2013中考数学压轴题正方形问题精选解析（二）

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2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)

例3 如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．

N K

（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值； A （3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．

P 解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD D M

O

∴∠E＝∠F＝90 ，AE∥MC，MC∥NK ∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF

yy－6NKKA

∴△KNA∽△EAF，∴＝，即 ＝

EAEFx＋6x

B G C

E F

∴y＝x＋6（0＜x≤6）

（2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF

FPAF

∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴＝＝1 PMAN

∴FP＝PM，∴S△MNP＝S△NPF＝32 ∴S正方形DMNK＝2S△MNP＝64 ∴y＝8，∴x＝2 （3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD yyy

易知：AP＝，AH＝x，PH＝－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝＋x

222

①当两圆外切时 22yy2在Rt△GHP中，PH ＋HG ＝PG ，即(－x)＋6＝(＋x)

22222

解得：x＝－3－33（舍去）或x＝－3＋33 ②当两圆内切时 22yy2222在Rt△GHP中，PH ＋HG ＝PG ，即(－x)＋6＝(－x)

22

方程无解

所以，当x＝33－3时，两圆相切

例4 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；

（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；

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本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com A D F A D F G B E C 图1 B C E

图2

（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA

能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由． 解析：

（1）猜想：EF＝BE＋DF

证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1） ∵AF′＝AF

A D ∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF 2 1 又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE

∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF F 222

（2）在Rt△EFC中，EC ＋FC ＝EF ∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y

222

F′ B E C ∴(1－x)＋(1－y)＝(x＋y)

∴y＝

1－x

（0＜x＜1） 1＋x

图1

（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF＝BE＋DF，故此时⊙E与⊙F外切； ②当点E在点C时，DF＝0，⊙F不存在.

③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2） 则AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90° ∴∠F′AE＝∠EAF＝45°

又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE ∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF ∴此时⊙E与⊙F内切

综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切

（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可

F 此时CE＝CF

设BE＝x，DF＝y，由（3）知EF＝x－y

222

在Rt△CFE中，CE ＋CF ＝EF

222

∴(x－1)＋(1＋y)＝(x－y)

x－1∴y＝（x＞1）

x＋1

A 1 2 D G

B

F′

C E

图2 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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由CE＝CF，得x－1＝1＋y，即x－1＝1＋

2

x－1

x＋1

化简得x－2x－1＝0，解得x1＝1－2（舍去），x2＝1＋2 ∴△EGF与△EFA能够相似，此时BE的长为1＋2

例5 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

A D A D

B C B

备用图

C

解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x 则BE＝FG＝BG＝x ∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC ∴

A G D F 3－xxAGGF

＝，即＝ ABBC36

解得x＝2，即BE＝2 （2）存在满足条件的t，理由如下： 如图②，过D作DH⊥BC于点H 则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3

由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t

12122222

在Rt△B′ME中，B′M ＝B′E ＋ME ＝2＋(2－t)＝t－2t＋8

24

B E

图①

C

∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC ∴

A

D G F

MEECME4－t1

＝，即＝，∴ME＝2－t ABBC362

在Rt△DHB′ 中，B′D ＝DH ＋B′H ＝3＋(t－2)＝t－4t＋13 过M作MN⊥DH于点N

222222

N

B

H

B′ 图②

1

则MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－t

2

M E

C

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11

∴DN＝DH－NH＝3－(2－t)＝t＋1

22

52222

在Rt△DMN中，DM ＝DN ＋MN ＝t＋t＋1

4

（ⅰ）若∠DB′M＝90°，则DM ＝B′M ＋B′D 5212202

即 t＋t＋1＝(t－2t＋8)＋(t－4t＋13)，解得t＝ 447

222

（ⅱ）若∠B′MD＝90°，则B′D ＝B′M ＋DM

12522

即t－4t＋13＝(t－2t＋8)＋(t＋t＋1)，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17

44

222

∵0≤t≤4，∴t＝－3＋17

222

（ⅲ）若∠B′DM＝90°，则B′M ＝B′D ＋DM

12522

即 t－2t＋8＝(t－4t＋13)＋(t＋t＋1)，此方程无解 44

综上所述，当t＝

20

或－3＋17时，△B′DM是直角三角形 7

A G D F

412

（3）当0≤t≤ 时，S＝t

34

4122当 ≤t≤2时，S＝－t＋t－ 383

10325当2≤t≤ 时，S＝－t＋2t－ 383

B

B′ H

E 图③

C

当

1015≤t≤4时，S＝－t＋ 322

A D G F

提示：

当点F落在CD上时，如图③ FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4 由△FEC∽△DHC，得即

34＝，∴t＝ 4－t43

FEDH＝ ECHC 2

B H

B′ 图④

E C

当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点） t＝2 A 当点G落在CD上时，如图④ GB′＝2，B′C＝6－t

G′BDH

由△GB′C∽△DHC，得＝ B′CHC

D G F N M

即

310＝，∴t＝ 6－t43

2

B

B′ E 图⑤

C

当点E与点C重合时，t＝4 4

①当0≤t≤ 时，如图⑤

3

A G D P F Q N 1∵MF＝t，FN＝t 2 M 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 B

B′

图⑥

E C

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∴S＝S△FMN＝

1112·t·t＝t 224

4

②当 ≤t≤2时，如图⑥

3

433

∵PF＝t－，FQ＝PF＝t－1

344

143322

∴S△FPQ＝(t－)(t－1)＝t－t＋ 23483

A D G M N P F Q E

C

12322122

∴S＝S△FMN－S△FPQ＝t－(t－t＋)＝－t＋t－

48383

10

③当2≤t≤ 时，如图⑦

3

111

∵B′M＝B′C＝(6－t)＝3－t

222

B

B′ 图⑦

11

∴GM＝2－(3－t)＝t－1

22

111

∴S梯形GMNF＝(t－1＋t)×2＝t－1 222

322325

∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(t－t＋)＝－t＋2t－ 8383

④当

10

≤t≤4时，如图⑧ 3

3393∵PB′＝B′C＝(6－t)＝－t 4424

A D G P M F 9335∴GP＝2－(－t)＝t－ 2442 135337∴S梯形GPQF＝(t－＋t－1)×2＝t－ 242422

3715∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(t－)＝－t＋ 2222 B

B′ 图⑧

Q N E C

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0lba.html