大一第一学期期末高等数学（上）试题及答案

第一学期期末高等数学试卷

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)

2、(本小题5分)

x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4

xdx.22(1?x)

1x

求?3、(本小题5分)

x??求极限limarctanx?arcsin4、(本小题5分)

求?5、(本小题5分)

xdx.1?x

6、(本小题5分) 7、(本小题5分)

d求dx?x201?t2dt．

求?cot6x?csc4xdx.

求?2?1?8、(本小题5分)

11cosdx．xx2

9、(本小题5分)

30t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint

求?x1?xdx．10、(本小题5分)

求函数　y?4?2x?x2的单调区间11、(本小题5分)

Y

sinxdx．28?sinx

12、(本小题5分)

求?13、(本小题5分)

?20设　x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．

设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求14、(本小题5分) 15、(本小题5分)

dy．dx

求函数y?2ex?e?x的极值

16、(本小题5分)

(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)

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求?二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

cos2xdx.1?sinxcosx

2、(本小题7分)

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.

三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)

2、(本小题3分)

3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12

6x　　　?limx?212x?18

　?2

3、(本小题3分)

x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2 11???c.21?x2 因为arctanx??2而limarcsinx??1?0x

故limarctanx?arcsinx??4、(本小题3分)

1?0x

5、(本小题3分)

x?1?xdx

1?x?1???dx1?x

dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c.

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d求dx?x201?t2dt．

6、(本小题4分)

原式?2x1?x4

64cotx?cscxdx????cot6x(1?cot2x)d(cotx)7、(本小题4分)

11??cot7x?cot9x?c.79 求?2?1?11cosdx．2xx 211?原式???1cosd()xx ?

??1 8、(本小题4分)

1??sinx2??1

t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint

2tdye(2sint?cost)解：　　?tdxe(cost2?2tsint2)

9、(本小题4分)

30et(2sint?cost)　　　　　?(cost2?2tsint2)

求?x1?xdx．

令　1?x?u

原式?2?(u4?u2)du12

10、(本小题5分)

uu2?)153 116?15

?2(求函数　y?4?2x?x2的单调区间

53解：函数定义域(??,??)

y??2?2x?2(1?x)当x?1，y??0

当x?1，　y??0函数单调增区间为???,1?11、(本小题5分)

?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为求??20sinxdx．28?sinx

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?原式???20dcosx9?cos2x

?12、(本小题6分)

13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6

设　x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．

解：dx?x?(t)dt

13、(本小题6分)

　?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt 设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx

2yy??2y??6x5y

14、(本小题6分)

3yx5y??2y?1

求函数y?2ex?e?x的极值

解：定义域(??，??),且连续

1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22

由于y???2ex?e?x?0

11故函数有极小值,,y(ln)?2222

15、(本小题8分)

16、(本小题10分)

(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)

1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2xxxx原式?limx??11(10?)(11?)xx

10?11?21?6?10?117? 2

解:?cos2xcos2xdx??dx1?sinxcosx11?sin2x2

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二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)

d(1sin2x?1)2??1?1sin2x2 1?ln1?sin2x?c2

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

设晒谷场宽为x,则长为L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题8分)

512　　(x?0)x 512L??2?2　　　唯一驻点　x?16x 1024L???3?0　　　即x?16为极小值点x

512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

x2x3解:　?,8x2?2x3　x1?0,x1?4.28

244?x4xx32?x62Vx????()?()?dx???(?)dx008?464 ?2

11117??(?x5??x)456470

11512??44(?)??5735

4三、解答下列各题

( 本 大 题10分 )

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根. 证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0

则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在

?1?(0,1),?2?(1,2),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程,它至多有三个实根,

由上述f?(x)有且仅有三个实根

高等数学（上）试题及答案

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