学案66

学案66 离散型随机变量及其分布列

导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

自主梳理

1．离散型随机变量的分布列

(1)随着试验结果变化而变化的变量称为____________；所有取值可以一一列出，这样的随机变量叫做________________________．

(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，?，xi，?，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，?，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 xi xn ? ? P p1 p2 pi pn ? ? 为离散型随机变量X的概率分布列，它具有的性质： ①pi______0，i＝1,2，?，n；

n

②∑pi＝1. ＝

i1

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的____________． 2．如果随机变量X的分布列为

X 1 0 P p q 其中0

在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝________________________，(k＝0,1,2，?，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*.随机变量X的分布列具有以下表格的形式．

X 0 1 m ? n－0n－1n－mC0C1CmMCN－MMCN－MMCN－MP ? nCnCnCNNN则称随机变量X服从超几何分布． 自我检测 1．(2011·福州月考)袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )

A．1,2，?，6 B．1,2，?，7 C．1,2，?，11 D．1,2,3，?

2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( ) A.

X 0 1 －1 P 0.3 0.4 0.4 B.

X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C.

X 0 1 －1 P D.

X P

0.3 1 0.3 0.4 2 0.4 0.3 3 0.4 i

3．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于( )

2a

1111A. B. C. D. 9634

4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验成功的次数，则P(ξ＝0)等于( )

112

A．0 B. C. D.

233

5．(2011·苏州模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为__________________.

探究点一 离散型随机变量的分布列

例1 一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．

求X的分布列．

变式迁移1 将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中去，杯子中球的最大数记为ξ，求ξ的分布列．

探究点二 超几何分布 例2 (2011·淮南模拟)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.

变式迁移2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量X表示所选3人中女生的人数．

(1)求X的分布列；

(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．

探究点三 离散型随机变量分布列的应用

例3 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列；

(3)计分介于20分到40分之间的概率．

变式迁移3 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．

(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6的概率．

1．离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和方差的基础，而求分布列需要综合应用排列、组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一．复习时应注意：分布列的计算是概率部分计算的延伸，正确计算的基础是对基本概念的理解，注意明确数学符号的含义．

2．求解离散型随机变量的概率分布问题的步骤：

(1)明确随机变量的取值范围，即找出随机变量X所有可能取值xi(i＝1,2，?，n)； (2)求出每个随机变量值的概率P(X＝xi)＝Pi；

(3)用数表表示出分布列．

3．求解离散型随机变量的概率分布问题时的注意事项： (1)搞清随机变量的每一个取值所对应的基本随机事件； (2)计算必须准确无误；

(3)注意运用概率分布的两条性质检验所求概率分布是否正确．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

ξ 0 1 －1 1P q2 1－2q 2则q的值为( )

222

A．1 B．1± C．1＋ D．1－

222

2．(2011·聊城调研)袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为( )

A．25 B．10 C．7 D．6

a

3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)等于( )

2

1111A. B. C. D. 165434．已知随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 222222222P 2 3 4 5 6 7 8 9 m 333333333则P(ξ＝10)等于( ) 2211A.9 B.10 C.9 D.10 3333

5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10

6C47C8个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于10的是( )

C15

A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·宜城月考)若某一射手射击所得环数X的分布列如下：

X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是________． 31

7．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管有放回地进行测试，设第ξ次首

44

次测到正品，则P(ξ＝3)＝______.

8.

如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.

三、解答题(共38分)

9．(12分)已知随机变量ξ的分布列为

ξ －2 －1 0 1 2 3 134121P 1212121212121分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．

2

k

ξ＝?＝ak，k＝1,2，3,4,5. 10．(12分)(2011·芜湖模拟)设离散型随机变量ξ的分布列P??5?(1)求常数a的值；

3ξ≥?； (2)求P??5?17<ξ

11．(14分)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列；

(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．

学案66 离散型随机变量及其分布列

自主梳理

1．(1)随机变量 离散型随机变量 (2)①≥ ②概率之和

n－kCkMCN－M

2．两点分布 3.

CnN

自我检测

1．B [除了白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．]

2．C [A、D的概率之和不等于1，B中P(3)＝－0.1<0，故均不正确，所以选C.]

123

3．C [由分布列的性质知＋＋＝1，

2a2a2a21

∴a＝3，∴P(X＝2)＝＝.] 2a3

4．C [∵P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)

1

＝P(ξ＝0)＋2P(ξ＝0)＝3P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝.] 3

5.

ξ 0 1 2 133P 10510111C1632C3

解析 ∵P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝1)＝2＝＝，

C510C5105

2

C33

P(ξ＝2)＝2＝，

C510

∴

ξ 0 1 2 133P 10510课堂活动区

例1 解题导引 求离散型随机变量的分布列步骤是：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，?，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表．求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．

解 X的可能取值为3,4,5,6，

C31C1C2331·3

从而有：P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝3＝，

C620C620

1212C1·C43C1·C51

P(X＝5)＝3＝，P(X＝6)＝3＝. C610C62

故X的分布列为

X 3 4 5 6 1331P 2020102变式迁移1 解 依题意可知，杯子中球的最大数ξ的所有可能值为1,2,3，当ξ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当ξ＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．从而有P(ξ

A3C2C1C19C11433·4·34＝1)＝3＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝3＝. 348416416∴ξ的分布列为

ξ 1 2 3 391 81616例2 解题导引 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．

解 依题意，随机变量X服从超几何分布，

4－kCk6C4

所以P(X＝k)＝4(k＝0,1,2,3,4)．

C1004

C6C41

∴P(X＝0)＝4＝，

C1021013

C6C44

P(X＝1)＝4＝，

C10352C26C43

P(X＝2)＝4＝，

C1071C386C4

P(X＝3)＝4＝，

C10210C416C4P(X＝4)＝4＝，

C1014

∴X的分布列为

X 0 1 2 3 4 14381P 2103572114变式迁移2 解 (1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选的3人中女生随机变量X＝0,1,2，其概率

3－kCk2C4

P(X＝k)＝3，k＝0,1,2，故X的分布列为： C6

X 0 1 2 131P 555(2)由(1)可得“所选3人中女生人数X≤1”的概率为 134

P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.

555

例3 解题导引 (1)是古典概型；(2)关键是确定X的所有可能取值；(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和．

解 (1)方法一 记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，则P(A)＝3111

C5C2C2C22

＝. 3C103

方法二 记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，记“一次取出的3个小球上有两个数字相同”为事件B，则事件A和事件B是对立事件．

21C115C2C8因为P(B)＝3＝，

C103

12

所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 33

C314(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P(X＝2)＝3＝，

C1030

1221

C2C4C2C42

P(X＝3)＝3＋3＝，

C10C1015121C2C6C232C6

P(X＝4)＝3＋3＝，

C10C1010121C2C8C282C8P(X＝5)＝3＋3＝.

C10C1015

∴随机变量X的分布列为 X 2 3 4 5 P 1238 30151015(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为

2313

P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.

151030

变式迁移3 解 (1)得分X的所有可能值为5,6,7,8.

3C144C3P(X＝5)＝4＝，

C7352C24C318

P(X＝6)＝4＝，

C7351C34C312

P(X＝7)＝4＝，

C7350C414C3P(X＝8)＝4＝. C735

∴X的分布列为

X 5 6 7 8 418121P 35353535(2)得分大于6的概率为： 12113

P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 353535

课后练习区

1．D [由分布列的性质，有

P ??q≥0，?1??2＋1－2q＋q＝1，

2

2

1－2q≥0，

解得q＝1－

2

. 2

1

或由1－2q≥0?q≤，可排除A、B、C.]

2

2．C [X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.]

aaaa16

3．B [∵＋＋＋＝1，∴a＝. 2481615

∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4) 1616

1515211＝＋＝＋＝.] 81615155

12?

1－9?3?3?1

4．C [P(ξ＝10)＝1－＝9.] 131－3

5．C [X服从超几何分布

10－kCk7C8

P(X＝k)＝，故k＝4.]

C1015

6．0.88

解析 环数X≥7的概率是： 0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 37. 64

1133

解析 P(ξ＝3)＝××＝. 44464

48. 5

解析 方法一 由已知，ξ的取值为7,8,9,10，

1211

C2C2132C1＋C2C22C2∵P(ξ＝7)＝3＝，P(ξ＝8)＝＝， 3C55C51011121C2C2C12C2C11

P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝3＝， 3C55C510

∴ξ的概率分布列为

ξ 7 8 9 10 1321P 510510∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10) 3214＝＋＋＝. 105105

1C242C2方法二 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－3＝.

C55

1

9．解 由于η1＝ξ对于不同的ξ有不同的取值η1，

2

所以η1的分布列为 113η1 0 1 －1 － 222111111P 124312612(6分)

η2＝ξ2对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的

12

概率应是ξ取－2与2值的概率与合并的结果，η2取1这个值的概率为ξ取－1与1的

1212

31

概率与合并的结果，故η2的分布列为

1212

η2 0 1 4 9 1111P 33412(12分)

10．解 (1)由离散型随机变量的性质，得

1

a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝.

15

k1

ξ＝?＝k，k＝1,2,3,4,5. (2)由(1)，得P??5?153ξ≥? 方法一 P??5?34

ξ＝?＋P?ξ＝?＋P(ξ＝1) ＝P??5??5?3454

＝＋＋＝.(7分) 1515155

33ξ≥?＝1－P?ξ

＝1－??15＋15?＝5.(7分)

1717123

<ξ

123ξ＝?＋P?ξ＝?＋P?ξ＝? ＝P??5??5??5?

1232

＝＋＋＝.(12分) 1515155

11．解 (1)ξ的可能取值为0,1,2,3.(1分)

2C21894C3P(ξ＝0)＝2·2＝＝，(3分)

C5C510050

2221C1C2124C3C4C3·

P(ξ＝1)＝2·2＋2·2＝，(5分)

C5C5C5C52511122C4C3·C2C4C23

P(ξ＝2)＝2·2＋2·2＝.(7分)

C5C5C5C51012

C4C21

P(ξ＝3)＝2·2＝.(9分)

C5C525

故ξ的分布列为

ξ 0 1 912P 5025(11分)

2 3 103 1 253117

(2)所求的概率为P＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.(14分)

102550

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