七年级数学(上册)一元一次方程应用题专题讲解(超全超详细)

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七年级上册应用题专题讲解

列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。

一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)

(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系).

(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.

(3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.

(4)解—解方程:解所列的方程,求出未知数的值.

(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集:行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题),等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题,数字问题,

方案设计与成本分析 ,古典数学

(一)和、差、倍、分问题——读题分析法

这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套……”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.

1.倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。

2.多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量

例1.某单位今年为灾区捐款2万5千元,比去年的2倍还多1000元,去年该单位为灾区捐款多少元?

解:设去年该单位为灾区捐款x元,则

2x+1000=25000 2x=24000 x=12000

答:去年该单位为灾区捐款12000元.

例2.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?

解:设油箱里原有汽油x公斤,则

x-[25%x+40%×(1-25%)x]+1=25%x+40%×(1-25%)x 即

10%x=1 x=10

答:油箱里原有汽油10公斤.

(二)等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为:原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.

2①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h=?rh

②长方体的体积 V=长×宽×高=abc

例3.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米,可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴多少根?

解:设可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴x根,则 3.14×(0.4?2)2×3x=3.14×(0.8?2)2×30

0.12x=4.8

x=40

答:可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴40根。

(三)数字问题

1.要搞清楚数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9),则这个三位数表示为:100a+10b+c.

2.数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n-2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。

例4.有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。

解:设原数百位数为x,则十位数为10(x+1),个位数为2x ,于是 100× 2x +10×(x+1)+x+49=2×[100x+10(x+1)+2x] 即 211x+59=224x+20 13x=39 x=3 故原数为:100×2+10×4+2×3=246 答:原数为246.

例5.一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数 是十

位上的数的3倍,求这个三位数.

[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,等量关系为三个数位上的数字和为17。

解:设这个三位数十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,则

x+x+7+3x=17 解得 x=2 x+7=9,3x=6 答:这个三位数是926。

(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)

(1)销售问题中常出现的量有:进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等。 (2)利润问题常用等量关系:

商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价

商品利润率?商品利润商品售价-商品进价?100%??100%

商品进价商品进价 (3)商品销售额=商品销售价×商品销售量

商品的销售利润=(销售价-成本价)× 销售量

(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.即商品售价=商品标价×折扣率.

例6:一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获 利15元,这种服装每件的进价是多少?

[分析]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为x元, 进价 x元 折扣率 8折 标价 (1+40%)X元 优惠价 80%(1+40%)X 利润 15元 等量关系:(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15 解:设这种服装每件的进价为x元,则 80%x(1+40%)—x=15, 解得x=125 答:这种服装每件的进价是125元。

例6*:某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,

但要保持利润率不低于5%,则至多打几折? 解:设至多打x折,则根据题意有

1200x?800×100%=5%

800 解得 x=0.7=70% 答:至多打7折出售.

(五)行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取

得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.

1.行程问题中的三个基本量及其关系:

路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间

2.行程问题基本类型

(1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距

(3)航行问题: 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度

逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2

(4)环路问题 甲乙同时同地背向而行:甲路程—乙路程=环路一周的距离 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程.

常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。

例7:甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。

(1)慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?

(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车? (5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢

车? (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。)

甲乙同时同地同向而行:快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离

解析:(1)分析:相遇问题,画图表示为:

甲 乙 等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480公里。 解:设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480 解这个方程,230x=390

16 x?1,

2316 答:快车开出1小时两车相遇

600 23 (2)分析:相背而行,画图表示为:

甲 乙 等量关系是:两车所走的路程和+480公里=600公里。

解:设x小时后两车相距600公里,

由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120 ∴ x= 答:

12 2312小时后两车相距600公里。 23 (3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。

解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600 50x=120 ∴ x=2.4

答:2.4小时后两车相距600公里。

(4)分析:追及问题,画图表示为:

等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。

甲 乙 解:设x小时后快车追上慢车。

由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴ x=9.6 答:9.6小时后快车追上慢车。

(5)分析:追及问题,等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解:设快车开出x小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴ x=11.4 答:快车开出11.4小时后追上慢车。

例8:一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流的速度

为2千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。

解:设甲、乙两码头之间的距离为x千米,则

xx??4 45 x=80

答:甲、乙两码头之间的距离为80千米.

(六)工程问题

1.工程问题中的三个量及其关系为:

工作总量工作总量工作时间?工作时间 工作效率

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率?2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作

量的和=总工作量=1.

工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量.

例9:将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?

解:设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.

1111×+(+)x=1 626411 解这个方程,得x=

511 =2小时12分

5 根据题意,得

答:甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.

例10:一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?

[分析]等量关系为:甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 解:设打开丙管后x小时可注满水池, 则 由题意得,(?)(x?2)?1618x304?1解这个方程得x??2 91313

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