北师大版小学六年级数学百分数：浓度问题(难题)

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六2班数学思维策略培训——分数应用题浓度问题

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将糖溶于水就得到了糖水，而糖水甜的程度是由什么决定的呢？我们不妨来做一个小实验：在两只同样大小的杯子中放入相同量的水，再往两只杯子中分别放入白糖，使其中一只杯子中的糖是另一只杯子中的糖的2倍，品尝一下，有什么感觉.我们很容易发现，放糖多的杯子中的水甜.若将等量的糖放入两只杯子中，在两只杯子中放入不等量的水，比如一只杯子中放入的水的量是另一只杯子中放入水的量的2倍，这时结果会怎样呢？不难想象到放水少的杯子中的糖水甜.通过上面的小实验我们可以知道，糖水甜的程度是由糖与糖水二者重量的比值决定的.糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度（也叫含糖率）.这个比值一般我们将它写成百分数，所以称为百分比浓度.其中糖叫溶质，水叫做溶剂，糖水叫溶液，这三者的关系如下：

溶液的重量=溶质的重量+溶剂的重量浓度=溶质重量÷溶液重量

溶液重量=溶质重量÷浓度溶质重量=溶液重量×浓度

有关浓度的问题，在我们的日常生活和生产实际中经常会遇到.在这部分内容里我们对有关浓度的问题做一些初步的探讨。

例1 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？

例2 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8％的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40％的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？

例3 现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？

例4 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？

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例5 在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，再加入多少千克酒精，浓度变为50％？

例6、现有浓度为20％的糖水20千克，要得到浓度为10％的糖水，需加水多少千克？

例7、要配制浓度为20％的盐水1000克，需浓度为10％和浓度为30％的盐水各多少克？

例8、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是多少？

例9、在浓度为20％的盐水中加入10千克水，浓度变为15％，再加入多少千克盐，浓度变为25％？

例10、甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？

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例1 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？

分析与解由于加水前后容器中所含有的糖的重量并没有改变，所以我们只需将加水前后容器中所含糖的重量表示出来，即可计算出结果。

设容器中原有糖水x千克，则有

X·25％=（X＋20）·15％

x=30

∴容器中糖水含糖的重量为：

30×25％=7.5（千克）

答：容器中原来含糖7.5千克。

上述解法中，我们是以容器中原有糖水重量做为题设，设立未知数的，而没有直接以题中提出的问题作为题设，这叫设间接未知数，这种方法在解题中常常用到。

这个问题也可以设直接未知数来解。

设容器内原含有糖x千克，则加水前容器内溶液的重量为x÷25％。

加水后容器内溶液的重量为：x÷15％。

由于加水后容器内溶液的重量比加水前多20千克，所以有

x÷15％-x÷25％=20

解得 X=7.5

答：容器内原含糖7.5千克。

例2 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8％的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40％的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？

分析与解由题意知，从甲、乙两容器中各取出一定量的溶液放入对方容器中，最终要达到两容器中溶液的浓度相等，在这个变化过程中，两容器中溶液的重量并没有改变。

不妨设从甲、乙两容器中各取出硫酸溶液x千克放入对方容器中，可使甲、乙两容器中硫酸溶液的浓度相等.这时甲容器中硫酸的重量可表示为（600-x）×8％＋x·40％=48

＋32％·x.甲容器中溶液的浓

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4 乙容器中硫酸的重量为（400-x ）·40％＋x ·8％=160-32％·x ，

根据题意列方程得：

x=240（千克） 答：应从两容器中各取出240千克溶液放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度相同。

上述问题还可以这样考虑：

由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量：

甲容器中纯硫酸的重量为600×8％=48（千克）；

乙容器中纯硫酸的重量为400×40％=160（千克）；

两容器中纯硫酸的重量和为48＋160=208千克，硫酸溶液的重量和为600＋400=1000千克。

两容器中溶液混合后浓度为208÷1000=20.8％。

所以应交换的硫酸溶液的量为：

（600×20.8％-600×8％）÷（40％-8％）=240（千克）

答：应从两容器中各取出240千克放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度一样。

例3 现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？

分析与解 这是一个溶液混合问题，混合前后溶液的浓度改变了，但是总体上溶质及溶液的总重量没有改变，即有：

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混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中溶质的量。

20千克浓度为10％的盐水中含盐的量为：

20×10％=2（千克）

混合后溶液的浓度为22％，此时20千克溶液中含盐的量为：

20×22％=4.4（千克）

所以需要加入浓度为30％的盐水溶液的重量为：

（20×22％-20×10％）÷（30％-22％）

=（4.4-2）÷8％

=2.4÷8％=30（千克）

答：需加入30千克浓度为30％的盐水才能得到浓度为22％的盐水。

这个问题也可以通过列方程来解：

设需加入浓度为30％的盐水x千克，依据混合前后溶质的量不变，列方程得：

20×10％＋30％·x=（20+x）·22％

解得： x=30（千克）

答：需加入浓度为30％的盐水30千克。

例4 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？

分析与解要想解决这个问题，我们不妨结合生活中的实际经历来考虑.当然，往盐水中加入一定量的盐就可以得到所需的盐水，那么除去这种办法外，还有没有其他的方法呢？如果将盐水放在炉子上煮一会，你再品尝一下会有什么感觉呢？我们会发现盐水变咸了.由此我们得到一个启发，如果将盐水中的水蒸发掉一部分，同样可以达到将盐水的浓度改变为20％的目的。

若采用加盐的方法：

由于加盐前后，溶液中所含水的量没有改变，我们利用溶液等于溶剂的量除以溶剂在溶液中的百分比即可计算出加盐后溶液的重量，加盐后与加盐前溶液重量的差值就是所加入的盐的重量。

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加盐前，溶液的浓度是10％，所以溶液中溶剂（水）所占的百分比为1—10％=90％，所以溶液中水的重量为：

8×90％=7.2（千克）。

加盐后，溶液的浓度是20％，所以这时溶液的重量是

7.2÷（1-20％）=9（千克）.

所以加入的盐的重量为：

9-8=1（千克）

即需要加入1千克盐，就能得到浓度为20％的盐水。

若采用蒸发的方法：

由于蒸发前后溶液中所含盐的重量不变，依据溶液的量=溶质的量÷浓度，即可计算出蒸发后溶液的量，蒸发前后溶液重量的差值就是蒸发掉的水的重量。

8千克浓度为10％的盐水中所含盐的重量为：

8×10％=0.8（千克）

所以蒸发掉一部分水后溶液的重量为：

0.8÷20％=4（千克）

所以蒸发掉的水的重量为：

8-4=4（千克）

即需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。

例5 在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，再加入多少千克酒精，浓度变为50％？

分析与解第一次是往浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％.在这个过程中，溶液中纯酒精的量不变，我们只要计算出5千克浓度为30％的酒精溶液中所含纯酒精的量，用这个量去除以加水前后溶液浓度的差值，即可计算出原有酒精溶液的量。

5×30％÷（40％-30％）=15（千克）

即原有浓度为40％的酒精溶液15千克。

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第二次加入的是酒精，加入酒精之前，溶液的重量是15＋5=20（千克），加入酒精前后，溶液中所含水的量不变。

加酒精前溶液中所含水的重量为：

20×（1-30％）=14（千克）

所以加入酒精后溶液的重量为：

14÷（1-50％）=28（千克）

所以需加入的酒精的重量为

28-20=8（千克）

即再加入8千克酒精，溶液浓度变为50％。

练习五

1.现有浓度为20％的糖水20千克，要得到浓度为10％的糖水，需加水多少千克？

2.要配制浓度为20％的盐水1000克，需浓度为10％和浓度为30％的盐水各多少克？

3.一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满，这时容器内的溶液的浓度是多少？

4.在浓度为20％的盐水中加入10千克水，浓度变为15％，再加入多少千克盐，浓度变为25％？

5.甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？

练习五

1.20千克

由于加水前后溶液中含糖的重量不变，依据溶液的重量=溶质重量÷浓度可计算出加水后溶液的重量，加水前后溶液重量的差就是所加入的水的重量。

20千克浓度为20％的糖水中所含糖的重量为：20×20％=4（千克）

所以加水后溶液的重量为：

4÷10％=40（千克）

所以应加入的水的重量为：

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8 40-20=20（千克）

2.各 500克。

设需浓度为10％的盐水x 克，则需浓度为30％的盐水（1000-X ）克，列方程得： x ·10％+（1000-x ）·30％

=1000×20％

解得:x=500（克）

∴ 1000-x=1000-500=500（克）。

3. 37.5%。

第二次倒出的纯酒精为：

所以两次共倒出纯酒精为：

2.5＋

3.75=6.25（升）

此时容器内的溶液浓度为：

（10-6.25）÷10=37.5％

第一次加入10千克水，盐水的浓度由20％变为15％，在这个过程中盐的量没有改变。 所以原有浓度为20％的盐水的重量为：

10×15％÷（20％-15％）=30（千克）

第二次加入盐后，溶液的浓度变为25％，在这个过程中溶液中水的量没有改变，所以加盐后溶液的重量为：

所以加入的盐的重量为：

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5.甲种5升，乙种2升。

利用浓度×溶液=溶质和混合前后溶质的量不变找等量关系。

设需甲种溶液x升，则需乙种溶液（7-x）升，x升甲溶液中酒精-（7-x）升乙溶液中酒精=混合后7升溶液中酒精，列方程：

解得：X=5（升）

∴ 7-X=2（升）

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