以三次函数为载体为导数综合题

以三次函数为载体为导数综合题 1.已知实数a满足1＜a≤2，设函数f(x)＝x3－

1a?123x2＋ax．

(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，

求证：g(x)的极大值小于等于10．

2

(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x－3x＋2＝(x－1)(x－2)．列表如下：

x (－?，1) 1 (1，2) 2 (2，＋?)

f ′＋ 0 － 0 ＋

(x)

f 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 (x) 所以，f (x)的极小值为f (2)＝

232

(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由于a＞1，

所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．

而g ′ (x)＝12x＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以a??2

．

b?22，即b＝－2(a＋1)．

又因为1＜a≤2，所以 g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．

故g(x)的极大值小于等于10

2已知函数f(x)?x3?ax2?bx?4在(??,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数． （Ⅰ）求b的值；

2（Ⅱ）当x?0时，曲线y?f(x)总在直线y?ax?4上方，求a的取值范围

解：（Ⅰ）∵f(x)?x?ax?bx?4，∴f'(x)?3x?2ax?b．

∵f(x)在(??,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，

（Ⅱ）f'(x)?3x?2ax?x(3x?2a)，

∵ f(x)在(??,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，∴ ?2322∴ 当x?0时，f(x)有极大值，即f'(0)?0， ∴ b?0．

32a?1，即a??．

232∵曲线y?f(x)在直线y?ax?4的上方，设g(x)?(x3?ax2?4)?(a2x?4)， ∴在x?[0,??)时，g(x)?0恒成立．∵ g'(x)?3x2?2ax?a2?(3x?a)(x?a)，

aa令g'(x)?0，两个根为?a，，且?0??a，

33(0,?a)x ?a (?a,??) g'(x) ＋ 0 g(x) 极小值 ∴ 当x??a时，g(x)有最小值g(?a)． 333令g(?a)?(?a?a?4)?(?a?4)?0， ∴a??8，由a??3 － 33，∴ ?2?a??. 222?2??2?3.已知函数f(x)满足f(x)?x3?f'??x2?x?C（其中f'??为f(x)在点x?处的导数，C为常数）．

3?3??3?（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若方程f(x)?0有且只有两个不等的实数根，求常数C；

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?2??2?解：（1）由f(x)?x3?f'??x2?x?C，得f'(x)?3x2?2f'??x?1．

?3??3?2?2??2??2??2??2?取x?，得f'???3????2f'??????1，解之，得f'????1，∴f(x)?x3?x2?x?C．

3?3??3??3??3??3?1??从而f'(x)?3x2?2x?1?3?x???x?1?，列表如下：

3??111x (1 , ??) ? 1 (? , 1) (?? , ?) 333f '(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ 11∴f(x)的单调递增区间是(??,?)和(1,??)；f(x)的单调递减区间是(?,1)

33325?1??1??1??1?（2）由（1）知，[f(x)]极大值?f????????????????C??C；

333327????????2[f(x)]极小值?f(1)?13?12?1?C??1?C．

∴方程f(x)?0有且只有两个不等的实数根，等价于[f(x)]极大值?0或[f(x)]极小值?0． ∴常数C??

4.已知函数f(x)?mx3?2nx2?12x的减区间是(?2,2)．

⑴试求m、n的值；⑵求过点A(1,?11)且与曲线y?f(x)相切的切线方程；

⑶过点A（1，t）是否存在与曲线y?f(x)相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：⑴ 由题意知：f?(x)?3mx2?4nx?12?0的解集为(?2,2)， 所以，-2和2为方程3mx2?4nx?12?0的根， 由韦达定理知 0??5或C?1． 274n?12，即m=1，n=0． ,?4?3m3m323⑵ ∵f(x)?x?12x，∴f?(x)?3x?12，∵f(1)?1?12?1??11

当A为切点时，切线的斜率 k?f?(1)?3?12??9，∴切线为y?11??9(x?1)，即9x?y?2?0；

当A不为切点时，设切点为P(x0,f(x0))，这时切线的斜率是k?f?(x0)?3x0?12，

23?4)x?2x0切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，即y?3(x0

2332?4)?2x0?3x0?1?0,(x0?1)2(2x0?1)?0， 因为过点A（1，-11）， ?11?3(x0，∴2x021147，而x0?1为A点，即另一个切点为P(?,)， 228114545∴ k?f?(?)?3??12??，切线方程为 y?11??(x?1)，即 45x?4y?1?0

2444所以，过点A(1,?11)的切线为9x?y?2?0或45x?4y?1?0．

3⑶ 存在满足条件的三条切线．设点P(x0,f(x0))是曲线f(x)?x?12x的切点，

∴ x0?1或x0??23?4)x?2x0则在P点处的切线的方程为 y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)即y?3(x0

2332?4)?2x0??2x0?3x0?12， 因为其过点A（1，t），所以，t?3(x0由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设g(x)?2x3?3x2?t?12，只要使曲线有3个零点即可．

设 g?(x)?6x2?6x=0， ∴ x?0或x?1分别为g(x)的极值点，

当x?(??,0)和(1,??)时g?(x)?0，g(x)在(??,0)和 (1,??)上单增，

当x?(0,1)时g?(x)?0，g(x)在(0,1)上单减，所以，x?0为极大值点，x?1为极小值点.

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?g(0)?0?t?12?0所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当?即?，解得?12?t??11.

g(1)?0t?11?0??

5.函数f?x??x3?6x2的定义域为??2,t?，设f??2??m,f?t??n，f?(x)是f(x)的导数．

(Ⅰ)求证：n?m ；

(Ⅱ)确定t的范围使函数f?x?在??2,t?上是单调函数；

n?m；并确定这样的x0的个数． t?2解：(Ⅰ)设h?t??n?m，则h?t??t3?6t2?32?(t?2)(t?4)2?0，所以n?m． 2分

(Ⅲ)求证：对于任意的t??2，总存在x0???2,t?，满足f'?x0??(Ⅱ)f??x??3x2?12，令f??x??0，得x1?0,x2?4．

当t???2,0?时，x???2,t?时，f'?x??0，f?x?是递增函数；当t?0时，f?x?在??2,0?也是递增函数．

∵x?0是f?x?的一个极值点，∴当t?0时，函数f?x?在??2,t?上不是单调函数．∴当t???2,0?时，函数f?x?在??2,t?上是单调函数． (Ⅲ)由（1），知n?m?(t?2)(t?4)2，∴

n?m2??t?4?． t?22又∵f'?x??3x2?12， 我们只要证明方程3x2?12x??t?4??0在??2,t?内有解即可． 记g?x??3x2?12x??t?4?，则

2g??2??36??t?4????t?2??t?10?，g?t??3t2?12t??t?4??2?t?2??t?4?，

22g??2??36??t?4??0,g?t??3t2?12t??t?4??0， ∴g??2??g?t???2?t?2??t?4??t?10?．

①当t???2,4???10,???时，g??2??g?t???2?t?2??t?4??t?10??0，方程???在??2,t?内有且只有一解

②当t??4,10?时，g??2????t?2??t?10??0，g?t??2?t?2??t?4??0，又g?2???12??t?4??0，∴方程???在??2,2?,?2,t?内分别各有一解，方程???在??2,t?内两解；

③当t?4时，方程g?x??3x2?12x?0在??2,4?内有且只有一解x?0；

④当t?10时，方程g?x??3x2?12x?36?3?x?2??x?6??0在??2,10?内有且只有一解x?6． 综上，对于任意的t??2，总存在x0???2,t?，满足f'?x0??当t???2,4???10,???时，满足f'?x0??当t??4,10?时，满足f'?x0??n?m． t?222222n?m，x0???2,t?的x0有且只有一个； t?2n?m，x0???2,t?的x0恰有两个． t?226.已知函数f(x)?(x?a)(x?b)(a,b?R,a?b).

（１）当a?1,b?2时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（２）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3?x1,x3?x2.证明：存在实数

x4,使得x1,x2,x3,x4按照某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.

(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，因为f’(x)=(x-1)(3x-5) 故f(2)?1 f(2)=0, 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 （Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－

由于a

'a?2b）， 3a?2ba?2b.所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝ 33 第 3 页 共 3 页

a?2b，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3＝b. 3a?2ba?2b1a?2b2a?b 又因为－a＝2（b－），x4＝（a＋）＝，

332332a?ba?2b所以a，，，b依次成等差数列，

332a?b所以存在实数x4满足题意，且x4＝.

37.已知函数f(x)?x3?bx2?cx?d在（0,+?）上是增函数，在[–1,0]上是减函数，且方程f(x)?0

不妨设x1＝a，x2＝

有三个根，它们分别为α，–1，β． （1）求c的值；（2）求证：f(0)??2（1）解：f??x??3x?2bx?c

1；（3）求|α–β|的取值范围． 2

由题意知：函数f(x)在（0,+?）上是增函数，在[–1,0]上是减函数， 函数f(x)在x=0处有极小值，∴c?f?(0)?0

（2）证明： ∵ f(x)在（0,+?）上是增函数，在[–1,0]上是减函数，

∴f??x??3x?2bx?0在（0,+?）上恒成立，且f??x??3x?2bx?0在??1,0?上恒成立,

223x在（0,+?）上恒成立, 在??1,0?上也恒成立，∴b≥3．

2211 又∵f(?1)??1?b?d?0?d?1?b,∴f(0)?d?1?b?? 即 f(0)??．

22（3）解：∵f(x)?x3?bx?1?b?(x?1)?x2?(b?1)x?1?b，

即b????

∴α，β是方程x?(b?1)x?1?b?0的两根， ∴当??(b?1)2?4(1?b)?(b?1)2?4?0，????2(b?1)2?4

又b≥3， 所以 ????．

228.已知函数f(x)?x?ax?ax．

（1）若x?1时函数f(x)有极值，求a的值； （2）求函数f(x)的单调增区间；

（3）若方程f(x)?0有三个不同的解，分别记为x1,x2,x3，证明：f(x)的导函数f?(x)

的最小值为f?(x1?x2?x3)． 3322322解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2ax?a?当x?1时，f(x)有极值，?f?(1)?0[来源:高考资 2即3?2a?a?0 ?a?1或a??3经检验a?1或a??3符合题意

（Ⅱ）令f?(x)?0 即3x?2ax?a?0解得x?a或x??（1）当a?0时，?22a 3aa?a?x??或x?a时,f?(x)?0,f(x)为增函数

33a?f(x)的单调增区间为(??,?),(a,??)

3a（2）当a?0时,??a?0?f(x)的单调增区间为(??,??)

3aa（3）当a?0时,??a?x??或x?a时，f?(x)?0，f(x)为增函数

33

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a?f(x)的单调增区间为(??,a),(?,??)

3（Ⅲ）?f(x)?x(x2?ax?a2)

?x?0是f(x)的一个零点，设x1x2是方程x2?ax?a2?0的两根，

x?x2?x3a? ?x1?x2?a，133aa22又知当x?时f?(x)?3x?2ax?a取得最小值f?()

33x?x2?x3) 即函数y?f?(x)的最小值为f?(139.已知函数f(x)?ax3?3x2?6ax?11,g(x)?3x2?6x?12,和直线m：y?kx?9 .又f?(?1)?0. (1)求a的值；

(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y?f(x)的切线，又是y?g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.

(3)如果对于所有x??2的x,都有f(x)?kx?9?g(x)成立，求k的取值范围. 解：（1）f?(x)?3ax2?6x?6a,因为f?(?1)?0所以a=－2. (2)因为直线m恒过点（0，9）.先求直线m是y?f(x) 的切线.

22设切点为(x0,3x0?6x0?12), ∵g?(x0)?6x0?6.∴切线方程为y?(3x0?6x0?12)?(6x0?6)(x?x0),将点（0，9）代入得x0??1.

当x0??1时，切线方程为y=9, 当x0?1时，切线方程为y=12x?9. 2/由f(x)?0得?6x?6x?12?0，即有x??1,x?2

当x??1时，y?f(x)的切线y??18，当x?2时， y?f(x)的切线方程为y?9

/2 ?y?9是公切线，又由f(x)?12得?6x?6x?12?12?x?0或x?1，

当x?0时y?f(x)的切线为y?12x?11，当x?1时y?f(x)的切线为y?12x?10，

?y?12x?9，不是公切线， 综上所述 k?0时y?9是两曲线的公切线

2 (3).（i）kx?9?g(x)得kx?3x?6x?3，当x?0，不等式恒成立，k?R.

1当?2?x?0时，不等式为k?3(x?)?6，

x11]?6??3?2?6?0?k?0 而3(x?)?6??3[(?x)?x(?x)11当x?0时，不等式为k?3(x?)?6，?3(x?)?6?12 ?k?12

xx?当x??2时,kx?9?g(x)恒成立，则0?k?12

32（ii）由f(x)?kx?9得kx?9??2x?3x?12x?11

2当x?0时，9??11恒成立，k?R，当?2?x?0时有k??2x?3x?12?20 x321052020?=?2(x?)?，

48xx3210520当?2?x?0时?2(x?)?为增函数，?也为增函数

48x?h(x)?h(?2)?8

?要使f(x)?kx?9在?2?x?0上恒成立，则k?8

2设h(x)??2x?3x?12?/2由上述过程只要考虑0?k?8，则当x?0时f(x)??6x?16x?12=?6(x?1)(x?2)

?在x?(0,2]时f/(x)?0，在(2,??)时f/(x)?0

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?f(x)在x?2时有极大值即f(x)在(0,??)上的最大值， 又f(2)?9，即f(x)?9而当x?0,k?0时kx?9?9， ?f(x)?kx?9一定成立，综上所述0?k?8.

10.已知a，b是实数，函数f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx, f?(x)和g?(x)是f(x),g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。 解析：（1）因为函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致，所以，?x?[?1,??),f'(x)g'(x)?0,即

?x?[?1,??),（3x2+a）(2x+b)?0,a?0,??x?[?1,??),2x+b?0, 即a?0,??x?[?1,??),b??2x,?b?2; （2）当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以，?x?(b,a),f'(x)g'(x)?0, 即?x?(b,a),（3x2+a）(2x+b)?0,b?a?0,??x?(b,a),2x?b?0，??x?(b,a),a??3x2, ?b?a??3b2,设z?a?b，考虑点(b,a)的可行域，函数y??3x2的斜率为1的切线的切点设为

11111(x0,y0)，则?6x0?1,x0??,y0??,?zmax???(?)?；

6121266''当a?b?0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，?x?(a,b),f(x)g(x)?0, 即?x?(a,b),（3x2+a）(2x+b)?0,b?0,??x?(a,b),2x?b?0，??x?(a,b),a??3x2,

11?a??3a2,???a?0,?(b?a)max?;

33当a?0?b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，?x?(a,b),f'(x)g'(x)?0,

（3x2+a）(2x+b)=ab<0,不符合题意， 即?x?(a,b),(2x+b)（3x2+a）?0,b?0,而x=0时，

当a?0?b时，由题意： ?x?(a,0),2x（3x2+a）?0,??x?(a,0),3x2+a?0,?3a2?a?0,

11???a?0,?b?a?

331综上可知，a?bmax?。

3

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