2017数学（理）一轮对点训练：2-4-1 二次函数 Word版

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1.如果函数f(x)＝2(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间

?1?

?，2?上单调递减，那么mn的最大值为( ) ?2?

A．16 C．25 答案 B

B．18 81

D.2

?1??解析 由已知得f′(x)＝(m－2)x＋n－8，又对任意的x∈2，2?，??

1?

?f′???≤0

f′(x)≤0，所以??2?

?f′?2?≤0

m≥0，n≥0??

即?m＋2n≤18??2m＋n≤12部分所示，

，

，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影

t

令mn＝t，则当n＝0时，t＝0，当n≠0时，m＝n.由线性规划的t

相关知识知，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝n相切时，t取得最

t1?－2＝－?n2

大值．由?1t

?6－n＝?2n

，

解得n＝6，t＝18，所以(mn)max＝18，选B.

2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )

A．a>0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 答案 A

b

解析 由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，选A.

3．两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是( )

B．a<0,4a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

答案 D

b

解析 函数f(x)图象的对称轴为x＝－2a，函数g(x)图象的对称aba

轴为x＝－2b，显然－2a与－2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧，只有D满足．故选D.

?ππ?

4．若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间?6，2?上是减函数，则a的

?

?

取值范围是________．

答案 (－∞，2]

解析 f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx，令t＝sinx，x∈

?ππ??1?

?，?，则t∈?，1?，原函数化为y＝－2t2＋at＋1，由题意及复合函?62??2??1?

数单调性的判定可知y＝－2t2＋at＋1在?2，1?上是减函数，结合抛物

?

?

a1

线图象可知，4≤2，所以a≤2.

5.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．

答案 2或－1

解析 f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，在x∈[0,1]时， 当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a； 当0

????a≥1，?0

???a＝2a－a＋1＝21－a＝2.???

解得a＝2或a＝－1.

6．对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a345

＋b|最大时，a－b＋c的最小值为________．

答案 －2

解析 设2a＋b＝t，则2a＝t－b，由已知得关于b的方程(t－b)2

－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解．

8

故Δ＝9t－24(t－c)≥0，所以t≤5c，

2

2

2

210c5213t

所以|t|max＝5，此时c＝8t，b＝4t，2a＝t－b＝4，所以a＝3t8.

?11?3458168

故a－b＋c＝t－t＋t2＝8?t2－t?

???11?2

＝8?t－2?－2≥－2. ??

7．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

答案 (0,1)∪(9，＋∞)

解析 在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝a|x－1|的图象，由图知，当a＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a<0时，两图象没有交点，故必有a>0.

若曲线y＝－x2－3x(－3≤x≤0)与直线y＝－a(x－1)(x≤1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0得a＝1(a＝9舍去)，因此当0

若曲线y＝x2＋3x(x>0)与直线y＝a(x－1)(x>1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0可得a＝9(a＝1舍去)，因此当a>9时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．

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