2014年全国高考理科数学试题分类汇编16:不等式选讲 有答案
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2014年全国高考理科数学试题分类汇编16:不等式选讲
一、填空题
1若关于实数x 的不等式
53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞
2已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.
【答案】2
3(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________
【答案】[]0,4
4设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++=_______.
二、解答题 1选修4—5;不等式选讲
设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13
ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】
2选修4-5:不等式选讲
已知函数()f x x a =-,其中1a >.
(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;
(II)已知关于x 的不等式()(){}
222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.
【答案】
3不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12
A ?. (1)求a 的值;
(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ?,所以322a -<,且122
a -≥ 解得1322
a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=
当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3
4 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-
[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a ---
()
)2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=
又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,
∴0)2)()((≥--+b a b a b a
∴0222233≥---b a ab b a
∴b a ab b a 223322-≥-
5 选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12
)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,
设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ?-??--≤≤??->???
, 其图像如图所示
从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<. (Ⅱ)当x ∈[2a -,12
)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2
a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,
43].
6 在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.
如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.
(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点
(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,
|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离,即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.
点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.
所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.
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