等比数列求和试题

§3.3 等比数列及其求和

一、典型例题：

1.(1) 若x,2x?2,3x?3成等比数列，则x的值为__________ . ?4

(2) 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________ . 2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ B ）

（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 3. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，前n项的倒数之和为Tn，则

a1anSnTnn?13

的值为（ A ）.

（A）a1an （B）

（C）(a1an)n （D）(a20a10a1an)n

4. 在等比数列{an}中，a7?a11?6,a4?a14?5,则2332?（ C ）.

3223232332 A． B． C．或 D．－或－

125. 等比数列?an?的首项a1??1，前n项和为Sn，若

S10S5?3132,Sn?_________ . ?(1?(?))

n6. 已知数列?an?是公比q?1的等比数列，给出下列六个数列：（1）?kan?(k?0)； (2) ?a2n?1?； (3) ?an?1?an?；(4) ?an?1an?；(5) ?nan?；(6) ?an?. 其中仍是等比数列的个数为（ B ）

3（A）4 （B）5 （C）6 （D）3 7. 若2,a,b,c,d,183六个数成等比数列，则log9a?bc?d2222= . ?1

8. 设?an?是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q= _____. 1 9. 在正项数列?an?中，a?a???a?21222n4?13n，则a1?a2???an?___________ .2n?1

nn10. 已知数列?an?的通项公式为an?3?2?2n?1，求数列?an?的前n项和为Sn .

Sn?3n?12?2n?1?n?272

11. 已知定义在R上的函数f(x)?0和数列?an?满足：a1?3,a2?5,an?f(an?1)(n?2,3,4,?)，

且f(an)?f(an?1)?2(an?an?1)(n?2,3,4,?)

（1）令bn?an?1?an(n?N?)，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式 .

解（1）?b1?a2?a1?2?0,得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?2(a2?a1)?4?0 由此推知：bn?an?1?an?0,(n?N?)…2分

当n?2时,bnbn?1?an?1?anan?an?1?f(an)?f(an?1)an?an?1?2(an?an?1)an?an?1?2…4分

?{bn}是一个首项为2公比为2的等比数列………………………6分

（2）由（1）知：bn?b12n?1?(a2?a1)2n?1?2(n?N?)………7分

n

当n?N?，且n?2时，b1?b2???bn?1?2(1?2n?1)1?2?2?2…9分

n

而b1?b2???bn?1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?an?an?1

?an?a1?b1?b2???bn?1?2(1?2n?1)1?2n?2?2?an?2?1……11分

nn对n=1时a1?3也成立，?an?2?1………………12分

3tSn?(2t?3)Sn?1?3t(n?2)，12. 设数列?an?的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：其中t?0为

已知常数.

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）设?an?的公比为f(t)，作数列?bn?，使b1?1，bn?f(（3）求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.

12. 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=

1bn?1)(n?2)，求?bn?的通项bn ；

3?2ta23?2t,? 又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ① 3ta13tanan?1?2t?33t，

3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ② ①－②得3tan－（2t+3）an－1=0 ∴

所以{an}是一个首项为1，公比为

2t?33t的等比数列.

（2）由f（t）=

2t?33t?23?1t，得bn=f(1bn?1)?23+bn－1. ∴bn=1+

23（n－1）=

2n?13

（3）由bn=

2n?13，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和

53，公差均为

43的等差数列于是

b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1） =－

43（b2+b4+…+b2n）=－

4132n(53?4n?13)=－

49（2n2+3n）

二、练习题：

1. 已知正项数列?an?为等比数列，且a2a4?2a3a5?a4a6?25，则a3?a5?_______ . 5 2. 等差数列?an?的公差d?0，且a1,a5,a17成等比数列，则

a1?a5?a17a2?a6?a18= .

2629

33. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q?_________. ?3.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由S3+S6=2S9，得

42

a1(1?q)1?q3?a1(1?q)1?q6?2a1(1?q)1?q9，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得

2q6－q3－1=0，从而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－

123，所以q=－

42.

4. 等比数列的前n项的乘积记为Mn，若M10?20,M20?10，则M30?_______ . 5. 设An为数列?an?的前n项和，An=

18

32（an－1）(n?1)，且bn?4n?3(n?1).

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ）若d∈｛a1，a2，a3，…，an，…｝∩｛b1，b2，b3，…，bn，…｝，则称d为数列｛an｝与｛bn｝

的公共项，将数列｛an｝｛bn｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列

2n?1｛dn｝，求证：数列?dn?的通项公式为：dn?3 .

5.解：（Ⅰ）由已知An=

32（an－1）（n∈N），当n=1时，a1=

32（a1－1）， 解得a1=3，

当n≥2时，an=An－An－1=

32（an－an－1），由此解得an=3an－1，即

anan?1=3（n≥2）. 故an=3n（n∈N*）；

（Ⅱ）证明：由计算可知a1，a2不是数列｛bn｝中的项， 因为a3=27=4×6＋3，所以d1=27是数列｛bn｝中的第6项

设ak=3k是数列｛bn｝中的第n项，则3k=4m+3（k，m∈N），

因为ak+1=3k+1=3·3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是数列｛bn｝中的项. 而ak+2=3k+2=9·3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以ak+2是数列｛bn｝中的项 由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1 所以数列｛dn｝的通项公式是dn=a2n+1=32n+1（n∈N*）

练习题答案：

1. 5 2. 2629 33. ?42 4.

18 5. an?3n

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