集合的概念及其运算

集合的概念及其运算 适用学科 适用区域 知识点 数学 通用 适用年级 课时时长（分钟） 高一 60 集合的概念；集合中元素的性质；属于与不属于的应用 常用数集及其记法；列举法；描述法；Venn图法 两个集合相等的含义；证明集合相等的方法 子机、真子集、空集；包含关系与属于关系的区别 子集个数问题；不包含关系的含义 并集、交集、补集；交、并、补的混合运算 教学目标 教学重点 教学难点

集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算 集合的概念和集合的运算、Venn图 集合与集合之间的运算 教学过程

一、课堂导入

问题：什么是集合？集合的表示方法有哪些？

二、复习预习

所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

三、知识讲解

考点1 元素与集合

(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．

(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. (3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法． (4)常见集合的符号表示

数集 符号

自然数集 N 正整数集 N＋或N* 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 复数集 C 考点2集合间的关系

表示关系 相等 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 集合A中任意一个元素均为集合B的元真子集 素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集

符号语言 A?B，B?A?A＝B A?B或B?A AB或BA 空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集 ??A，?B(B≠?)

考点3 集合的运算

图形 集合的并集 集合的交集 集合的补集 A∪B＝{x|x∈A或 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 符号 x∈B}

考点4集合与集合之间的运算

并集的性质：

A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：

A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：

A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.

四、例题精析

考点一集合的基本概念 例1 设

??b?a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b?，求??

b－a的值.

??b??，a≠0，所以0，，b【规范解答】因为{1，a＋b，a}＝a??b

a＋b＝0，得a＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

【总结与反思】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

考点二集合间的基本关系

例2 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

【规范解答】当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠?时，若B?A，如图．

m＋1≥－2??

则?2m－1≤7??m＋1<2m－1

，解得2

综上，m的取值范围为m≤4.

【总结与反思】对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B?A不要忽略B＝?的情形．

考点三集合的基本运算

例3设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，求m的值．

【规范解答】A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知m＝1和m＝2符合条件． ∴m＝1或2.

【总结与反思】运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

五、课堂运用

【基础】

1、已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.

【规范解答】A＝{x|－5

2、若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求a的可取值组成的集合．

1

【规范解答】P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－a，

?11?1111

?为满足S?P可使－a＝－3或－a＝2，即a＝3或a＝－2.故所求集合为0，3，－2?.

??

【巩固】

1、设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}，B＝{x∈Z|－1

A．3

( )

B．4 C．7

D．8

【规范解答】因为A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，

由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，

所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案

C 2、已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

【规范解答】因为C∩A＝C，所以C?A.

3

①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－2； ?－a

?－a≥1，

??a＋3<5，

解得－3

2

【拔高】

1、设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，求实数a的取值范围．

【规范解答】A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，

因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2， ??4－4a－1≤0，

所以有f(2)≤0且f(3)>0，即?

??9－6a－1>0，

3

a≥??4，所以?4

a

34

即4≤a<3. 6?9?

－1??2、已知U＝{x∈Z|y＝lnx}，M＝{x∈Z||x－4|≤1}，N＝{x∈N|x∈Z}，则集合{4,5}等于 ( ) ??

A．M∩NB．M∩(?UN)C．N∩(?UM) D．(?UM)∪(?UN)

9－x9?9?

【规范解答】集合U为函数y＝ln?x－1?的定义域内的整数集，由x－1>0，即x>0，解得0

??又x∈Z，所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8，故U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}． 集合M为满足不等式|x－4|≤1的整数集，解|x－4|≤1，得3≤x≤5， 又x∈Z，所以x可取3,4,5，故M＝{3,4,5}．

66

集合N是使x为整数的自然数集合，显然当x＝1时，x＝6；

666

当x＝2时，x＝3；当x＝3时，x＝2；当x＝6时，x＝1. 所以N＝{1,2,3,6}．显然M?U，N?U. 而4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N，所以4∈M,4∈?UN,5∈M,5∈?UN， 即{4,5}＝M∩(?UN)．

课程小结

1．做集合的运算题时要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．

2．在集合运算过程中应力求做到“三化”：

(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集． (2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来．

(3)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式．

课程小结

1．做集合的运算题时要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．

2．在集合运算过程中应力求做到“三化”：

(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集． (2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来．

(3)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0l83.html