2019年中考数学一轮复习导学案

数学精品复习资料

中考数学一轮复习导学案

第一章 数与式

§1.1 实数的运算（1）

一、知识要点

有理数，相反数，倒数，绝对值，数轴，无理数，实数及大小比较，实数的分类． 二、课前演练

1．-5的相反数是 ；若a的倒数是-3，则a= .

2．某药品说明书上标明保存温度是(20±2)℃，请你写出一个适合药品保存的温度 ℃. 3. 小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（ ） A．4℃ B．9℃ C．-1℃ D．-9℃ 4．在3.14，7，π和9这四个实数中，无理数是（ ） A．3.14和7 三、例题分析

例1 (1)将(-5)、(-3)、(-cos30°)，这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是___________________________．

(2)已知数轴上有A、B两点，且这两点之间的距离为42，若点A在数轴上表示的数为32， 则点B在数轴上表示的数为 ．

例2 (1) 如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）

A B a -1 0 b 1

(2)有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于（ ）

A．2 B．8 C．32 D．22 A．ab＞0 B．a-b＞0 C．a+b＞0 D．|a|-|b|＞0

0

3

-2

B．π和9 C．7和9 D．π和7

四、巩固练习

??π22373

1．把下列各数分别填入相应的集合里：8，3，－3.14159，，，-2，-，0，-0.02，

378

1.414，-7，1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)．

（1）正有理数集合：{ …}； （2）有理数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}； （4）实数集合：{ …}．

2．（2011陕西）计算：|3-2| = （结果保留根号）． 3．设a为实数，则| a | - a的值 ( )

A．可以是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．正数、负数均可

4．(2011贵阳)如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A．2.5 B．22 C．3 D．5

-1CA12B35．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： O

361014916 1图1图2

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．15 B．25 C．55 D．1225

1

6. (2011玉林)一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次

2

111111

倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，

233445

按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（ ） 10111A．升 B．升 C．升 D．升 1191011

草堰初中数学组

§1.2 实数的运算（2）

一、知识要点

平方根，算术平方根，立方根，乘方运算，开方运算，科学记数法，实数的运算． 二、课前演练

1．(2011玉林)近似数0.618有__________个有效数字．

2．（2012钦州）黄岩岛是我国的固有领土，中菲黄岩岛事件成了各大新闻网站的热点话题． 某天，小芳在“百度”搜索引擎中输入“黄岩岛事件最新进展”，能搜索到相关结果约7050000个，7050000这个数用科学记数法表示为（ ） A．7.05×105

B．7.05×106

C．0.705×106

D．0.705×10 7

3. 设a=19-1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和54 1-1-10

4．计算：(1)18+2-6sin60°； (2)8+(2010-3)-()．

2

三、例题分析

11-130

例1 计算：(1) 2×(-5)+2-3÷； (2) |-2|+()-2cos60°+(3-2π)；

22

0-10

(3) |-2|-2sin30°+ 4+(2-π)； (4) 2+ 3cos30°+|-5|-(π-2011)．

例2 (1) 已知b＝a3＋2c，其中b的算术平方根为19，c的平方根是±3，求a的值．

?ab(a＞b，a≠0)-31

(2)（2011孝感）对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=?-b ，例如2☆3=2=，

8?a(a≤b，a≠0)

计算[2☆(-4)]×[(-4)☆(-2)]的值．

四、巩固练习

1．已知a、b为实数，则下列命题中，正确的是 ( )

A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b，则a2＞b2 D．若3a＞3，则a2＜b2

2．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下:

a+b 3+2 a*b=(a+b＞0),如：3*2==5，那么6*（5*4）= .

a-b3-23．计算：(1)2-1

+(π-3.14)0

+sin60°-|-cos30°|;

(2) -(-19)-3

1

-2

8×(3

)- 8+|-4sin45°|.

4．已知9x2-16＝0，且x是负数，求32-3x的值．

5．设2＋7的小数部分是a，求a(a＋2)的值．

6．已知a、b、c满足|a-2|+b-3+(c-4)2

=0，求a2+b2-4+2c的值．

§1.3 幂的运算性质、整式的运算、因式分解一、知识要点

草堰初中数学组

幂的运算，整式的运算，乘法公式，因式分解． 二、课前演练

1．计算(x+2)2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（ ）

A．－2

B．2 C．－4 D．4

2．下列等式一定成立的是（ ）

A．a+a=a

2

3

5

B．(a+b)=a+b C．(2ab)=6ab D．(x-a)(x-b)=x-(a+b)x+ab

22223362

3．计算：2x3·(－3x)2＝ ．

1232

4．（1）分解因式：-a+ab- ab= ．

4 （2）计算：2000－1999×2001= . 三、例题分析

例1 分解因式：

（1）m2n(m-n)2-4mn(n-m)； （2）(x+y)2+64-16(x+y)； （3）(x+y)-4xy；

2

22

22

2

2322322232

例2 (1) 计算：①[-(a)]·(ab)·(-2ab)； ②(-3xy)+(2xy)÷(-2xy)；

③(a-1)(a-2a+3)； ④(x＋1)+2(1－x)－x．

(2)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a＝2，b＝1．

四、巩固练习

13mn2

1．已知两个单项式ab与-3ab是同类项，则m-n= ．

2

2．若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是（ ）

2

2

2

A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．z+x-2y=0 3．因式分解：

3232222

(1) a－6ab＋9ab； (2) 2x-8xy+8xy； (3)-4(x-2y)+9(x+y)；

4．化简：

（1）-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n)； （2）3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2)．

5．（2011大庆）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a+ab+bc=b+ab+ac， 判断△ABC的形状．

6．（1）计算．

①(a－1)(a＋1)； ②(a－1)(a2＋a＋1)；

③(a－1)(a3＋a2＋a＋1)； ④(a－1)(a4＋a3＋a2＋a＋1)．

（2）根据（1）中的计算，你发现了什么规律？用字母表示出来．

（3）根据（2）中的结论，直接写出下题的结果：

①(a－1)(a9＋a8＋a7＋a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a＋1)＝ ； ②若(a－1)·M＝a15－1，则M＝ ； ③(a－b)(a5＋a4b＋a3b2＋a2b3＋ab4＋b5)＝ ；

④(2x－1)(16x4＋8x3＋4x2＋2x＋1)＝ ．

草堰初中数学组

3

2

2

3

2

2

§1.4 分式的运算

一、知识要点

分式的概念，分式有意义、无意义、值为0的条件，分式的基本性质，分式的运算． 二、课前演练

x

1．若使分式意义，则x的取值范围是（ ）

x-2 A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2

2x

2．若分式2的值为0，则（ ）

x+2x-3

D．x＜2

A．x=±3 B．x=3 C．x=-3 D．x取任意值

3．下列等式从左到右的变形正确的是（ ）

bb3bb?1bbmbab A．? B．? C．?2 D．?2

aaaa?1aamaaxy

4．把分式22中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）

x-y

1

A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的

2三、例题分析

a2-2a+1a2-1a2

例1 先化简，再求值. 2 - ÷ 其中a=2-2.

a+2aa+2a+1

21a

例2 先化简( + )÷2，然后选取一个合适的a值，代入求值．

a+2a-2a-4

四、巩固练习

1

1．当x 时，分式有意义．

3－x

x-3

2．已知分式2，当x＝2时，分式无意义，则a＝________；

x-5x+a当x＜6时，使分式无意义的x的值共有________个．

xyx-y

3．化简( - )÷的结果是( )

yxx1x+yx-y

A. B. C. D．y

yyy

4. 计算或化简： 2x111（1） -x -1 ； （2）2?(?)． x-1a?ba?ba?b2

x-22x

5．先化简，再求值：(1+ )÷2，并代入你喜欢且有意义的x的值．

x+2x-4

1a+3a-2a+12

6．先化简，再求值：-2·2 ，其中a满足a+2a-1=0．

a+1a-1a+4a+3

宝塔初中数学组

2

§1.5 二次根式

一、知识要点

二次根式的概念，二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，二次根式的加、减、乘、除运算. 二、课前演练

1. 使式子x-4 有意义的条件是 . 2. 计算：(48 - 327 )÷3 = . 3. 与a3b 不是同类二次根式的是（ ）

1aba

A. B. C. D.

b2ab

4. 下列式子中正确的是（ ）

A. 5 +2 =7 B. a2-b2 =a-b

6+8

C. ax -bx =(a-b)x D. =3+4=3+2

2三、例题分析

例1 计算：48 -54 ÷2+(3-3)(1+

11

例2 已知：a+=1+10，求a2+2的值.

aa

变式：已知：x-3x+1=0，求

四、巩固练习

1．若最简二次根式a?12a?5与3b?4a是同类二次根式，则a?______，b?_______. 2．已知22

b

a31

). 3

x2+

1

-2的值. x2?x?2??2?x，则x的取值范围是 .

20133．若a?b?1与a?2b?4互为相反数，则(a?b) =____________.

4．计算或化简：

（1）a8a?2a2

5. 计算或化简：

121． ?32a3； （2）?18?48a22?1（1）5ab?(?4a3b)(a?0,b?0)； （2）(7?43)(7?43)?(35?1)2 ；

（3）23?

112y

6. 先化简，再求值：( -)÷22 ，y=3-2 ． 2 ，其中x=3+x-yx+yx+2xy+y

宝塔初中数学组

1212?2； （4）(2?1)2009(2?1)2010． 432第二章 方程与不等式

§2.1 一元一次方程、二元一次方程（组）的解法

一、知识要点

一元一次方程的概念及解法，二元一次方程（组）及其解法，解方程组的基本思想． 二、课前演练

1．（2012重庆）已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

?x=2，?ax+by=7，

2．(2011枣庄)已知?是二元一次方程组?的解，则a-b= ．

?y=1?ax-by=1

x?y?33．（2012连云港）方程组?的解为 ． ??2x?y?6x?yx?y4．已知：??1，用含x的代数式表示y，得 ．

23三、例题分析

例1解下列方程（组）：

（1）3(x+1)-1=8x； （2）?

5m-17-m

例2（1）m为何值时，代数式2m- 的值比代数式的值大5？

32

?3x?2y?6．

?2x?3y?17?3x?y?1?3a （2）若方程组?的解满足x+y=0，求a的值．

?x?3y?1?a

四、巩固练习

?x=1，1．若?是关于x、y的方程ax-3y-1=0的解，则a的值为______．

?y=2.

2．已知(x-2)+|x-y-4|=0，则x+y= ．

3．定义运算“*”，其规则是a*b=a-b，由这个规则，方程(x+2)*5=0的解为 ． 4．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点(-4,-2)，

?y=ax+b，则方程组?的解是 ．

?y=kx

yy=kx2

2

-40-2xy=ax+b?x+y=5k，5．若关于x、y的方程组?的解也是方程2x+3y=6 的解，则k的值为（ ）

?x-y=9k

3344A．- B． C． D．-

4433

6．解下列方程（组）：

（1）2(x+3)-5(1-x)=3(x-1)； （2）

2x?12x?3??1； 34?x?y?8x?3y??1（3）（2012南京）? ； （4）． ??5x?2(x?y)??1??3x?2y?8

裴刘学校数学组

§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式

一、知识要点

一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）． 二、课前演练

1．(2011钦州)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）

2222

A．x+1=0 B．x-2x+1=0 C．x+x+2=0 D．x+2x-1=0

2．用配方法解方程x2-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）

A．(x-2)=2 B．(x+2)=2 C．(x-2)=-2 D．(x-2)=6

3．已知关于x的方程x?mx?5?0的一个根是5，那么m= ，另一根是 . 22

2

2

2

4．若关于x的一元二次方程kx-3x+2=0有实数根，则k的非负整数值是 . 三、例题分析

例1 解下列方程：

212

(1) 3(x+1)=; (2) 3(x-5)=2(x-5)；

3

(3) x+6x-7=0； (4) x-4x+1=0（配方法）．

例2 关于x的一元二次方程(k?4)x?2x?1?0 ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

(2)在（1）的条件下，自取一个整数k的值，再求此时方程的根.

四、巩固练习

1．下列方程中有实数根的是( )

1x222

A．x+2x+3＝0 B．x+1＝0 C．x+3x+1＝0 D．= x-1x-1

2

2．若关于x的方程(a-1)x-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜-2 3．若直角三角形的两条直角边a、b满足(a+b)(a+b+1)=12，则此直角三角形的斜边长

为 ．

4．阅读材料：若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则两根与方程系 数

bc

之间有如下关系：x1+x2=-，x1x2=．

aa

2

2

2

2

2

2

2

2

211

根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则+= ．

x1x2

5．解下列方程：

（1）(y+4)=4y ； （2）2x+1=3x（配方法）；

（3）2x(x-1)=x-1； （4）4x-(x-1)=0．

6．先阅读，然后回答问题：

解方程x2-|x|-2=0，可以按照这样的步骤进行：

(1)当x≥0时，原方程可化为x-x-2=0，解得x1=2，x2=-1（舍去）． (2)当x≤0时，原方程可化为x+x-2=0，解得x1=-2，x2=1（舍去）． 则原方程的根是_____________________． 仿照上例解方程：x-|x-1|-1=0．

裴刘学校数学组

2

22

2

2

2

2

2

§2.3 一元一次不等式（组）的解法

一、知识要点

不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及应用． 二、课前演练

1．用适当的不等号表示下列关系：(1)x的5倍大于x的3倍与9的差： ； (2)b-1是非负数： ； (3)x的绝对值与1的和不大于2： ．

2．已知a＞b，用“＜”或“＞”填空：

(1)a-3 b-3； (2)-3a -3b； (3)1-a 1-b； (4)m2a m2b(m≠0)．

3．(1)不等式-5x＜3的解集是 ； (2)不等式3x-1≤13的正整数解是 ；

2

(3)不等式x≤2.5的非负整数解是 ．

?x+1＞0，4．（2012江西）把不等式组?的解集在数轴上表示，正确的是（ ）

?x-1≤0

-101-101-101-101 A B C D 三、例题分析

??3x-7＜2(1-3x)，3x-1例1 解不等式组：?x-3，并把它的解集在数轴上表示出来． +1≤

?4?2

??3(2x-1)＜2x+8，x-1． 例2 已知不等式组：?3(x+1)

2+ ＞3- ?84?

(1)求此不等式组的整数解；

(2)若上述的整数解满足方程ax+6=x-2a, 求a的值.

四、巩固练习

1．(1)不等式-5x＜3的解集是_________；(2)不等式3x-1≤13的正整数解是 ； (3)不等式x≤2.5的非负整数解是 ．

?2x-1＜3，2. (2012苏州)不等式组?的解集是 ．

?1-x≥2

?x-1≤0，3．不等式组?的整数解是 ． ．．．?-2x＜3

yA-3Ox4．如图，直线y=kx+b过点A(-3，0)，则kx+b＞0的解集是_________．

?x+4＞3，5.(1) (2012温州)不等式组?的解集在数轴上可表示为（ ）

?x≤1

-101-101-101-101A B C D

(2)已知点P(1-m,2-n)，如果m＞1，n＜2，那么点P在第( )象限 A．一 B．二 C．三 D．四

??5x-12≤2(4x-3)，6．(1)解不等式组：?3x-1，并把它的解集在数轴上表示出来．

＜1??2

(2)若直线y=2x+m与y=-x-3m-1的交点在第四象限，求m的取值范围．

裴刘学校数学组

§2.4 不等式（组）的应用

一、知识要点

能够根据具体问题中的数量关系，建立不等式（组)模型解决实际问题． 二、课前演练

1．已知：y1=2x-5，y2=-2x+3．如果y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＜-2

2．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每题4个答案，其中只有一个正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应答对题（ ） A．18题 B．19题 C．20题 D．21题

3．某公司打算至多用1200元印刷广告单，已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3

元的印刷费，则该公司可印刷的广告单数量x（张）满足的不等式为_____________． 4．关于x的方程kx-1=2x的解为正实数，则 k的取值范围是_______________． 三、例题分析

例1 已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米．X |k |B| 1 . c|O |m

（1）若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？ （2）销售一套M型号时装可获利润45元，销售一套N型号时装可获利50元，请你设计一

个方案使利润P最大，并求出最大利润P．（用函数知识解决） .

例2（2010宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；

（2）据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元．该花农决

定在成本不超过30000元的前提下培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木株数的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？

四、巩固练习

1．若点P(4a-1，1-3a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围是_______． 2．有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，则这个两位数为_____________．

3．在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？

4. 某幼儿园在六一儿童节购买了一批牛奶．如果给每个小朋友分5盒，则剩下38盒，如果给每个小朋友分6盒，则最后小朋友不足5盒，但至少分得1盒．问：该幼儿园至少有多少名小朋友？最多有多少名小朋友．

5．某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克；生产一件B种产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，该化工厂现有的原料能否保证生产顺利进行？若能的话，有几种方案？请你设计出来．

6．（2011鄂州）今年我省干旱灾情严重，甲地需要抗旱用水15万吨，乙地需用水13万吨，现有A、B两水库各调出14万吨支援甲、乙两地抗旱，从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．

（1）设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表： 水 量 （万 吨 ） 调 出 地 甲 乙 总计 调 入 地 A x 14 B 14 总计 15 13 28 （2）设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．(调运量=调运水的重量×调运的距离)

芦沟中学数学组

§2.5 分式方程及其应用

一、知识要点

分式方程的概念及解法，增根的概念，分式方程的应用． 二、课前演练

21. 如果方程=3的解是x＝5，则a＝ ．

a(x-1)

13

2.（2012赤峰）解分式方程=的结果为（ ）

x-1(x-1)(x+2)

A．1 B．-1 C．-2 D．无解

23

3. 如果分式与的值相等，则x的值是（ ）

x-1x+3

A．9 B．7 C．5 D．3

3x

4. 已知方程=2-有增根，则这个增根一定是（ ）

x-33-x

A．2 B．3 C．4 D．5

三、例题分析

例1解下列方程：

2335

（1）(2011常州）=; （2）=；

x+2x-2x-1x+1

35x-216

（3）+=1； （4）-1=2．

2x-55-2xx+2x-4

例2某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？

四、巩固练习

x11

1. 方程+=的解是_______．

x-22-x2

2x-1

2.（2012白银）方程=0的解是 （ ）

x+1

A．x=±1 B．x=1 C．x=－1 D．x=0

m-1x

3. 若关于x的方程-=0有增根，则m的值是（ ）

x-1x-1 A．3 B．2 C．1 D．-1

4. 解下列方程：

314x

（1）（2011盐城） - = 2； （2）+＝0；

x-11-xx-12-x

x+145x-42x+51

（3） - 2=4； （4）=-．

x-1x-12x-43x-62

5.（2012锦州）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km.大部队先行，出发1小时后，由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部队的行进速度.

300300

6. 根据方程-=1，自编一道应用题，说明这个分式方程的实际意义，并解答.

x(1+20%)x

芦沟中学数学组

§2.6 方程（组）的应用

一、知识要点

一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的应用． 二、课前演练

1．有一个三位数，个位数字是x，十位数字是y，百位数字是z，则此三位数是____________． 2．家具厂生产一种餐桌，1m木材可做5张桌面或30条桌腿．现在有25 m木材，应生产桌面____张，生产桌腿_____条，使生产出来的桌面和桌腿恰好配套（一张桌面配4条桌腿）． 3．某电器进价为250元，按标价的9折出售，利润率为15.2﹪，则此电器标价是 元． 4．有一块长方形的铁皮，长为24cm，宽为18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使底面面积是原来的一半，则盒子的高为_________cm．

三、例题分析

例1（2012娄底）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元． 进价（元/个） 篮球 80 排球 50 3

3

售价（元/个） （1）购进篮球和排球各多少个？

95 60 （2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？

例2（2012乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． （1）求平均每次下调的百分率.

（2）小华准备到李伟处购买5吨蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元．

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

四、巩固练习

1．（2012莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为 万元．

2．（2012江苏南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．

3．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，这两个正方形面积之和的最小值为 cm．

4．（2012咸宁）某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需_____________ 元．

5．（2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵， 所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

2

6．（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加2千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少呢？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为了尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应该按原

售价的几折出售？

芦沟中学数学组

第三章 图形与证明

§3.1 平面图形的认识、三角形

一、知识要点

平面图形的认识（点、线、面、角有关概念，图形的平移，直线平行条件和性质）；三角形的有关概念. 二．课前演练

1

1．已知线段AB，反向延长AB到C，使AC=BC，D为AC中点，若CD=2cm，则AB= cm.

32．已知∠α的补角是130，则∠α= 度．

3．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成

的三角形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下图能说明∠1＞∠2的是( )

2 ) ) 0

1 1 ) 1 ) 2 B.

A.

2 ) 1 C.

) 2 D.

三、例题分析

例1 如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．

ABCED例2 （2012乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，?ABC的平分线与?ACD的平分线交于点A1，?A1BC的平分线与?A1CD的平分线交于点A2，…，?An?1BC的平分线与

?An?1CD的平分线交于点An. 设∠A＝?.

则（1）求?A1、∠A2的度数； （2）猜想?An= °.

四、巩固练习

1．如图，长方形网格中每个小长方形的长为2，宽为1，点A、B都在网格格点上，若点C

也在格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（ ） A．2

A B B．3

C．4 A D．5

BCDAA1A2ADECA1PDBCB（第1题图） （第2题图） （第3题图）

ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，2．如图，△

则∠CAP=_______°．

3．（2012盐城）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE

沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1=______ °． 4．（2012德州）不一定在三角形内部的线段是（ ）

A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线

5．如图，三角形纸片ABC中，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内. A（1）若∠A=65°，∠B=75°，∠1=20°，求∠2的度数．

2CB1（2）若∠C=n°，求∠1+∠2的度数．

6．如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试解答下列下列问题: (1)求证：∠P=90°．

(2)如图2，过上述点P任作一直线分别交AB、CD于点G、H，PG与PH有何关系，为什么? (3)如图3，以上述的点P为圆心作⊙P切AB于点M，则①EF、CD与⊙P有何位置关系？

说说你的理由．②若EM=5cm，EF=13cm，求⊙P的半径．

AEPFC图1BAEGBPHAEMBPFDC图2DCF图3D

沿河初中数学组

§3.2 全等三角形

一、知识要点

全等三角形性质及判定方法.

二、课前演练

1．如图1，AB=AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） ．．

A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠ADC=∠AEB D．DC=BE

2．如图2，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

C

AE M A

DCD E DEEDA B FFN 1BAB2CF C图1 图4图2 图3B

3．如图3，AB=DB，∠1=∠2，只需添加一个条件 ，就可得到△ABC≌△DBE． 4．如图4，AB=DC，AD=BC，点E、F在AC上，且AF=CE，若∠CEB=110°，∠BAC=30°， 则∠CDF= °． 三、例题分析

例1（2012漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE， ②BF=EC， ③∠B=∠E， ④∠1=∠2. 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论.组成一个真命题，并给予证明. 题设： ；结论______.（均填写序号） 证明：

例2（2012绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长的一半为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．

四、巩固练习

1．下列命题中，真命题是（ ）

A．周长相等的锐角三角形都全等； B．周长相等的直角三角形都全等； C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等 2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

A

O P B

（第2题图）

12ADBFCECFAPENBMDA E

AB （第3题图）

F C

CD（第4题图）

B3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是 .

4．如图，△ABC中，∠C =90，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．

5．如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，一块锐角为45°的直角

0

三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC． 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

6．（2012泰安）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG-GE=EA．

沿河初中数学组

2

2

2

E A D B C

BFHCGDEA§3.3 等腰三角形

一、知识要点

等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.

二、课前演练

A1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .

D2．如图1，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线， E分别交AB、AC于点D、E.

BC0

(1)若∠C=70，则∠CBE= °，∠BEC= °. (第2题图) (2)若BC=21cm，则△BCE的周长是 cm.

A

3. 如右图，在△ABC中，D，E分别是边AC、AB的中点，

E D 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )

A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC C B (第3题图) 4．如右图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离

相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是( ) CA．P为∠A、∠B两角平分线的交点

B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 PC．P为AC、AB两边上的高的交点

ABD．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 (第4题图) 三、例题分析

例1 如图，△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O.

EOAD（1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；

（2）若连接AO，并延长AO交BC于点F.你有哪些发现？请写出两条，

并就其中的一条发现写出你的发现过程. (由课本P29例2改编）

例2 (2011日照)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点， ∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

ABEDCM 四、巩固练习

1. 在△ABC中，∠C=90，AC的垂直平分线交AB于点D，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,AC=10,DC=6.则D到BC的距离为___ .

APDBC图1 图2

3．如图2，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABCD是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）

A． 1 B. 2 C. 3 D. 4

4．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）

B? A 360 (1) C

B? A 450 A 900 C

B? (3) C B? A 1080 (4) C

(2) A.(1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (2)(3) (4) D. (1)(3)(4)

5．(2011乐山)如图，在直角△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

ACD

EB6. 如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，求BC′的长.

C'ABDC沿河初中数学组

§3.4 直角三角形和勾股定理

一、 知识要点

直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 课前演练

1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB的度数 为__ ___?.

3．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）

B图1

OAA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A．5米 B．3米 C．(5+1)米 D．3 米

三、例题分析

例1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：

（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）

图2

122

例2 抛物线y=-x+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

22（1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明:△ABC为直角三角形；

（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求

出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

四、巩固练习

1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度．

12ABC3Cx4AB2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______．

(第1题图) (第3题图) (第4题图)

3．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．12

5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）.

6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长

颜单中学数学组

§3.5 等腰梯形

一、知识要点

梯形、等腰梯形的概念、性质和判定. 二、课前演练

1.〔2011福州〕梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1+S3 =4S2，则CD=（ ） A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB

2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90o,AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD= cm．

A

B

D C

3．（2012烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为 （4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为 .

4．（2012呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是 .

（第1题图） （第2题图） （第3题图）

三、例题分析

例1 （2012襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？

B E C A F D

请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

例2（2012杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边△ABE和等边△DCF，连接AF，DE． （1）求证：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和

等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

四、巩固练习

1．（2012无锡）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5, BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形 ABED的周长等于 .

2.（2012北海）如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO:CO=2:3，AD=4，则BC= .

3. (2012巴中)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，E是BC的中点，且DE∥AB， 则∠BCD=_______°.

AOBDA D AEDCB E C

BC（第2题图） （第3题图） （第4题图）

4．（2012台湾）如图，梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E点在CD上，且DE:EC=1:4． 若AB=5，BC=4，AD=8，则四边形ABCE的面积是___________. 5．（2011黄石）已知梯形ABCDABCD的四个顶点的坐标分别为A(?1,0)，B(5,0)，C(2,2)，

D(0,2)，直线y?kx?2将梯形分成面积相等的两部分，求k的值。

6．（2012义乌）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x

轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其 左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形， 则：（1）当AB为梯形的底时，求点P横坐标； （2）当AB为梯形的腰时，求点P的横坐标.

颜单中学数学组

§3.6 三角形、梯形中位线

一、知识要点

三角形、梯形的中位线定理. 二、课前演练

1．三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。 2．一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是 。

3．若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。 4．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为（ ） A．4cm B．42cm C．8cm D．82cm 三、例题分析

例1 （2011呼伦贝尔）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O， E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？

并证明你的结论.

例2 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点F是BC的中点，

ABP⊥AD于D，AC=12，AB=8，求PF的长．

四、巩固练习

1．若等腰梯形的腰长是5cm，中位线是6cm，则它的周长是 cm 2．若梯形的一底长是14cm，中位线长是16cm，则另一底长为 cm.

3．连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线（ ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分 4．如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF 交BD于O点，若FO-EO=3，则BC-AD等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．10

A E B BFGCODAEPCFDBD O F C

5．已知：如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点. 求证：EF=DG，且EF∥DG.

A

6．已知：在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F、分别为AB、 DFBHECBC、CA的中点．四边形EFDH是等腰梯形吗？为什么？

颜单中学数学组

§3.7 平行四边形（1）

一、知识要点

平行四边形的性质、判定． 二、课前演练

1．（2011广州）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ） A．4

B．12

C．24

D．28

2．(2012盐城)一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两 组对边的平行关系没有发生变化,若∠1=75°,则∠2的大小是（ ）

A．75o B．115o C．65o D．105o

3．（2012聊城）如图，点E在□ABCD的边BC上，若点F是边AD上 的点，则△CDF与△ABE不一定全等的条件是（ ）

A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE

4．（2010晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系 ．．．．作为条件，推出平行四边形ABCD，并予以证明．（写出一种即可） 关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°． 已知：在四边形ABCD中， ， ； 求证：四边形ABCD是平行四边形．

三、例题分析

例1 (2012泰州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

E

B C

A F D

B C A BEC(第3题图)

2 (第2题图)

AD1 D

例2．（2010毕节）如图，已知：□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点E，∠ABC的平分

G 线BG 交CE于点F，交AD于点G．求证：AE=DG． A E D F

四、巩固练习

1．（2011泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件： ①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC． 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．（2009桂林）如图，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC=6， BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A．3 B．6 C．12 D．24

3．（2010本溪）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 ．

4．（2012无锡）如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF． 求证：∠BAE=∠CDF．

BECFAD

C

B

ADBC5．（2012?陕西）如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB=AF； （2）当AB=3，BC=5时，求

AE

的值． AC

AEBCFD

6．如图，在□ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F． (1)求证：四边形ACDF是平行四边形

(2)若BC=2CD，猜想：△BCF的形状为__________，请证明你的结论．

高作中学数学组

DEFACB§3.8 平行四边形（2）

一、知识要点：

平行四边形的性质、判定 二、课前演练：

1．如图，若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=120°，则∠F= °． 2．如图，BD为□ABCD的对角线，E、F分别是AD、BD的中点．若EF=3，则CD= ．

BEACFA

DE D F B

C ABECDD A B C F E

（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）

3．如图，□ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( ) A．6 B．8 C．9 D．10 4．如图,□ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE:EF:BE为（ ） A．4:1:2 B．4:1:3

C．3:1:2 D．5:1:2

三、例题分析 例1 (2011东营) 如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=30°；

1

延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C．

2（1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若DC=12，求AD的长．

EDABC

例2 (2010中山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．

已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

四、巩固练习：

A D

C

F B E

1．（2010宁夏）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2010衡阳）如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分 线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G， BG=42，则ΔCEF的周长为（ ）

A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 3.（2011滨州）如图，□ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD、 BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，则EF= ．

BCF (第3题图) (第2题图) E AD AB的中点，在4.（2010云南）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、

图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．

BC1AB1A1(1)AC1B2CBA1(2)AB1C1B2CBA2C3A3B3A2C2B1CC2…

A1(3)5．（2010宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF． 求证：∠EBF=∠FDE．

B A E F C D 6．（2010贵阳）如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

（1）求证：△AFD≌△CEB；

（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

ADEFBC高作中学数学组

§3.9 矩形 菱形 正方形（1）

一、知识要点

矩形的概念、矩形的性质与判定. 二、课前演练

1．矩形两条对角线的夹角是60°，一条对角线与短边的和是15，则对角线长 ． 2．（2012宿迁）点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ） 3．（2012南通）矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120o，则AB的长为（ ） A．3cm B．2cm C．23cm D．4cm

4．（2011宜宾）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

三、例题分析

例1（2011?株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q. （1）求证：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向

D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

例2（2012常州）矩形ABCD中，AB=4，BC=2，M为BC的中点，点P为CD上的动点（点P异于C、D两点）.连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．设CP=x，DE=y．

（1）写出y与x之间的函数关系式 ； （2）若点E与点A重合，则x的值为 ； （3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′

落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在， 请说明理由.

四、 巩固练习

1．（2012盐城）在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB?DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是 ．(填上你认为正确的一．．个答案即可)

2．（2011绵阳）将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm．

3．（2010连云港）矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

4．（2011温州）如图，在矩形 ABCD中，对角线AC，BD交于点O． 已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( )

A．2条

B．4条

C．5条

D．6条

BAOCD5．（2009钦州）如图，矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF.

A F E

B C D 图1 6．（2011?聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm）． （1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F

为顶点的三角形以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

2

高作中学数学组

§3.10 矩形菱形正方形（2）

一、知识要点

菱形、正方形的概念；菱形、正方形的性质与判定，能运用其解决生活中实际问题． 二、课前演练

1．(2011南京)如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝． A

E B D C A

2

DD FCDAOBCB C

EAB(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)

河北)如图,菱形ABCD中,点A、B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= ．2．(2012

3．（2009河北)如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）

A．20 B．15 C．10 D．5

4．（2012天津）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60° 三、例题分析

例1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形， 试判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．

例2 (2012南通)如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60o，求证：BE=DF； (2)如图2，若∠EAF=60o，求证：△AEF是等边三角形．

DGFACEB

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