文刀川页丛书压轴题学习讲义（点的存在性问题）

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压轴题学习讲义

—点的存在性问题

1.（江津市）26.如图，抛物线y??x2?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代y??x2?bx?c中

BAC??1?b?c＝0?b??2得? ∴?

?9?3b?c?0c?3??∴抛物线解析式为：y??x2?2x?3

(2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x??1对称 ∴直线BC与x??1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵y??x2?2x?3， ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：y?x?3 Q点坐标即为??x??1的解

?y?x?3∴? ?x??1∴Q(－1，2) y?2?yCQBOAxBPyCAxEO(2)(3) 我们共同努力！

1

?

（3）答：存在。理由如下：

设P点(x，?x2?2x?3) (?3?x?0) ∵S?BPC?S四边形BPCO?S?BOC?S四边形BPCO?若S四边形BPCO有最大值，则S?BPC就最大，

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9 211BE?PE?OE(PE?OC) 221133292722＝(x?3)(?x?2x?3)?(?x)(?x?2x?3?3)＝?(x?)?? 2222283927当x??时，S四边形BPCO最大值＝?

228927927?? ∴S?BPC最大＝?

28283153152 )) 当x??时，?x?2x?3?∴点P坐标为(?，2424∴S四边形BPCO＝SRt?BPE?S直角梯形PEOC ?22. （宁德市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

我们共同努力！

2

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C1 y M A O P B x 文刀川页丛书

C1 y N A O P 图2 图（2）

B Q E F x C2 C3 C4 图1 图（1）

解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得顶点P的为（-2，-5）

2C1 C1 A y H O P 图(1) B G x P M A y N H B Q G E O K F x C2 C3 C4 图(2) 5

∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5 解得，a＝

9（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG ∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 ∴顶点M的坐标为（4，5）

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到 ∴抛物线C3的表达式为y??5?x?4?2?5 9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到 ∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5） 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K ∵旋转中心Q在x轴上 ∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）， 根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

我们共同努力！

3

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PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34

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4419

①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33102

②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o 综上所得，当Q点坐标为（直角三角形．

3. （莆田市）25．（14分）已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?192

，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是33

12x上的两点A、B的横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B4分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF?DF； （3）点P是抛物线y?12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴4于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

F A O D l C E （图1）

x y B F O C E 备用图

（第25题图）

（1） 解:方法一，如图1，当x??1时,y?当x?4时,y?4

D x y 1

； 4

y B F A O C E 1??∴A??1，? B?4，4?

4??设直线AB的解析式为y?kx?b

D l x （图1）

我们共同努力！

4

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13???k?b?k?3??ABy?x?1 则? 解得 ∴直线的解析式为44?4???4k?b?4?b?1当x?0时,y?1 ?F?01，?

方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作

y B F A O C E G H M FG?BD,AH?BD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO?x

?△BGF∽△BHA

D l x （图2）

?BGFG4?x4? ?? 解得x?1

15BHAH4?4?F?0，1?

(2)证明：方法一：在Rt△CEF中，CE?1,EF?2

?CF2?CE2?EF2?12?22?5 ?CF?5 22222在Rt△DEF中，DE?4，EF?2 ?DF?DE?EF?4?2?20

?DF?25

由（1）得C??1，?1?，D?4，?1? ?CD?5 ?CD?5?25

22?CF2?DF2?CD2 ??CFD?90° ?CF⊥DF

55?3?方法二：由 （1）知AF?1????，AC?

44?4??AF?AC 同理：BF?BD ??ACF??AF C?AC∥EF ??ACF??CF O??AFC??CFO 同理：?BFD??OFD ??CFD??OFC??OFD?90°即CF⊥DF

（3）存在.

解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M

y P 2 F 我们共同努力！ O C E M l D 图3

5 Q x

?

PMOMPQPM?? ?PQOPOPOM文刀川页丛书

△OPM∽R△tOQ P又?PQ⊥OP ?Rt?设P?x，x2??x?0?，则PM???14??12x，OM?x 4①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

12xPQCF51PM41??? ?，?? 解得x?2 ?P? 1?21OPDF252OMx2②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，

12xPQDF25PM4???2 ?16??2 解得x?8 ?P2?8，? OPCFOMx5综上，存在点P，，?使得△OPQ与△CDF相似. ?、P2?8161?214. 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

我们共同努力！

6

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解：（1）Q（1，0）

点P运动速度每秒钟1个单位长度．

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（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．

在Rt△AFB中，AB?82?62?10

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH． ∴BH?AF?6,CH?BF?8． ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12． ∴所求C点的坐标为（14，12）．

（2） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴

APAMMPtAMMP． ?． ????ABAFBF1068AMFONQPHGxyDCBE3434 ∴AM?t，PM?t． ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t．

5555设△OPQ的面积为S（平方单位）

13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2（0≤t≤10）

251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

473<0 ∴当t??时， △OPQ的面积最大． ?36102?(?)104710 ∵a?? 此时P的坐标为（

9453，） ． 15105295（4） 当 t?或t?时， OP与PQ相等．

3135. （广州市）25.（本小题满分14分）

如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于

2 我们共同努力！

7

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（1）求该二次函数的关系式；

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5。 4A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=设A（a,0）,B(b,0) AB=b-a=

55,得AB= 42(a?b)2?4ab=2533，解得p=?,但p<0,所以p=?。 2223x?1 23112（2）令y=0，解方程得x?x?1?0，得x1??,x2?2,所以A(?,0),B(2,0),在直

222所以解析式为：y?x?角三角形AOC中可求得AC=

5,同样可求得BC=5,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC2555,所以??m?. 244是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=

（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设

3?2y?x?x?1?BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组?2??y??2x?4得D（?5,9） 2②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为

3?2y?x?x?11?y=0.5x+b，把 A(?,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组?得22??y?0.5x?0.25D(

53,) 22综上，所以存在两点：（?

553,9）或(,)。 222 我们共同努力！

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6. （梅州市）23．本题满分 11 分．

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1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直如图 12，已知直线L过点A(0，平分线交L于点Q，交x轴于点M．

（1）直接写出直线L的解析式；

（2）设OP?t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0?t?2y 时，S的最大值； L （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． 解：

（1）y?1?x

（2）∵OP?t，∴Q点的横坐标为①当0?A Q L1

O M P B 图12 x 1t， 2111?1?t?1，即0?t?2时，QM?1?t，∴S△OPQ?t?1?t?． 222?2?②当t≥2时，QM?1?1?111?t?t?1，∴S△OPQ?t?t?1?．

2?222??1?1?0?t?2，?2t?1?2t?，???∴S??

?1t?1t?1?，t≥2.?????2?2当0?11?1?11t?1，即0?t?2时，S?t?1?t???(t?1)2?， 22?2?441． 4∴当t?1时，S有最大值

（3）由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得

△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ?QC，所以OQ?QC，又L1∥x轴，，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)y 我们共同努力！ L A Q C 9 L1

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下证?PQC?90°．连CB，则四边形OACB是正方形． 法一：（i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上 （Q与B、C不重合）时，如图–1．

由对称性，得?BCQ??QOP，?QPO??QOP， ∴ ?QPB??QCB??QPB??QPO?180°， ∴ ?PQC?360°?(?QPB??QCB??PBC)?90°．

（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图–2，如图–3 ∵?QPB??QCB，?1??2， ∴?PQC??PBC?90°． （iii）当点Q与点B重合时，显然?PQC?90°． 综合（i）（ii）（iii），?PQC?90°．

，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． ∴在L1上存在点C(11)

法二：由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得

O y L A Q 2 1 y L C A L1 1 C L1 O x B P B 23题图-2 2 Q P x 23题图-3

QQ?C则P△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

，所以OQ?QC，又L1∥x轴，

，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)延长MQ与L1交于点N．

（i）如图–4，当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时， ∵四边形OACB是正方形，

∴四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，△AQN和△QBM都是等腰直角三角

我们共同努力！

10

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形．

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∴NC?MB?MQ，NQ?AN?OM，?QNC??QMB?90°． 又∵OM?MP， ∴MP?QN， ∴△QNC≌△QMP， ∴?MPQ??NQC，

y L A Q C L1

又∵?MQP??MPQ?90°，∴?MQP??NQC?90°． O ∴?CQP?90°

（ii）当点Q与点B重合时，显然?PQC?90°． （iii）Q在线段AB的延长线上时，如图–5，

∵?BCQ??MPQ，∠1=∠2 ∴?CQP??CBM?90° 综合（i）（ii）（iii），?PQC?90°．

P B 23题图-1 x ，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． ∴在L1上存在点C(11)

y L A Q O O M P B 23题图-4 x N C L1

1 y L A C L1 B 2 Q P x 23题图-5

法三：由OA?OB?1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得则PQ?QC，所以OQ?QC，又L1∥x轴， △CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

，． 则C，O两点关于直线L对称，所以AC?OA?1，得C(11)连PC，∵PB?|1?t|，OM?1tt，MQ?1?， 222∴PC?PB?BC?(1?t)?1?t?2t?2，

2222 我们共同努力！

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?

2文刀川页丛书

22?t??t?t22222OQ?OP?CQ?OM?MQ?????1????t?1．

2?2??2?∴PC2?OP2?QC2，∴?CQP?90°．

∴在L1上存在点C(11)，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 7. （湛江市）28．已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，

O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将 △POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，

得到△PFD，使得直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP?x，AD?y，当x为何值时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标

C

O 图①

第28题图

P A x O P 图②

A x F D y E B y C F E D B △PAD均为等腰直角三角形， 解：（1）由题意知，△POC、0)C(0，、3)D(41)，设过此三点的抛物线为y?ax?bx?c(a?0)，可得P(3，、

2 我们共同努力！

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1?a??2?c?3?5??则?9a?3b?c?0??b??

2?16a?4b?c?1?? ??c?3?文刀川页丛书

?过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y?125x?x?3 22（2）由已知PC平分?OPE，PD平分?APF，且PE、PF重合，则?CPD?90°

??OPC??APD?90°，又?APD??ADP?90° ??OPC??ADP． ?Rt△POC∽R△tDA．P

?OPOC?，ADAP

即

11414x3?y?x(4?x)??x2?x??(x?2)2?(0?x?4) ?33333y4?x当x?2时，y有最大值． （3）假设存在，分两种情况讨论：

①当?DPQ?90°时，由题意可知?DPC?90°，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）

②当?DPQ?90°时，过点D作平行于PC的直线DQ， 假设直线DQ交抛物线于另一点Q，

430)C(0，3)， ?点P(3，、y Q ?直线PC的方程为y??x?3，

将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合， ?直线DQ的方程为y??x?5

?y??x?5?x??1?x?4?由?得?或? 125y?6y?1y?x?x?3????22，，?Q(?1，．6) 又点D(41)C （Q） E B F D x O P A 第28题图

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8. （来宾市）26．（本小题满分12分）

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3)(?1，6)满足条件． 故该抛物线上存在两点Q(0，、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．

（1）求该抛物线的关系式；

（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小； （3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

解：（1）由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)2－1

y 3 C E D F O B A x 因为点C（0，3）在抛物线上 所以3＝a(0－2)2－1，即a＝1 所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3 （2）∵点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上 ∴y1－y2＝（x－4 x＋3）－[(x＋1)－4(x＋1)＋3]＝3－2 x

2

2

3当3－2 x＞0，即x?时，y1＞y2

23当3－2 x＝0，即x?时，y1＝y2

23当3－2 x＜0，即x?时，y1＜y2

2（第26题图）

（3）令y＝0，即x2－4 x＋3＝0，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（直线AC的函数关系式为y＝－x＋3

33,） 22因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．

①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y?3 2由x?4x?3?234?104?10?3（舍去） ，解得x?，x?222

我们共同努力！

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?

将x?文刀川页丛书

4?104?102?10代入y＝－x＋3，得点E（，） 222②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．

解x2－4 x＋3＝x，得x?5?135?13，x??3（舍去） 22

将x?5?135?131?13代入y＝－x＋3，得点E（，）

222y 3 C F O B E D F A x O B A x y 3 C E D （第26题图⑴）

（第26题图⑵）

9.（崇左市）25．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标

2)，点C(?1，0)， 轴上，且点A(0，2y?ax?ax?2经过点B． 如图所示：抛物线

y A （0，2） B （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使

（－1，0） C △ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存

在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（第25题）

x

解：（1）过点B作BD?x轴，垂足为D，

??BCD??ACO?90°，?ACO??CAO?90° ??BCD??CAO；

；CB?AC， 又??BDC??COA?90°?△BCD≌△CAO， ?BD?OC?1，CD?OA?2 3分

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?

，； ?点B的坐标为(?31)2文刀川页丛书

，，则得到1?9a?3a?2， （2）抛物线y?ax?ax?2经过点B(?31)解得

a?111y?x2?x?22，所以抛物线的解析式为22；

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；

?BC，得到等腰直角三角形△ACP1，使得PC11， 则延长BC至点P?x轴， 11作PM过点P?CP，?PMC??BDC?90°；?△MPC1?BC，?MCP1??BCD11≌△DBC ?CM?CD?2，PM?BD?1，可求得点P(1，-1)； 11②若以点A为直角顶点；

2?AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 2?CA，且使得AP则过点A作APCAO； 2N?y轴，同理可证△AP2N≌△2作P过点P?NP，AN?OC?1，可求得点P2(2，1)； 2?OA?21)都在抛物线，?1)与点P2(2，1(1经检验，点P

10. （河池市）26． (本小题满分12分)

如图12，已知抛物线y?x2?4x?3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，?抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（?1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上A 是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请图说明理由．

E B O D C y?121x?x?222上． yx 我们共同努力！

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?

解：（1）① 对称轴x??2文刀川页丛书

4??2 2当y?0时，有x?4x?3?0

解之，得 x1??1x2??3 ∴ 点A的坐标为（?3，0）．

（2）满足条件的点P有3个，分别为（?2，3），（2，3），（?4，?3）． （3）存在．

当x?0时，y?x2?4x?3?3 ∴ 点C的坐标为（0，3） ∵ DE∥y轴，AO?3，EO?2，AE?1，CO?3 ∴ △AED∽△AOC ∴ ∴ DE?1∴ S梯形DEOC?AEDE1DE? 即 ? AOCO331?(1?3)?2?4 2414在OE上找点F，使OF?，此时S△COF???3?2，直线CF把四边形DEOC

323分成面积相等的两部分，交抛物线于点M．

设直线CM的解析式为y?kx?3，它经过点F??，0?．则?解之，得 k??4?3??4k?3?0 39 49x?3 4∴ 直线CM的解析式为 y?

我们共同努力！

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