)上单调减，值域为(0,a]；

且(0,1]?(0,a2]?(0,a4]???(0,a2k]?? ???????????????10分 当n为奇数时，f(x)在[2n,2n?1)(n?N)上单调增，值域为[an,0)

且[a,0)?[a3,0)?[a5,0)???[a2k?1,0)?? ???????????????12分 所以f(x)的值域为[a,0)?(0,1] ??????????????????????14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知在数列{an}中，a1?1．

（1）设an?1?2an?1（n?N），求数列{an}的通项公式； （2）若an?1??an?1当n为偶数时，求数列{an}的前2m项和S2m； ??当n奇数时?2an1时，是否存在一个常数p，使a2n?p?a2n?1对任意正整数n都an?1（3）当an?1?成立？如果存在，请求出p的值，并证明；如果不存在，请说明理由． 解：（1）由题意an?1?2an?1，令an?1?x?2?an?x?，比较得到x?1，

故有an?1?1?2?an?1?，所以数列?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列，??2分

?因此an?1?2?2n?1?2n，所以an?2n?1，n?N .?????????????4分

（2）由题意可知a2n?1?a2n?1，a2n?2a2n?1，所以a2n?1?2a2n?1?1，

所以a2n?1?1?2(a2n?1?1)，所以数列?a2n?1?1?是以2为首项，2为公比的等比数列， 由a1?1，可得到a2n?1?1?2n，a2n?1?2n?1，n?N?

又因为a2n?2?2a2n?1?2?a2n?1?，所以a2n?2?2a2n?2??????????6分

由a2?2，同样可以求得 a2n?2n?1?2，n?N??????????????8分

所以S2m?a1?a2?a3?a4????a2m?1?a2m

??a1?a3???a2m?1???a2?a4???a2m?

2m23m?1?2?2???2?m?2?2???2?2m

m?1m?2?(2?2?m)?(2?4?2m)

m?1?3m?6，即S2m?3?2m?1?3m?6???????????10分 ?3?21（3）因为f(x)?在?0,???上单调递减且f(x)?0，

x?1由an?1?f(an)，a1?1可知数列?an?中的各项均满足0?an?1

????由要证明不等式的结构可令f(x)?x，解得x?故猜想：0?a2n?5?1， 25?1?a2n?1?1，??????????????????13分 2112，a3?f()?， 223下面用数学归纳法证明：

证明：（i）当n?1时，a2?f(1)?所以0?a2?5?1?a3?1，命题成立； 2（ii）假设n?kk?N???时，命题成立，即有0?a2k?由于f(x)在区间?0,???上单调递减， 所以 f(0)?f(a2k)?f(即0?5?1?a2k?1?1， 25?1)?f(a2k?1)?f(1) 215?1?a2k?2??a2k?1?1， 22再次利用函数f(x)在区间?0,???上单调递减，

得到 f(0)?f(a2k?2)?f(即0?5?1)?f(a2k?1)?f(1)， 215?1?a2k?2??a2k?3?1， 22所以n?k?1时命题也成立，

5?1所以0?a2n??a2n?1?1

25?1即存在常数p?，使a2n?p?a2n?1对任意正整数n都成立.???????16分

2

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

如图，矩形ABCD中，AB?2,BC?4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，A建立直角坐标系，

（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹； （2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；

（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．

解：（1）设P(x,y)，则y?1?y?1?1.??????????????????2分

化简得y??2或y?0. 故动点P的轨迹为三条平行线；?????????4分 （2）D2B4C?x?2??y2?2?x?2??y2?4.22化简得

?x2?1?2?y2?1.

?

?x2?y2?4?2?16x2?16.

对称性：关于原点、x、y轴对称；???????6分 顶点：22,0,?22,0,?0,0?；???????8分 范围：x?22,y?1.???????????10分

作图如图（不计分）

（3）同时从几何和代数角度进行分析

当y??1时，y??1?4x?1?x?4，????12分 当?1?y?1时，x??22或x?0，???????14分 当y?1时，y?1?22????16?x?2?2??x?2?，?????16分

2

作轨迹大致如图.分三个区域给分： ① 在直线y??1的下方：两段曲线； ② 在两直线y??1,y?1之间：三条平行线；

③ 在直线y?1的上方：三条曲线.??????????????????18分

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