三角向量

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料

三角函数和平面向量专题复习

一.高考考试内容及要求：

1.三角函数考试要求：

（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义；

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义；

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示；（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 2. 平面向量考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； （2）掌握向量的加法和减法；

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；

（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式。

二.走进高考

1.(05年1)．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是

?? A． B． C．π

42 D．2π

D．?≤－1

（ C ）

2.(05年4)已知函数y?tan?x在(?

A．0

??22,)内是减函数，则 （ B ）

B．－1≤?<0 C．?≥1

1sin2A3.(05年7)锐角三角形的内角A、B满足tanA－

=tanB，则有 （ A ）

D．sin2A+sinB=0

A．sin2A－cosB=0 B．sin2A+cosB=0 C．sin2A－sinB=0

4.(05年8)已知点A（3，1），B（0，0）C（3，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E， 那么有BC??CE,其中?等于 （ C ）

A．2 B．

??12 C．－3

???的单调增区间为（C ） ??D．－

13

5.（06年5）函数f(x)?tan?x????Ａ．?k??，k????，k?Z

????Ｂ．(k?，?k????)，k?Z

????Ｄ．? k??，k????，k?Z????Ｃ．??k??????，k?????，k?Z ?? 1

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 6.（06年6）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB?（B ）A．

14 B．

34 C．

24 D．

23

7.(06年文1)．已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（ C ）

A．

π6 B．

π4 C．

π3 D．

π2

8.（06年理9）．设平面向量a1，a2，a3的和a1?a2?a3?0．如果平面向量b1，b2，b3，满足bi?2ai，

且ai顺时针旋转30?后与bi同向，其中i?1，，23，则（D ） Ａ．?b1?b2?b3?0 Ｂ．b1?b2?b3?0 Ｃ．b1?b2?b3?0 Ｄ．b1?b2?b3?09.(07年1）?是第四象限角，tan???512，则sin??（ D ）

A．

15 B．?155 C．

513 D．?13

10.（07年文10）函数y?2cos2x的一个单调增区间是（D ）

Ａ．?π???

Ｂ．?π?0，?? Ｃ．?π3?

Ｄ．?π4，π?4? ??2?4，π?4? ?，π???? ?2?11.（07年理12）函数f(x)?cos2x?2cos2x2的一个单调增区间是（A ）

A．??，2????，??????33? B．??? C．??0，???62??3?

D．，??????66? ?12.（07年3）已知向量a?(?5，6)，b?(6，5)，则a与b（A ） A．垂直

B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．平行且反向

13.（08年3）．在????????????????2DC，则????△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?AD?（ A A．

215123b?3c B．3c?23b C．

23b?13c D．3b?3c

答： A. 由????????????????????????????AD?AB?2AC?AD，3AD?AB?2AC?c?2b，????AD?1?3c?2?3b；

14.（08年文6）．y?nis(ocxs)?1x?2是（ D ）

A．最小正周期为2π的偶函数

B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为π的奇函数

15.（08年8）．为得到函数y?cos?π?2x???3?的图像，只需将函数y?sin2x的图像（ A ）?A．向左平移

5π12个长度单位 B．向右平移

5π12个长度单位

2

） 南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 C．向左平移

5π6个长度单位 D．向右平移

5π6个长度单位

答：A.

??5??5?????y?cos?2x???sin?2x??sin2x?x的图像向左平移???,只需将函数y?sin23612????????π??的图像. 3?5π12个单位得到函数y?cos?2x?16. (06年理16)设函数f(x)?cos(3x??)(0????)，若f(x)?f?(x)是奇函数，则??17. (06年17)△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cosA?2cos出这个最大值．

解：由A?B?C?π，得

cosA?2cosB?C2B?C2?π2?A2A2B?C2π6 ．

取得最大值，并求

，所以有cos?1?2sinB?C22B?C2?sinA232A2．

A2?12)?2?cosA?2sinπ3A2?2sin??2(sin32

当sinA2?12，即A?时，cosA?2cos取得最大值．

18.（07年文17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， a?2bsinA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?π612，

．

7．

（Ⅱ）根据余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB?27?25?45?7．所以，b?19.（07年理17）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围． 解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?π6???12，

由△ABC为锐角三角形得B?．（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin?????A? ??13???sinA??cosA?sin??A??cosA?cosA?22?6????3sin?A??．

3??由△ABC为锐角三角形知，A?B?12?332?232，A>

?2?B??2??6??2?3,

33

?A??3?5?6，

所以?sin(A?)?,由此有

???3?3sin?A????32???3?． 所以，cosA?sinC的取值范围为?3，?22???? 3

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 20.（08年文17）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?3，bsinA?4． （Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S?10，求△ABC的周长l． 解：（1）由acosB?3与bsinA?4两式相除，有：

34bsinAsinAb34又通过acosB?3知：cosB?0， 则cosB?，sinB?，则a?5．

55?acosB?acosB?bsinBcosBb?cotB

（2）由S?12acsinB，得到c?5．由cosB?a?c?b2ac222，解得：b?25，最后l?10?25．

3521.（08年理17）．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?bcosA?（Ⅰ）求tanAcotB的值；（Ⅱ）求tan(A?B)的最大值． 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB?bcosA?可得sinAcosB?sinBcosA?35sinC?3sin(A?B)?335c

3cosAsinB

c．

555即sinAcosB?4cosAsinB，则tanAcotB?4；（Ⅱ）由tanAcotB?4得tanA?4tanB?0 tan(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanB1?4tanB1coBt,tBa?n2?3tanB2sinAcosB??3cotB?4tanB≤34

12当且仅当4tanB?tanA(?B的最大值为)34等号成立，故当tanA?2,tanB?,At?an时，2时，

.

三.例题精讲

例1．（2006年安徽卷）．已知

5sin23?4????,tan??cot???103（Ⅰ）求tan?的值；

?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?8（Ⅱ）求

???2sin????2??103的值。

解：(Ⅰ)由tan??cot???3?4????，所以tan???5sin2得3tan2??10tan??3?0，即tan???3或tan???13，又

13为所求。 ?2?11cos2?2?8sin?2cos?2?851-cos?2?4sin??11?2cos?1+cos?2?8（Ⅱ）

?2sin????2????=

=5?5cos??8sin??11?11cos??16?22cos?=8sin??6cos??22cos??8tan??6?22=?526

例

?25???sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a?b|?2．已知向量a?(cosα，，

54

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(1) 求cos(α?β)的值；(2)若0?α???π2，?π2?β?0，且sinβ????513，求sinα的值。

sinα)，b=(cosβ，sinβ)，sinα?sinβ)，解：(1)因为a?(cosα，所以a?b?(cosα?cosβ，

2525??22又因为|a?b|?，所以(cosα?cosβ)?(sinα?sinβ)?，

55即2?2cos(α?β)?(2) 0?α?π2，?π245，cos(α?β)?35；

3551233，所以cosβ?，所以sinα?sin[(α?β)?β]??? sinβ??13136565?β?0，0?α?β?π，又因为cos(α?β)?，所以 sin(α?β)?45，

例3.已知函数f(x)?cos(2x??3)?2sin(x??4)sin(x??4)

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?解：（Ⅰ）?f(x)?cos(2x?12123232?122,?]上的值域

?3)?2sin(x??4)sin(x??4)

32?cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)?12cos2x?sin2x?sinx?cosx

22?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x??6) ∴周期T?2?2??

由2x??6?k???2(k?Z),得x?k?2,????k??(k?Z)∴2x函数图象的对称轴方程为??k??(k?Z),得 x??(k?Z) 36223（Ⅱ）?x?[??122,?],?2x??6?[??5?3,6]

因为f(x)?sin(2x?所以 当x??12?6)在区间[???123]上单调递增，在区间[??3,2]上单调递减，

?3时，f(x)取最大值 1

32又 ?f(?)???f(?2)?12，当x???12时，f(x)取最小值?32 所以 函数 f(x)在区间[??122,?]上的值域为[?32,1]

例4. 在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosCcosB?3a?cb，

(1)求sinB的值；(2)若b?42，且a=c，求三角形ABC的面积。 解：(1)由正弦定理及

cosCcosB?3a?cb，有

cosCcosB?3sinA?sinCsinB，

5

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB，所以sin(B?C)?3sinAcosB，

又因为A?B?C?π，sin(B?C)?sinA，所以sinA?3sinAcosB，因为sinA?0，所以cosB?22313，

又0?B?π，所以sinB?1?cosB?2。 23ac?32，又a?c，

12acsinB?12asinB?82。

2(2)在三角形ABC中，由余弦定理可得a2?c2?所以有

4322a?32，即a?24，所以所求三角形的面积为S?例5.（文科用）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,?1)， m?n＝1，且A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域.

本题分析：本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.

n?解：（Ⅰ）由题意得mm??n3sinA?cosA?1,2sin(A??6)?1,sin(A??6)?12.

由A为锐角得A??6??612,A??3.

2（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA?2sinx , 所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sins??2(sinx?1212)?32.sinx?2sin s??2(sinx?12)?232.因为x∈R，所以sinx???1,1?，因此，当sinx???3??时，f(x)有最大值

32.

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?.

2???（理科用）（2006年四川卷）已知A,B,C是三角形?ABC三内角，向量m??1,3,n??cosA,sinA?，

?????且m?n?1 （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若

1?sin2B22cosB?sinB???解：（Ⅰ）∵m?n?1 ∴?1,3??cosA,sinA??1 即3sinA?cosA?1

??3，求tanB

???31???1?2?sinA??cosA???1, sin?A??? ?6?222????∵0?A??,?（Ⅱ）由题知

?61?2sinBcosB?A??6?5?6 ∴A?2?6??6 ∴A??3

2cosB?sinB222??3，整理得sinB?sinBcosB?2cosB?0

∴cosB?0 ∴tanB?tanB?2?0 ∴tanB?2或tanB??1

22而tanB??1使cosB?sinB?0，舍去 ∴tanB?2∴tanC?tan?????A?B?????tan?A?B???tanA?tanB1?tanAtanB?? 2?31?23?8?5311

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例题6.设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x??8.（1）求?；

（2）求函数y?f(x)的单调增区间；（3）指出函数f(x)的图象可以由函数y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到并画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像. 解：（1）?x???4?8是函数y?f(x)的图像的对称轴，?sin(2??2,k?Z. ??????0,???3?4,因此y?sin(2x?3?4?2k??3?4).

3?4.

?8??)??1,

???k??（2）由（Ⅰ）知???由题意得 2k???2?2x??2,k?Z.

[k??所以函数y?sin(2x?3?4)的单调增区间为?8,k??5?8],k?Z.

（3）先把y=sinx图象上所有点向右平移

3?4个单位长度，再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的

12倍，纵坐标不变，即可得到y?f(x)的图像。 由y?sin(2x?x 3?4)知

0 22?8 3?8 5?8 7?8 ? 22y ? －1 0 1 0 ? 故函数y?f(x)在区间[0,?]上图像是

备用例题

1．已知函数f(x)?2sin??

x4x4x4cos?23sin2?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值； 3．

（Ⅱ）令g(x)?f?x?π??，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3? 7

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 解：（Ⅰ）?f(x)?sinx2?2π123(1?2sin2x4)?sinx2?3cos?xπ?2sin??2?23x??． ??f(x)的最小正周期T??4π．

当sin??x?2?π??xπ???1sin时，取得最小值；当?2f(x)?????1时，f(x)取得最大值2． 3??23??x?2π?π??g(x)?fx?．又???．

3?3??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin??x?1?π?π??xπ??g(x)?2sin??x?????2sin????2cos．

23?3??22??2?x?x??g(?x)?2cos????2cos?g(x)．?函数g(x)是偶函数．

2?2?2.（08山东卷）已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

π2.（Ⅰ）求f（π6π8）的值；

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵

坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

本题分析：本小题主要考查三角函数的基本公式，重要辅助公式

asin??bcos??a2?bsin(???)，三角函数的奇偶性，对称性及三角函数图像变换等知识。

2?3?1解：（Ⅰ）f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)＝2?sin(?x??)?cos(?x??)?

2?2?＝2sin(?x??-

π6) 因为 f(x)为偶函数，所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， π6因此 sin（-?x??-即-sin?xcos(?-π6）＝sin(?x??-π6π6).

π6)+cos?xsin(?-π6)=sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-π6π6),

整理得 sin?xcos(?-)=0.因为 ?＞0，且x∈R,所以 cos（?-π6）＝0.

又因为 0＜?＜π，故 ?-2?＝

π2.所以 f(x)＝2sin(?x+

π2)=2cos?x.

由题意得

??2??2,所以??2 故f(x)=2cos2x. f(?8)?2cos?4?2.

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个

?6个单位后，得到f(x??6)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4

8

南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 倍，纵坐标不变，得到f(所以　　　　x4?x4?6?)的图象.

?x??x??)?2cos?2(?)??2cos(?).623 ?46?

g(x)?f(当2k?≤

x2??3≤2k??? (k∈Z), 即4kπ＋

2?3≤x≤4kπ+

8?3 (k∈Z)时，g(x)单调递减.

2?8???,4k?? 因此g(x)的单调递减区间为 ?4k??? (k∈Z) 33??3.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处

时，乙船位于甲船的北偏西105?方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120?方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 本题分析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形

面积公式等基础知识，考查了学生将实际问题转化为数学 模型的能力。解斜三角形必用正弦定理、余弦定理,求出相应 的边与角,解题过程中的计算一定小心。 解：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102， A1A2?302?2060?102，

北 120 B2 B1 ??A2

105 A

1乙

甲

?A1A2?A2B1，

又∠A1A2B2?180?120?60，?△A1A2B2是等边三角形， ?A1B2?A1A2?102，由已知，A1B1?20，

???北 120 B2 ?A2 A1

∠B1A1B2?105?60?45，

???105 ?B1 在△A1B2B1中，由余弦定理，

B1B2?A1B1?A1B2?22B??cos4545 AABB??AABcos11121122222乙 ??甲

?20?(102)?2?20?102?2222?200．

?B1B2?102．因此，乙船的速度的大小为10220?60?302（海里/小时）．

答：乙船每小时航行302海里．

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四.高考真题精选：

1.（08四川卷５）若0???2?,sin??3cos?，则?的取值范围是：( C )

（Ａ）??????????4????3?? （Ｄ）,? （Ｂ）?,?? （Ｃ）?,??,?

?32??3??33??32?2.（07全国卷1理1）?是第四象限角，tan???A．

15512，则sin??（ D ）

B．?15 C．

513π6 D．?53.（08山东卷5）已知cos（α-235235）+sinα=

134

3,则sin(α?7π6)的值是 ( C )

5（A）- （B） (C)-

45 (D)

45

4.（06年陕西卷）\等式sin(???)?sin2?成立\是\?,?,?成等差数列 \的（ B ） （Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件 5.（08湖南卷6）函数f(x)?sinx?2????3sinxcosx在区间?,?上的最大值是( C )

?42?(A)1 (B)

1?23 ( C)

32 (D) 1+3

6．（06年安徽卷）设a?0，对于函数f?x??sinx?asinx(0?x??)，下列结论正确的是（ B ）

（A）有最大值而无最小值 （B）有最小值而无最大值 （C）有最大值且有最小值 （D）既无最大值又无最小值 7.（07海南、宁夏理3）函数y?sin?2x???π??π??，π在区间的简图是（A） ???3??2?

8.（07广东文9）已知简谐运动f(x)?2sin?小正周期T和初相?分别为（A ） (Ａ)T?6，??π6?ππ???x???????的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最

2??3?? (Ｂ)T?6，??π3 (Ｃ)T?6π，??π6 (Ｄ)T?6π，??π3

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南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 9.（08天津卷6）把函数y?sinx（x?R）的图象上所有点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的

（A）y?sin(2x?12?3个单位长度，再把所得图象

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是(C )

x?)，x?R

6?2?（C）y?sin(2x?)，x?R （D）y?sin(2x?)，x?R

3332?)，x?R （B）y?sin(?10.（08湖北卷1）设a?(1,?2),b?(?3,4),c?(3,2)则(a?2b)?c?( C )

（A）(?15,12) （B）0 （C）?3 （D）?11 11.（08安徽卷5）将函数y?sin(2x??3)的图象按向量?平移后所得的图象关于点(??12,0)中心对称，

则向量?的坐标可能为（ C ）

??(A)(? (B)(?,0) ,0)

126(C)(?12,0)

??(D)(m2?6,0)

??12. （07天津10）设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m，?sin??，其中?，m，?为实数．若a?2b，则

?m的取值范围是（ Ａ ）

(C)（-6，1] (D) [-1，6]

(A) [-6，1] (B) [4，8]

???????2?2mm?22a?2b,【分析】由a?(??2,??cos?),b?(m,?sin?),可得?2，设?k代22m??cos??m?2sin???km?2?2m2?2k?2?cos???2sin?，再化简得m化简得?入方程组可得?22消去?22?k2?k???km?cos??m?2sin?4?21?22222??cos???2sin??0再令?t代入上式得(sin??1)?(16t?18t?2)?0可得??k?2?k?2k?2?22?(16t?18t?2)?[0,4]解不等式得t?[?1,?218]因而?1?1k?2??18解得?6?k?1.故选A

??????????????????13.（06年安徽卷）在?ABCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，M为BC的中点，则

?????????1??1?1?b表示） （用a、(a?b)?(a?MNb)???a?b_______。

24414.（06年辽宁卷）三角形?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量???????p?(a?c,b,)q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为 315.（07湖南理12）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?5π则B? ．

63，16.(07四川理16）下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合

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南宁二中2009届数学备课组 第二轮复习专用资料 是{a|a=

k?2,k?Z|.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数

?3)的图象向右平移?2?6得到y?3sin2x的图象.

. 其中真命题的序号是 ① ④ y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x?

)在〔0，?〕上是减函数

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