河南省郑州市2018届高三第三次质量预测理数试题

河南省郑州市2018届高三第三次质量预测

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A=xx?2x?3?0，B=xy?ln?2?x?，则A2????B?（ ）

A． ?1,3? B．?1,3? C．??1,2? D．??1,2? 2.下列命题中，正确的是（ ） A．?x0?R,sinx0?cosx0?3 222B．复数z1,z2,z3?C，若?z1?z2???z2?z3??0，则z1?z3

,b0?C．“a?0”是“

2ba??2”的充要条件 ab2D．命题“?x?R,x?x?2?0”的否定是：“?x?R,x?x?2?0”

3.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ） A．

14127 B． C． D． 151599lnx?1?1?lnx4.若x??e,1?，a?lnx，b???，c?e，则（ ）

?2?A． b?c?a B．c?b?a C. b?a?c D．a?b?c 5.设a???01??sinxdx，则?ax??的展开式中常数项是（ ）

x??4A． 160 B．?160 C. ?20 D．20 6.执行如图所示的程序框图，若p?0.8，则输出的n?（ ） A． 3 B．4 C. 5 D．6

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7.某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）

A． 3?A B．5?A C. 26?A D．43?A 8.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若

2a?cb?cosCcosB，b?4，则?ABC面积的最大值为（A．43 B．23 C. 33 D．3 9.已知数列?an?中， an?0，a1?1，a1n?2?a1，a100?a96，则a2018?a3?（ ） n?A．

51?52 B．5?1?52 C. 2 D．2 10.已知f?x??cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）

A．f?x?既是偶函数又是周期函数 B．f?x?的最大值是1 C. f?x?的图像关于点?????2,0??对称 D．f?x?的图像关于直线x??对称

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）

x2y22??1上一个动点，过点P作圆?x?1??y2?1的两条切线，切点分别是A,B，则11.已知P为椭圆43PA?PB的取值范围为（ ）

A．?,??? B．?,?3?2??56???356? C. D．?22?3,?? 22?3,????9???29????lnx,0?x?e12.已知函数f?x???，若正实数a,b,c互不相等，且f?a??f?b??f?c?，则a?b?c的

??2?lnx,x?e取值范围是（ ）

2A．e,2e?e B．??2e,2?e2? C. ????1?e???1??1??e,2?e2? D．??e,2e?e2? ?e??e?第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

?x,y?0?13.设x,y满足约束条件：?x?y??1，则z?x?2y的最小值为 ．

?x?y?3?14.已知向量a与b的夹角为30，且a?1，2a?b?1，则b? ．

015.已知A,B,C,D四点在半径为52的球面上，且AC?BD?5，AD?BC?41，AB?CD，则三2棱锥D?ABC的体积是 ．

x2y216.已知双曲线C:2?2?1?b?a?0?的右焦点为F,O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的

ab右支于A,B两点，使OA?OB?0，则双曲线离心率的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等差数列?an?的公差d?0，其前n项和为Sn，若a2?a8?22，且a4,a7,a12成等比数列． （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若Tn?11??S1S2?31，证明：Tn?

4Sn18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在

任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据

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往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x（单位：吨，100?x?150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．

（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P?x?120?； （Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；

（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x??100,110?，则取x?105的概率等于市场需求量落入?100,110?的频率），求T的分布列及数学期望E?T?． 19. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AB//DC，

AD?DC?AP?2AB?2，点E为棱PC的中点，

（Ⅰ）证明：BE?DC；

（Ⅱ）若点F为棱PC上一点，且BF?AC，求二面角F?AB?P的余弦值．

x2y220. 如图，分别过椭圆E:2?2?1?a?b?0?左、右焦点F1,F2的动直线l1,l2相交于P点，与椭圆E分

ab别交于A,B与C,D不同四点，直线OA,OB,OC,OD的斜率k1,k2,k3,k4满足k1?k2?k3?k4．已知当l1与

x轴重合时，AB?23，CD?（Ⅰ）求椭圆E的方程；

43 3（Ⅱ）是否存在定点M,N，使得PM?PN为定值？若存在，求出M,N点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．

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21. 已知f?x??lnx，g?x??12ax?bx?a?0?，h?x??f?x??g?x? 2（Ⅰ）若a?3,b?2，求h?x?的极值；

（Ⅱ）若函数y?h?x?的两个零点为x1,x2?x1?x2?，记x0?x1?x2，证明：h??x0??0． 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

?x?tcos?在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为?（t为参数，0????）．以坐标原点O为

y?1?tsin??极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：?cos（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A,B，若AB?8，求a的值． 23.选修4-5：不等式选讲

已知a?0,b?0，函数f?x??x?a?2x?b的最小值为1． （Ⅰ）证明：2a?b?2

（Ⅱ）若a?2b?tab恒成立，求实数t的最大值．

2??4sin?．

试卷答案

一、选择题

1-5:CDAAB 6-10:BDACB 11、12：CB

二、填空题

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?5?1?,3?13. ?3 14. 3 15. 20 16. ?? 2??三、解答题

17.解：（Ⅰ）因为?an?为等差数列，且a2?a8?22，

?a5?1?a2?a8??11，由a4,a7,a12成等比数列，得a72?a4?a12， 22即?11?2d???11?d???11?7d?，故an?2n?1?n?N*? （Ⅱ）证明：

d?0,?d?2，?a1?11?4?2?3

Sn?n?a1?an?111?11??n?n?2?，?????? 2Snn?n?2?2?nn?2??Tn?11??S1S2?11??1??11??11???1???????????Sn2???3??24??35??1111? ???n?1n?1nn?2???1?111?31?11?31????????? ??2?2n?1n?2?42?n?1n?2?43． 4故Tn?18.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：

P?x?120??P?120?x?130??P?130?x?140??P?140?x?150?

?0.030?10?0.025?10?0.015?10 ?0.7

（Ⅱ）当x??100,130?时，T?0.5x?0.3?130?x??0.8x?39 当x??130,150?时，T?0.5?130?65 所以T???0.8x?39,100?x?130

65,130?x?150?（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：

当x??100,110?时，T?0.8?105?39?45，P?T?45??0.010?10?0.1 当x??110,120?时，T?0.8?115?39?53，P?T?53??0.020?10?0.2 当x??120,130?时，T?0.8?125?39?61，P?T?61??0.030?10?0.3

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当x??130,150?时，T?65，P?T?65???0.025?0.015??10?0.4 所以T的分布列为：

T P 45 0.1 53 0.2 61 0.3 65 0.4 所以，E?T??45?0.1?53?0.2?61?0.3?65?0.4?59.4万元． 19. 解：（Ⅰ）证明：

PA?底面ABCD，AB?AD．

?以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意得：B?1,0,0?,P?0,0,2?,C?2,2,0?,E?1,1,1?,D?0,2,0?，

?BE??0,1,1?,DC??2,0,0?，?BE?DC?0，即BE?DC

（Ⅱ）BC??1,2,0?,CP???2,2,2? , AC??2,2,0?,AB??1,0,0?，由点F在棱PC上， 设CF??CP???2?,?2?,2??，?0???1?

?BF?BC?CF??1?2?,2?2?,2??

BF?AC，?BF?AC?2?1?2???2?2?2???0,解得：??

设平面FAB的法向量为n1??x,y,z?，则

3?113?，?BF???,,?． 4?222??n1?AB?x?0?，不妨令z?1，可得n1??0,?3,1?为平面FAB的一个法向量， ?113?n1?BF??x?y?z?0?222取平面ABP的一个法向量n2??0,1,0? 则cos?n1,n2??n1?n2n1?n2??3310310??，易知，二面角F?AB?P是锐角，所以其余弦值为．

101010第 7 页 共 22 页

20.解：（Ⅰ）当l1与x轴重合时，k1?k2?k3?k?0，即k3??k4

2b243 ??l2垂直于x轴，得AB?2a?23，CD?a3x2y2??1． 得a?3,b?2，?椭圆E的方程为：32（Ⅱ）焦点F1,F2坐标分别为??1,0?,?1,0?

当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为??1,0?或?1,0?

当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为m1,m2，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，

?x2y2?1??2222由?3得：?2?3m1?x?6m1x?3m1?6?0 2?y?m?x?1?1?6m123m12?6由求根公式并化简得：x1?x2??或x1?x2? 222?3m12?3m1k1?k2??x?1x?1??y1y2x?x?4m??m1?1?2??m1?2?12???21 x1x2x2?x1x2?m1?2?x1?4m2． 2m2?24m14m2????m1?m2?2??m2?m1??0，由题意知：m2?m1?0，

m12?2m22?2同理：k3?k4??k1?k2?k3?k4，??m1?m2?2?0．

yyy2?+2=0，即?x2?1?x??1? 设P?x,y?，则

x?1x+12当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为??1,0?或?1,0?，也满足此方程，

y2?x2?1?x??1?上，存在点M?0,?1?和N?0,1?，使得PM?PN为定值，定值为所以点P在椭圆222．

21.解：（Ⅰ）

h?x??lnx?32x?2x,x??0,??? 2第 8 页 共 22 页

1?3x2?2x?1??3x?1??x?1??h??x???3x?2??,x??0,??? xxx令?h??x????3x?1??x?1?1?0得：x?

3x当0?x?1?1?时，h??x??0，即h?x?在?0,?上单调递增， 3?3?当x?1?1?时，h??x??0，即h?x?在?,???上单调递减， 3?3?5?1??h?x?极大值=h????ln3?，h?x?极小值不存在．

6?3?（Ⅱ）

函数y?h?x?的两个零点为x1,x2?x1?x2?，不妨设0?x1?x2，

a22x1?bx1?0，h?x2??lnx2?x22?bx2?0 22aa?h?x1??h?x2??lnx1?x12?bx1?lnx2?x22?bx2

22a22 ?lnx1?lnx2??x1?x2??b?x1?x2??0

2a22即lnx1?lnx2??x1?x2??b?x1?x2?

2x?x21又h??x??f??x??g??x????ax?b?，x0?1，

x2?h?x1??lnx1??h??x0??2?x?x???a12?b?，

x1?x2?2??2?x1?x2???x1?x2?h?x0???x1?x2???a?b?

x?x2?12??2?x1?x2??1???a?x12?x22??b?x1?x2??

x1?x2?2?2?x1?x2????lnx1?lnx2?

x1?x2?x?2?1?1?x2?x???ln1． x1x2?1x2 第 9 页 共 22 页

令

2?t?1?x1?lnt?0?t?1? ?t?0?t?1?，则r?t??t?1x21??t?1???r?t?????0 22t?t?1??t?1?t42?r?t?在?0,1?上单调递减，故r?t??r?1??0， ?x?2?1?1?xx??2??ln1?0，即??x1?x2?h??x0??0，

x1x2?1x2又

x1?x2?0，?h??x0??0．

222.解：（Ⅰ）直线l普通方程为x?sin??y?cos??cos??0，曲线C的极坐标方程为?cos??4sin?，

?cos??x,?sin??y，则?2cos2??4?sin?，?x2?4y即为曲线C的普通方程．

（Ⅱ）将??x?tcos?（t为参数，0????）代入曲线C:x2?4y．

?y?1?tsin?4sin??4,t?t? 12cos2?cos2?2?t2?cos2??4t?sin??4?0，?t1?t2?AB?t1?t2??t1?t2?2?4?4sin???4t1?t2???4??8 ?22cos??cos???cos???2?3?． ,???或424?a?b 223.解：（Ⅰ）证明：

???3x?a?b,x??a?b?b???b??f?x????x?a?b,?a?x?，显然f?x?在???,??上单调递减，在?,???上单调递增，

2?2??2??b?3x?a?b,x???2所以f?x?的最小值为f?b?b??a??1，即2a?b?2． ?2?2?a?2b?t恒成立， ab第 10 页 共 22 页

（Ⅱ）因为a?2b?tab恒成立，所以

a?2b121?12?1?2a2b?9???????2a?b???5?+?? abba2?ba?2?ba?22a?2b9时，取得最小值， 3ab299所以t?，即实数t的最大值为．

22当且仅当a?b?

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