第三章 空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OB?OA?AB=a+b， AB?OB?OA（指向被减向量），

OP?λa (??R)

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1?0．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例１已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴AB?BC；

1⑶AB?AD?CC'⑵AB?AD?AA'；21⑷(AB?AD?AA')． 3

说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 解：（见课本P27）

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

Ⅲ.巩固练习

课本P92 练习 Ⅳ. 教学反思

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．

关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业

⒈课本P106 1、2、

⒉预习课本P92～P96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？ 板书设计：

§9.5 空间向量及其运算（一） 一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1 ⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示 ⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律 教学后记：

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b． 2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）． 推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②

11时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③ 22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

当t?

3．向量与平面平行：

lPBaAO已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量aa a ? 平行于平面?，记作：a//?．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

p?xa?yb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使

MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB①

上面①式叫做平面MAB的向量表达式． （三）例题分析：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?试判断：点P与A,B,C是否一定共面？ 解：由题意：5OP?OA?2OB?2OC，

∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， 所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充

要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OP?xOA?yOB?zOC

（其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？ 解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

122OA?OB?OC， 555O ABCD，从平面AC外一点O引向量

D A B C G

H E F

OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

∵EG?OG?OE，

?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE?EF?EH∴E,F,G,H共面；

（2）∵EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB，又∵EG?k?AC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：

1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB?e1?e2，AC?2e1?8e2，AD?3e1?3e2，

求证：A,B,C,D共面．

2．已知a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，a?0，若a//b，求实数x,y的值。 3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点， 求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG． 4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

D1HEB1GC1

A

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面； （2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

FA1E CH

B DABF D

G C

3.1.3．空间向量的数量积（1）

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的

精神．

教学过程 学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

A?aOB,b?已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作O，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；

若?a,b??

2．向量的模：

设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记作a?b，即a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．

已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做

向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

4．空间向量数量积的性质： （1）a?e?|a|cos?a,e?． （2）a?b?a?b?0． （3）|a|?a?a．

5．空间向量数量积运算律：

2?2，则称a与b互相垂直，记作：a?b；

e B A? B? A C （1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （2）a?b?b?a（交换律）．

（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n 求证：l??．

证明：在?内作不与m,n重合的任一直线g，

l在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交， ∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

nglmnmg唯一有序实数对(x,y)，使g?xm?yn， ∴l?g?xl?m?yl?n，又∵l?m?0,l?n?0， ∴l?g?0，∴l?g，∴l?g，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l??．

例2．已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BC． 证明：（法一）AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB) ?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD ?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0． （法二）选取一组基底，设AB?a,AC?b,AD?c， ∵AB?CD，∴a?(c?b)?0，即a?c?b?a， 同理：a?b?b?c，， ∴a?c?b?c，

2∴c?(b?a)?0，∴AD?BC?0，即AD?BC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA?8，AB?6，AC?4，BC?5，?OAC?45，

?OAB?60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BC?AC?AB， ∴OA?BC?OA?AC?OA?AB

O ?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB?

A C

?8?4?cos135?8?6?cos120?24?162 ∴cos?OA,BC??B OA?BC24?1623?22， ??8?55|OA|?|BC|3?22． 5所以，OA与BC的夹角的余弦值为说明：由图形知向量的夹角时易出错，如?OA,AC??135易错写成?OA,AC??45，切记！ 五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。 六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。 七．作业：课本第106页第3、4题 补充：

1．已知向量a?b，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|?1,|b|?2,|c|?3， 试求：（1）(a?b)；（2）(a?2b?c)；（3）(3a?2b)?(b?3c)．

22向量的数量积（2）

一、教学目标：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法 四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

（一）、知识要点：

1）定义：① 设=?,则ab? （?的范围为 ）

②设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)则ab? 。 注：①ab不能写成ab，或a?b ②ab的结果为一个数值。 2）投影：b在a方向上的投影为 。 3）向量数量积运算律：

①ab?ba ②(?a)b??(ab)?a(?b) ③(a?b)c?ac?bc 注：①没有结合律(ab)c?a(bc) 二）例题讲练

1、下列命题：①若ab?0，则a，b中至少一个为0②若a?0且ab?ac，则b?c ③(ab)c?a(bc)④(3a?2b)(3a?2b)?9a?4b

中正确有个数为 （ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

2、已知?ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则

BCCA= 。

22,?，4则3、若a，b，c满足a?b?c?0，且a?3,b?1ca?bb?c= 。

4、已知a?b?2，且a与b的夹角为考点二：向量数量积性质应用

一）、知识要点：

?，则a?b在a上的投影为 。 3 ①a?b?ab?0（用于判定垂直问题） ②a?a（用于求模运算问题）

2③cos??abab（用于求角运算问题）

二）例题讲练

1、已知a?2，b?3，且a与b的夹角为m为何值时c?d

2、已知a?1，b?1，3a?2b?3，则3a?b? 。 3、已知a和b是非零向量，且a=b=a?b，求a与a?b的夹角

4、已知a?4，b?2，且a和b不共线，求使a??b与a??b的夹角是锐角时

?，c?3a?2b，d?ma?b，求当2?的取值范围

巩固练习

?，则（e1?e2）(?3e1?2e2)等于（ ） 395A.-8 B. C. ? D.8

22?2、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2?e1垂直的是（ ）

31、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为

A. e1?e2 B. e1?e2 C. e1 D. e2

3、在?ABC中，设AB?a，BC?b，CA?c，若a(a?b)?0，则?ABC（ ）

(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定

4、已知a和b是非零向量，且a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求a与b的夹角。

5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：

?ABC 为正三角形。

3.1.5空间向量运算的坐标表示

课题 向量的坐标 教学目的要求 1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示 主要内容与时间分配 1．投影与投影定理 25分钟 2．分向量与向量的坐标 30分钟 3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟 重点难点 1．投影定理 2．分向量 3．方向余弦的坐标表示 启发式教学法，使用电子教案 教学方法和手段 一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数?满足??AB，且当AB与轴u同向时?是正的，当AB与轴u反向时?是负的，那么数?叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即??AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则AB??e

(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC?AB?BC (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OA?a，OB?b，规定不超过?的?AOB称为向量a和b的夹角，记为

(a,b)

'?(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。

(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。

2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：

''''PrjuAB?ABcos?

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(?a)??Prja

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立

了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、

M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示

图7－5

沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

M1M2?(x2?x1)i + (y2?y1)j+(z2?z1)k

或

a = ax i + ayj + azk

上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做

向量a的坐标，并记为

a ＝ {ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

M1M2?{x2?x1,y2?y1,z2?z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM?{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示 则

(1) 加法： a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ◆ 减法： ◆ 乘数： ◆ 或

设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}即a?axi?ayj?azk，b?bxi?byj?bzk

a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k

?a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k

a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz} a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}

?a?{?ax,?ay,?az}

◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b??a，即

{bx,by,bz}??{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

bxbybz ??axayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a?{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹

角?、?、?（均大于等于0，小于等于?）来表示它

的方向，称?、?、?为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos?、cos?、cos?称为方向余弦。 1． 模

222 a?ax?ay?az 图 7－6

2． 方向余弦

?a?MMcos??acos?12?x?222由性质1知?ay?M1M2cos??acos?，当a?ax?ay?az?0时，有

?a?M1M2cos??acos???z?aax?cos??x?22a?ax?ay?az2?ayay? cos????222aax?ay?az??aaz?cos??z?222a?a?a?axyz?◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos??cos??cos??1 ◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：

222a0?aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?}

3． 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与

M1M2同向的单位向量。

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2?(?1)2?12?(?2)2?2

211cos???，cos??，cos???

222??2??3?，??，??

343

0设a为与M1M2同向的单位向量，由于a?{cos?,cos?,cos?}

0即得

112a0?{?,,?}

222

3.2立体几何中的向量方法

空间距离

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．

∴ BE?(2,0,0)，BF?(4,?2,0)， BG?(0,?4,2)，GE?(2,4,?2)，

EF?(2,?2,0)．

设BM?平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BM?aBE?bBF?cBG(a?b?c?1)，

∴ BM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)． 由BM?平面EFG，得BM?GE，BM?EF，于是

BM?G?E0，BM?EF?0．

?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0?∴ ?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?a?b?c?1?15?a??11a?5c?0??7??整理得：?a?3b?2c?0，解得?b??．

11?a?b?c?1??3?c??11?226∴ BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(,,)．

111111211?2??2??6?∴ |BM|??????????

11111111??????222故点B到平面EFG的距离为

211． 11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．

分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设B'A'?i，B'C'?j，B'B?k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有

A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．

∴ DA'?(0,?1,?1)，AC?(?1,1,0)，A'A?(0,0,1)． 设n?(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2?y2?z2?1． ∵ n?DA'，n?AC，

??y?z?033?∴ ??x?y?0，解得x?y??z?或x?y??z??．

33?x2?y2?z2?1?取n?(333,,?)，则向量A'A在直线l上的投影为 3333333,,?)·(0,0,1)??． 33333． 3 n·A'A?(由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为

向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

cos??cos?cos??sin?sin?cos?, (1)

其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。

。 ?AON??，?BON??， ?AOB??。?为二面角P-MN-Q（见图1）

zDPA?a?MO??bxyNBQ图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则OD?MN，得

?AOD??2??，?DOx??，?DOz??2??。

????分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b??。

??由计算知a，b的坐标分别为

(sin?cos?,cos?,sin?sin?)，(sin?,cos?,0)，

于是，

????a?b??a?b?cos?cos??sin?sin?cos?。 cos???|a|?|b|公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。

例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。

求面EFG和面GHI的夹角?的大小（用反三角函数表示）。

解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面HIG?。而?就是二面角G-IH-G?（见图3）。利用公式（1），只要知道了?，?和?的大小，我们就能求出?。

D1EGA1B1HC1FDICAB

图2

由已知条件，?GHI和?HIG?均为等边三角形，所以?????3，而

???GIG???2。因此，

D1EGA1B1HG'C1FDICAB 图3

cos??coscos?sinsincos?， 233331133???cos?。 2222????即

0?解得

11cos???， ????arcco。s

33当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向

量，利用法向量同样也可算出夹角?来。

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角?的大小。

解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的?，?，?分别为：

???AMN， ???BMN， ???AMB，

因此它们均为正五边形的内角。所以

??????108?。

NPMABQ 图4

所以，由公式（1）知

cos108??cos108??cos108??sin108??sin108??cos?，

或

cos??cos108?(1?cos108?)5??。 25sin108?因此，????arccos5，或??116?33?54??。 5 如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角?的大小在计算上要复杂很多。 利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。

设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为?，从而可知：

V?12V?。

再设?的底面积为S、高为h，设O?为单位边长正五边形（即?的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，|O?H|?a，则

11a5tan?O'AH?tan54?， S?5??tan54?。 2224h?仍设?为正十二面体两相邻面的夹角，则?tan。所以

a21?h?tan54?tan。

22但是，

?O'AH?54?， a?tan

从而

?2?1?cos?5?1， ?1?cos?2V?12V??4Sh

???5??1 ?4??tan54???tan54?tan?

或V?7.6631

?4??22??5?2(tan54?)2tan2 ?52?5?255?5?12 ?15?754，

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