《概率论与数理统计》试卷A(2013-2014-1)

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暨 南 大 学 考 试 试 卷

一、单选题（每小题2分，共20分）请将答案填写在相应括弧内。

1. 设A 、B 、C 是三个随机事件，则事件“A 发生但B 和C 均不发生”可表示为………..…( C ).

(A) A ；

(B)BC ；

(C) ABC ；

(D)ABC

2. 随机事件A 与B 互不相容，且P A 04P B 03==().,().则以下不正确的公式是…………( B ).

(A) P AB 0=()；

(B)P AB 012=().； (C)P A B 07?=().； (D)P A|B 0=()

3. 函数sin x 在以下哪个区间上可以作为随机变量的密度函

数？…………………………….( A ).

(A) 02π????,； (B)[]0π,； (C) 302π????,； (D) []02π,. 4. 设随机变量X 的分布函数是x 2

F x A e 0x -=-<<+∞(),()

，

则………………………...( B ). (A) A 0=； (B)A 1=； (C)A 2=； (D) A 1=-. 5. 设随机变量X 服从泊松分布

P(2)

，

则概率

P{X=1}=……………………..…..………….…( D ).

(A)2e -； (B)1212e -； (C)2

12e -；

(D)22e -

6. 设随机变量X 的数学期望和方差分别为

E(X)=5, D(X)=2, 则D(4X+2)=………………….( C ).

(A) 8；

(B) 10；

(C) 32；

(D) 34

7. 概率论中用来阐述大量随机现象平均结果的稳定性的定理统称

为…………..………..….( B ).

(A)中心极限定理； (B)大数定律；

(C)稳定性原理；

(D)概率公理

8. 从总体N(5,10)中随机抽取容量为5的样本，则该样本均值所服从的分布

是………..……( D ). (A) N(5,10)；

(B) N(1,2)；

(C) N(1,10)；

(D)

N(5,2).

______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 9. 设?θ

是总体参数θ的估计量，且有E(θ=θ?), 则称?θ是θ的………………………………..( D ).

(A)有效估计量； (B)一致估计量； (C)最优估计量； (D)无偏估计量

10. 设125X ,X ,...,X 是总体N(μ,σ2)的随机样本, 则服从分布t (4) 的样本函数

是…..………..( C ).

X ；

X

X ；

X

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二、计算题(I)（共5小题，每小题6分，共30分） 1. 设A 和B 是两个随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.4，求P(AB)，P A B ?()及P(A|B)。 解：

()P AB P(A)P(B|A)0.50.40.2==?=

(2分) ()()P A B P A P(B)P(AB)0.50.60.20.9?=+-=+-=

(2分) ()P(AB)

0.210.63

P(B)P A |B ===

(2分)

2. 已知一箱中装有10个红球和4个黑球，从中随机取出3个球。求取出2红球和1个黑球的概率。 解：令A 表示事件“出2红球1个黑球”，则

()21

64310

C C P A C = (2分)

65

4

3545

219873477321?????===?????? (4分)

3. 已知一条生产线的次品率是10%，随机抽查5件产品，求所抽查的产品中有次品的概率。 解：令X 表示被抽取的5件产品中所含的次品数，则 X~B(5,0.1)

P(X 0)1P(X 0)>=-=

(2分) 0

0551C (0.1)(0.9)=-

(2分) 51(0.9)10.590490.40951=-=-=

(2分)

4. 一盒中装有20个零件，其中有5个次品。从盒每次随意取出一件(不放回)，求在第三次才取到

正品的概率。

解：令A i 表示第i 次取到正品，则三次内取到正品的概率为

123121312P(A A A )P(A )P(A |A )P(A |A A )=

(2分) 5415550.04386201918196114

=

??===?

(4分)

5. 设随机变量X 的密度函数为 8x 0x C f x 0

,().

其它<<=???，求常数C 和概率()

1P 0x 4<<。

解: 因为 C

2

C 200

f (x)dx 8xdx 4x 4C 1∞

-∞

====?

?， 所以1C 2

=

(3分) 所以 14

1

4

2

20

1114

44

P(0x )8xdx 4x

4()0??<<===-=???

(3分)

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精品资料 三、计算题(II)（共4小题，每题5分，共20分）

1. 设随机变量X 的密度函数为X 2x 0x 1f x 0<<=???,;().

其它，求其函数Y=X 2的密度函数Y f (y)。 解：

2Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤()()()(

22X 0x dx x y 0y 1====<<()()

(3分) Y Y f y F y y 10y 1''===<<()()()()

所以 Y 10y 1f y 0<

().其它

(2分)

2. 设随机变量X 的密度函数为 21x 0x 1f(x)=0-<

200E X x f x dx x 21x dx 2x x dx ∞-∞==?-=-???()()()()

1

230111111232363

x x 222????--===?=????

(3分) 11

2222300E X x f x dx x 21x dx 2x x dx ∞-∞==?-=-???()()()()

1

34011111

13434126x x 222????--===?=????

()2

232111361818D X E X E X ==--=-=()()[()]

(2分)

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3.

求Y

解：Y 的边缘分布为

(2分)

当X=1时Y 的条件分布

2分)

因为P X 1Y 1P X 1Y 1==≠==(,)()()，所以X 与Y 不相互独立。

(1分)

4. 设总体X 的密度函数是(+1)3x ,3;

f(x ;)=0,

,x θ-θθ>θ???其它, 其中θ>0. x 1,x 2,…,x n 是X 的一个随机样本,

求未知参数 θ 的最大似然估计。 解：

1n

n

1n n 12n i i i i 1

i 1L x x x 3x 3x x 3-θ+θ-θ+θ==??θ=θ=θ> ???

∏∏()

()

(,,...,;)

(2分)

n

i i 1

L n n 31x =θ=θ+θ-θ+∑ln ()ln ln ()ln

n

i i 1

d L n

n 3x 0d ==+-=θθ∑ln ln ln

n

n

i

i i 1

i 1

n

11x

n 3

x 3n ==θ

==

--∑∑?ln ln ln ln (3分)

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精品资料 四、应用题(共4小题，每小题6分，共24分)

1. 一批零件的合格率为90%，利用中心极限定理估计在随机抽取的200件零件中，不合格的零件数不超过10件的概率.

解：设X 表示不合格零件数，X 服从二项分布B(2000,0.1)

所以 E(X)=200*0.1=20，

D(X)= 200*0.1*0.9=18

(2分) 由中心极限定理知

P(X 10)=P P Z ?≤≤=≤ ?

()1123610990900091

≈=-=-=-=...ΦΦΦ

(3分)

2. 一批滚珠的直径服从正态分布, 现随机抽取16颗, 测得平均直径为10.1 (mm) 样本标准差为

0.1 (mm)，求这批滚珠直径的均值和方差的置信度为0.95的置信区间 (相关参数查第8页数表)。

解： 2200500250975005t 1521311562621527488α==χ=χ=....,().,().,().

均值置信度为0.95的置信区间为

10121012?-+??

.... (3分) 均值和方差的置信度为0.95的置信区间

2215011501274886262????????(.)(.),.. (2分)

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3. 某设备有4个独立工作的部件A,B,C,D ，它们的联接方式如右图所示。若这些部件的正常工作的概率均为0.9，试求该系统可以正常工作的概率。

解：令A ，B ，C ，D 分别表示相应部件正常工作，令G 表示系统正常工作。则 则

G=A(BC D)=ABC AD ??

因为，部件A ，B ，C ，D 独立工作，所以

P(G)=P(ABC AD)=P(ABC)+P(AD)P ABC AD ??-(()())

(2分)

=P(ABC)+P(AD)P ABCD -()

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(D)P(A)P(B)P(C)P D -()

324222=0.9+0.90.9=0.9(0.9109=0.9(1+0.9(109-+--.).))

=0.81(1+0.090810072908829=+=)...

(3分)

即系统的正常工作的概率为0.8829.

4. 一建筑公司为其所建的路灯选配灯泡，在竞标的两个品牌的灯泡中各选取9只进行使用寿命测

试。测试结果统计如下表

假设两品牌的灯泡寿命均服从正态分布且方差相同。试检验两品牌灯泡寿命有无显著差异？(显著水平α = 0.01，检验临界值查第8页数表) 解：假设

012112H H μ=μμ≠μ:,:

(1分) 检验统计量

12X X T t n n 2=

+-~()

(1分

)

检验临界值

12001t n n 2t 162921α+-==.()().

(1分) 检验统计量样本值 X X T 0703=

=

=.

(1分)

统计推断 因为 |T|=0.707<2.921，所以接受原假设，即在0.01显著水平上认为两品牌灯泡寿命无显著差异。 (1分)

B

C

D

A

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精品资料 四、证明题(6分)

设X 1,X 2,…,X n 是正态分布总体N(μ,σ2)的随机样本，X n+1服从正态分布N(μ,σ2)且与X 1,X 2,…,X n 独立，证明统计量U 服从标准正态分布，其中

X U =， 其中：n i i=1

1

X X n =∑

证明：因为 2

n i i=11X X N n n ??

σ

=μ ???

∑~,，()2n+1X N μσ~,

(2分) 所以 2

22n 1n 1X X N N 0n n +????

σ+σ-μ-μ+σ= ? ?????()~,,

(2分

) ()X N 01~,

(2分)

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212

x

-

表2：t 分布双侧分位数值表 P(|t(n)|>t )=α（n ：自由度）

表3：2χ分布上侧分位数值表22P (n)=αχ>χα（n ：自由度）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0lmq.html