高考专项训练10：文科概率专项训练

一．解答题（共30小题）1．（2011?山东）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．

（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 2．（2011?江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力

（1）求此人被评为优秀的概率

（2）求此人被评为良好及以上的概率．

3．（2010?山东）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．

4．（2010?历下区）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖． （1）求中三等奖的概率； （2）求中奖的概率．

5．（2010?江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止． （1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．

6．（2009?重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中： （Ⅰ）至少有1株成活的概率； （Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．

7．（2009?天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求： （I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

8．（2009?四川）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡． （I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．

9．（2009?陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1 （Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率； （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

10．（2009?江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审、假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是、若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助、求： （1）该公司的资助总额为零的概率；

（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．

11．（2009?福建）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

12．（2008?重庆）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中： （1）恰有两道题答对的概率； （2）至少答对一道题的概率．

13．（2008?浙江）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．求： （Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率； （Ⅱ）袋中白球的个数．

14．（2008?天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为

．

（Ⅰ）求乙投球的命中率p；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率； （Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

15．（2008?四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．

16．（2008?陕西）一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回． （Ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．

17．（2008?山东）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

（Ⅰ）求A1被选中的概率； （Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率． 18．（2008?江西）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4． （1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率．

19．（2008?湖南）湖南省某单位从5名男职工和3名女职工中任意选派3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比赛，

（I）求该单位所派3名选手都是男职工的概率；

（II）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；

（III）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为，则该单位至少有一名选手获奖的概率是多少？

20．（2008?湖南）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

（I）至少有一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率．

21．（2008?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

22．（2007?重庆）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．

23．（2007?天津）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．

24．（2007?陕西）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰、已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率． （注：本小题结果可用分数表示）

25．（2007?江西）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．

26．（2007?江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率；

（2）5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

，且各次射击相互独立．

27．（2007?湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （Ⅱ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率．

28．（2007?福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；

（II）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （III）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

29．（2007?北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．

30．（2006?重庆）甲、乙、丙三人在同一办公室工作．办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、．若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立．求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．

答案与评分标准

一．解答题（共30小题） 1．（2011?山东）甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．

（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式；相互独立事件的概率乘法公式。

专题：计算题。

分析：首先根据题意，将甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，

（Ⅰ）依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选1名”以及“选出的2名教师性别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案； （Ⅱ）依题意，列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师同一个学校的有6种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案．

解答：解：甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示， （Ⅰ）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种； 其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种； 则选出的2名教师性别相同的概率为P=； （Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，

有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15种； 其中选出的教师来自同一个学校的有6种； 则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=

．

点评：本题考查古典概型的计算，涉及列举法的应用，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．

2．（2011?江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力

（1）求此人被评为优秀的概率

（2）求此人被评为良好及以上的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式。 专题：计算题。

分析：根据题意，首先将饮料编号，进而可得从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况，即所有的基本事件；再记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E，

（1）分析查找可得，D包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案； （2）分析查找可得，E包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．

解答：解：将5杯饮料编号为1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料； 则从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）；共10个基本事件；

记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E， （1）分析可得，D包括（123）1个基本事件， 则P（D）=

；

（2）E包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7个基本事件；

则P（E）=

．

点评：本题考查列举法计算概率，注意列举时按一定的规律、顺序，一定做到不重不漏，还有助于查找基本事件的数目．

3．（2010?山东）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4． （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．

考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件。

分析：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．

（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做． 解答：解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种， 而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3， ∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中， 然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n， 所有（m，n）有4×4=16种，

而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果， ∴P=1﹣

=

．

点评：本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

4．（2010?历下区）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖． （1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率。

专题：计算题。 分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，从四个小球中有放回的取两个共有的结果数可以通过列举得到共有16种结果，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种，得到概率．

（2）本题是一个等可能事件的概率，从四个小球中有放回的取两个共有的结果数可以通过列举得到共有16种结果，中奖包括三种情况，这三种情况是互斥的，看出结果，写出概率．

解答：解：设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0）， （2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法． （1）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0） ∴

（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种． 两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1） 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2） ∴

点评：本题考查用列举法得到事件数和等可能事件的概率，解题的关键是正确列举出试验发生所包含的事件数，这里一般按照数字的大小顺序来列举．

5．（2010?江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止． （1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率． 考点：相互独立事件的概率乘法公式。

专题：计算题。 分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件数为3，而满足条件的事件数是1，根据古典概型的概率公式得到结果．

（2）走出迷宫的时间超过3小时这一事件，包括三种情况，且这三种情况是互斥的，一是进入2号通道，回来后又进入3号通道，二是进入3号通道，回来后又进入2号通道，三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果． 解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率 ∵试验发生包含的所有事件数为3， 而满足条件的事件数是1，

设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件， ∴P（A）=．

（2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件， 本事件包括三种情况，且这三种情况是互斥的， 一是进入2号通道，回来后又进入3号通道的概率是二是进入3号通道，回来后又进入2号通道的概率是三是进入3号通道，回来后又进入1号通道的概率是则P（B）=

=．

= = =

点评：考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．

6．（2009?重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中： （Ⅰ）至少有1株成活的概率；

（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．

考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式。 分析：（1）因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活 来考虑．

（2）应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算． 解答：解：设Ak表示第k株甲种大树成活，k=1，2 设Bl表示第l株乙种大树成活，l=1，2 则A1，A2，B1，B2独立， 且

（Ⅰ）至少有1株成活的概率为：

（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知， 两种大树各成活1株的概率为：

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率． 7．（2009?天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求： （I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式。 专题：计算题。

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条

﹣

件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k，写出概率，分布列和期望． （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果． 解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，

由于从10件产品中任取3件的结果为C10，

﹣

从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73k， 那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=∴随机变量X的分布列是

，k=0，1，2，3．

3

∴X的数学期望EX=

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，

“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2， ”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥， 且A=A1∪A2∪A3而P（A2）=P（X=2）=

，

，P（A3）=P（X=3）=，

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=

+

+

=

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．

8．（2009?四川）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡． （I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． 考点：等可能事件的概率；组合及组合数公式。

专题：计算题。

分析：（I）由题意得，省外游客有36×，其中27×持金卡；省内游客有36×人，其中9×人持银卡，这是一个等可能事件的概率，事件发生包含的所有事件是从36人中选2人，共有C362种结果，得到概率．

（II）采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等包含两种情况，一是采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人，二是采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人，这两种结果是互斥的根据互斥事件的概率和等可能事件的概率公式，得到结果．

解答：解：（I）由题意得，省外游客有36×=27人，其中27×=9人持金卡；省内游客有36×=9人，其中9×=6人持银卡

设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， 这是一个等可能事件的概率，

事件发生包含的所有事件是从36人中选2人，共有C362种结果，

11

而满足条件的事件数是C6C30 ∴

即采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是

（II）设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为： 事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，

或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况， ∴

即采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是

点评：本题考查等可能事件的概率和互斥事件的概率，是一个基础题，学好等可能事件的概率可以为其它概率的学习奠定基础，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

9．（2009?陕西）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1 （Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率； （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率． 考点：相互独立事件的概率乘法公式。

分析：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式．

（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，由一个月内被消费者投诉的次数为0，1的概率分别为0.4，0.5，则该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率P=P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出答案． （2）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”，该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2），代入数据运算后，易得最终答案． 解答：解：（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”， 事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”

所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9 （Ⅱ）设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”， 事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”， 事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”， 事件D表示“两个月内被投诉2次”

所以P（Ai）=0.4，P（Bi）=0.5，P（Ci）=0.1（i=1，2）

所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2+A2C1） 一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2）

所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2） 由事件的独立性的p（D）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33．

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 10．（2009?江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审、假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是、若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助、求： （1）该公司的资助总额为零的概率；

（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．

考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；互斥事件的概率加法公式。 专题：计算题。

分析：（1）独立地对每位大学生的创业方案进行评审，该公司的资助总额为零表示三个大学生都没有获得支持，这三个大学生是否获得支持是相互独立的，根据相互独立事件的概率公式得到结果．

（2）公司的资助总额超过15万元，表示三个大学生得到四个支持，五个支持和六个支持，这三个事件之间是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知独立地对每位大学生的创业方案进行评审、 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是、 该公司的资助总额为零表示三个大学生都没有获得支持， 这三个大学生是否获得支持是相互独立的， 设A表示资助总额为零这个事件， 则

（2）公司的资助总额超过15万元，表示三个大学生得到四个支持， 五个支持和六个支持，这三个事件之间是互斥的， 设B表示资助总额超过15万元这个事件， ∴P=即

点评：本题考查独立重复试验概率公式，考查互斥事件的概率，考查相互独立事件的概率，是一个综合题，解题的关键是读懂题意．

11．（2009?福建）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率． 考点：等可能事件的概率；随机事件。 专题：计算题。

分析：（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照红球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏． （2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），根据古典概型公式得到结果． 解答：解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：

（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）

∴P（B）=

（III）∵参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为， ∴本题是一个独立重复试验，

该单位至少有一名选手获奖包括一个获奖、两个获奖，三个获奖三种结果， 设该单位至少有一名选手获奖的概率为P， 则P=P3（1）+P3（2）+P3（3）=

．

点评：本题的第三问也可以这样解：P=1﹣

=

，这是一个独立重复试验，解题时关键是看出题目的实质，

参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为，这是题目的突破口．

20．（2008?湖南）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

（I）至少有一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率．

考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件。 专题：计算题。

分析：（I）至少有一人面试合格的对立事件是三个人面试都不合格，根据每人合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，做出三个人都不合格的概率，根据对立事件的概率得到结果．

（II）没有人签约包括三种情况，甲不合格，且乙和丙恰有一个不合格；甲不合格且乙和丙都不合格，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式，得到结果． 解答：解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格． 由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=． （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为

=

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，题目中对于乙和丙的叙述比较难理解，“乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．”，这里容易漏掉结果．

21．（2008?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 考点：等可能事件的概率。 分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，满足条件的事件数A33，根据古典概型公式得到结果．

（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是两个人在一个岗位上，由对立事件概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，

∵试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果， 满足条件的事件数A33 ∴

，

（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，

设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，

∵试验包含的所有事件是6个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C5A4种结果， 不满足条件的事件数A44 ∴

，

2

4

∴由对立事件的概率公式得到

甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是

．

点评：本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．

22．（2007?重庆）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．

考点：相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 专题：计算题。

分析：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式和加法公式，

（Ⅰ）甲、乙各射击一次，甲命中但乙未命中目标，分为两步，由甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

，

，且各次射击相互独立．

我们易得甲命中但乙未命中目标的概率，代入计算即可得到结果； （Ⅱ）甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等，包括三种情况，即均不中，均中一次，均中两次，则两人命中次数相等的概率为

P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2），代入计算即可得到答案． 解答：解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标， 则A、B相互独立， 且P（A）=

，

从而甲命中但乙未命中目标的概率为

（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B

1

表示乙有两次射击中恰好命中l次．

依题意有

由独立性知两人命中次数相等的概率为

P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2）

=P（A0）P（B0）+P（A1）P（B1）+P（A2）+P（B2）

=

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 23．（2007?天津）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．

考点：互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 分析：（1）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，取出的4个球均为红球表示从甲盒内各任取2个红球，同时从乙盒中也取两个红球，记出事件得到概率用相互独立事件同时发生的概率公式计算． （2）看清楚取出的4个球中恰有1个红球包含的情况，从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球同时从乙盒内取出的2个红球为黑球，从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球．计算结果． 解答：解：（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且

，

，

故取出的4个球均为红球的概率是．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，且

，

．

故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．

24．（2007?陕西）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰、已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率． （注：本小题结果可用分数表示）

考点：相互独立事件的概率乘法公式。

专题：计算题。 分析：（1）该选手进入第四轮才被淘汰，表示前三轮通过，第四轮淘汰，则该选手进入第四轮才被淘汰的概率P=

式即可求解．

（2）求该选手至多进入第三轮考核表示该选手第一轮被淘汰，或是第二轮被淘汰，或是第三轮被淘汰，则该选手至多进入第三轮考核的概率即可求解．

，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公

，根据已知条件，算出式中各数据量的值，代入公式

解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1，2，3，4）， 则

，

，

，

，

∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率

===

．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

==

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解． 25．（2007?江西）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． 考点：相互独立事件的概率乘法公式。 专题：计算题。

分析：（1）甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的对立事件是两颗果树都不成苗，用对立事件的概率公式得到结果． （2）本题考查互斥事件和相互独立事件同时发生的概率，记出事件，表示出符合题意的事件，用相互独立事件的公式写出概率的表达式，得到结果．

解答：解：（1）分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1，A2； P（A1）=0.6，P（A2）=0.5，P（B1）=0.7，P（B2）=0.9． ∴甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

（2）分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件B1，B2， 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B，

则P（A）=P（A1B1）=0.42，P（B）=P（A2B2）=0.45． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

点评：本题的第二问还可以这样解：恰好有一种果树栽培成活的概率为

．

26．（2007?江苏）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

；

．

专题：计算题；应用题。 分析：（1）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，有5次恰好发生2次，根据独立重复试验概率公式写出结果．

（2）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确，根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到概率．

（3）本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，表示除第三次外另外四次恰有一次正确，根据独立重复试验的概率公式得到概率． 解答：解：（1）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8， 5次预报中恰有2次准确的概率是

（2）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8，

5次预报中至少有2次准确的对立事件是5次预报中只有1次准确和都不准确， 根据对立事件的概率和独立重复试验的概率公式得到

（3）由题意知，本题是一个独立重复试验，事件发生的概率是0.8 5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确， 根据独立重复试验的概率公式得到

点评：本题考查独立重复试验的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，题目中易错点是5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确，这里表示表示除第三次外另外四次恰有一次正确，不要出错．

27．（2007?湖南）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （Ⅱ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率． 考点：等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 专题：计算题。

分析：（1）欲求该人参加过培训的概率，可先其对立事件的概率，即求该人没有参加过培训的概率，结合对立事件的两个概率之和为1求解即可；

（2）任选3名下岗人员，包括两种情形，3人中只有2人参加过培训或3人都参加过培训，分别求出它们的概率后相加即可．

解答：解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75． （I）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是1﹣P1=1﹣0.1=0.9．

（II）任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是P4=C32×0.92×0.1=0.243． 3人都参加过培训的概率是P5=0.9=0.729．

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4+P5=0.243+0.729=0.972．

点评：本题考查概率的求法与运用，相互独立的两个事件同时发生的概率计算的一般方法：A，B独立，由P（AB）=P（A）×P（B）． 28．（2007?福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；

3

（II）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

（III）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式。 专题：计算题。

分析：（1）由题意知本题是一个相互独立事件，甲试跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前两次试跳不成功，而第三次试跳才成功，记出事件，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．

（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功且乙成功，甲成功且乙不成功，三种结果，这三种事件之间是互斥关系，根据互斥事件和相互独立事件的概率，得到结果．

（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次表示甲成功两次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，两种结果，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果． 解答：解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1、 依题意得P（A1）=0.7，P（B1）=0.6，且A1，B1（i=1，2，3）相互独立、 （I）“甲第三次试跳才成功”为事件∴P（

A3）=P（

）P

A3，且三次试跳相互独立，

=0.3×0.3×0.7=0.063

即甲第三次试跳才成功的概率为0.063．

（II）甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C， 解法一：C=A1∴P（C）==

=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 =0.88

解法二：P（C）=1﹣

=1﹣0.3×0.4=0.88．

彼此互斥，

即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88

（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2）， “乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），

∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件． ∴所求的概率为P（M1N0+M2N1）=P（M1N0）+P（M2N1）=P（M1）P（N0）+P（M2）P（N1） =C21×0.7×0.3×0.42+0.72×C21×0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024．

即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．

点评：本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．

29．（2007?北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．

考点：等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有C10种结果，根据公式得到结果．

（2）本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有C103种结果，根据公式得到结果． 解答：解：（I）∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的， ∴本题是一个古典概型，

∵试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果， 而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有C10种结果， ∴根据古典概型公式得到P=

=0.00021．

6

6

（II））∵每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的， ∴本题是一个古典概型，

∵试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有11种结果， 而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有C103种结果， 其他三人在其余9个车站下车的可能有93，共有93C103 ∴根据古典概型公式得到P=

=0.08748

6

点评：本题考查古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

30．（2006?重庆）甲、乙、丙三人在同一办公室工作．办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、．若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立．求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．

考点：互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 分析：（1）三个电话是打给同一个人的包括打给甲的，打给乙的，打给丙的，因各个电话相互独立且前面所说的三件事不可能同时发生，由互斥事件和相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．

（2）三个电话有两个是打给甲的，打给甲的概率是，三次试验打给甲发生了两次，根据独立重复试验公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为：

（Ⅱ）这是n=3，p=的独立重复试验， 故所求概率为：

点评：解题时抓住独立重复试验的特点：试验是在在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验，要熟练应用独立重复试验的公式解决问题，这是高考题中会出到的一种题型．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ky3.html