浙江工商大学10-11高等数学期末考试试卷附答案

浙江工商大学2010/2011学年第二学期期末考试试卷(A)

课程名称： 高等数学（下） 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级名称： 学号： 姓名：

一、填空题（每小题3分，共15分）

1. 曲面x2 2y2 z 2被xoy平面所截得的曲线绕y轴旋转一周所成的旋转曲 面方程为

2. 函数f(x,y) xy sin(x 2y)在点(0,0)处沿l (1,2)的方向导数3.

f l

(0,0)

20

dx e

x

2

y

2

dy

x y

2

2

4. 设 是曲面z

I

介于z 0,z 1之间的部分，则第一类曲面积分

(x y)ds

22

5. 若级数

n 1

( 1)n

p

n 1

发散，则p的取值范围为 .

二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设二元函数

f(x,y) 0,

x y 0x y 0

2

2

2

2

，则在原点(0,0)处f(x,y)( )

(A) 偏导数不存在； (B) 偏导数存在且连续； (C) 可微； (D) 不可微

2. 设f(x,y) x3 y3 3x2 3y2 9x, 则f(1,0)是f(x,y)的( ) (A) 极大值； (B) 极小值 ； (C) 非极值 ； (D) 不能确定 3. 已知

(x ay)dx ydy

(x y)

2

为某个函数的全微分，则a ()

(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 1 ； (D) 2

4. 设D是xoy面上以(1,1)，( 1,1)和( 1, 1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一 象限内的部分，则二重积分 (xy cosxsiny)dxdy (

D

D1

D1

)

(A) 2 cosxsinydxdy； (B) 4 cosxsinydxdy； (C) 2 xydxdy； (D) 4 xydxdy

D1

D1

5. 下列级数中，发散的是（ ）

(A)

n 1

2n!n

n

n

； (B)

n)；

n 1

ntan

21

n 1

；

(C)

n 1

(1 cos

(D)

n 1

n n 1

三、计算题（每小题7分，共49分） 1. 求过点(3,1, 2)且通过直线 2. 设

x 45

y 32

z1

的平面方程.

xz

ln

zy

，求

z x

和

z y

。

3. 设f(x)是一个连续函数，且f(0) 1，令F(t) 其中D {(x,y)|x2 y2 t2,t 0}，求lim

t 0

D

f(x y)dxdy，

2

2

F(t)1 cost

4．计算I

L

(esiny x

x2

dx) e(

x

cyo sxdy，)其中L为y 4 x2由A(2,0)至

B( 2,0)的那一弧段。

5.已知f(x,y,z) x2 y2

1

f(x,y,z)dv

，其中 是由x2 y2 2z及平面z 2所围

成的闭区域.求f(x,y,z)。

6. 求幂级数 (5n 3)xn的收敛域及其和函数S(x).

n 1

7. 设f(x)是周期为2 的周期函数, 它在[ , 上的表达式为f(x) |x|,试将f(x)

展开成傅立叶级数.据此求正项级数

k 1

1(2k 1)

2

的和。

四、应用题（每小题8分，共16分） 1. 在椭圆面x

2

y

2

4

z

2

4

1第一卦限内上求一点，使得椭球面在该点的切平面与三

个坐标面所围成的四面体体积最小，并求此最小体积。

2. 计算积分I

xdydz 2xzdzdx 3yzdxdy，其中曲面 为抛物面z 4 x y被

2

2

322

z 0所截部分的下侧。

五、证明题（5分）

若级数 an,an 0收敛，则级数 an2也收敛.反之不成立，试举例。

n 1

n 1

2010-2011学年第二学期《高等数学(下)》期末考试试卷A参考答案

一、填空题（每小题3分，共15分） 1. x2 z2 2y2 2. 2.

(1 e 4). 4.

2

1 2

. 5. p 0

二、选择题（每小题3分，共15分） 1. D 2. B 3. D 4. A 5. D

三、计算题（每小题7分，共49分） 1. 解：平面的法向量

i

j

k

s n1 n2 5

1

2 4

1 8, 9, 22 2

………(5分)

平面过点(2,0,-3),所求平面的方程(点法式)为：

………(7分) 8(x 3) 9(y 1) 22(z 2) 0, 即 8x 9y 22z 59 0.

x

2. 解： lnz lny，

z

两边对x求偏导，得

1z

x zz x

2

1 zz x

，于是

z x

zx z

………(3分)

y

两边对求偏导得

3. 解： lim

t 0

x zz y

2

1 zz y

d

1y

，于是

z y

z

2

y(x z)

………(7分)

=2 f(0) 2 ……(7分)

F(t)1 cost

=lim

t 0

2 0

t0

f( )d

lim

t 0

2

2 tf(t)sint

2

1 cost

4 解：添加线段BA:x t, 2 t 2 由格林公式得

x

2

BA

L BA

(esiny x)dx (ecosy x)dy dxdy 2 ………(4分)

D

x

2

2

x2x

又 (esiny x)dx (ecosy x)dy tdt

2

16

3

16x2x

所以I (esiny x)dx (ecosy x)dy=2

L3

………(6分)

………(7分)

5. 解：设A

2

f(x,y,z)dv… ……(1分)

两边同时积分得：

A

(x y)dv

2

A

dv，

其中： (x y)dv

22

2 0

d d 2 dz 2

2

22

2

20

(2

3

2

2

)d

163

.…(4分)

dv

2 0

d d 2dz 4 ………(6分)

2

22

于是A

16 9

，故 f(x,y,z) x2 y2

169

………(7分)

5n 3

6. 解：R lim 1 R 1 ………(1分)

n 5n 2

当x 1时,级数为 (5n 3)( 1)发散；当x 1时,级数为 (5n 3)发散，

n

n 1

从而收敛域为( 1,1)

设S(x)

5nx

n

3x

n

n 1

n 1

其中 5nxn

x 5nx

n 1

5x( x

n 1

) 5x(

1xn 1n 1

n 1

1 x

)

5(1 x)

2

3xn

3xn 1

1 x

)

5x

2

于是 S(x(1 x)

2

3x3x 2x1 x

(1 x)

2

7.解: a1

0

x

2

a

2

n

1

xcosnxdx

n

xsinnx0

sinnxdx

1

4

=

2n ncosnx

n2

,nisodd 0

0,nisevenb1

n

xsinnxdx 0

|x|

4

2

12k 1)x k 1

(2k 1)

2

cos(

1

2

1)

2

=

k 1

(2k8

四、应用题（每小题8分，共16分）

1. 解: 设(x0,y0,z0)为椭球面第一卦限部分上的点，4x0x y0y z0z 4

于是所研究的立体体积为： V 83x， 0y0z0

令F(x,y,z) xyz (x2

y

2

z

2

4

4

1)

n 1

………(3分) ………(7分)

………(1分)

………(4分)

………(5分)

………(7分)

则该点处切平面方程为………(2分)

………(3分)

Fx Fy 则 Fz 2x

yz 2x 0 xz xy y

2

1212z4

y 0z 0

2

4

1

可得唯一解：

x0

y0

z0

2 ………(7分)

3

体积最小值为V

8

3x 0y0z0

2. 添加曲面 1为z 0下侧,则由高斯公式得

32

2

xdydz 2xzdzdx 3yzdxdy 1

3(x2 y2

)dv

2

2

4 2

d d

2

3 dz 6

2 3(4- 2

)d 32

而

3

xdydz 2xz2dzdx 3y2

zdxdy 0, 1

所以 原式

32

1

1

五、证明题（5分）

证明: an收敛，则lim

an 0 n 1

n 于是 N, n N，有a2

n

an，由比较判别法 a2n

收敛 n 1

反之， a21

n

2

收敛，但 an

1

n 1

n 1

n

n 1

n 1

n发散。

………(8分)

………(5分)

………(7分)

(8分)

………(1分)

………(3分)

………(5分)

………

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