高中数学 3.2第1课时 空间向量与平行、垂直关系知能演练轻松闯关 理 新人教A版选修2-1

【优化方案】2013-2014学年高中数学 3.2第1课时 空间向量与平

行、垂直关系知能演练轻松闯关 理 新人教A版选修2-1

1．直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )

A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α 解析：选D.∵a·u＝－3＋4－1＝0， ∴a⊥u，∴l∥α或l?α.

2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(2,1，－1)，v＝(3,2,8)，则( ) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交不垂直 D．以上均不正确 解析：选B.∵u·v＝6＋2－8＝0，∴u⊥v. 故α⊥β.

3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )

A．2 B．－4 C．4 D．－2

解析：选C.因为α∥β，所以它们的法向量必共线， 12－2即＝＝，

k－2－4

∴k＝4，故选C.

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BD C．A1D D．AA1 解析：

11→→，－，1?，BD＝选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则CE＝?2??2

(－1，－1,0)．

→→∵CE·BD＝0， →→∴CE⊥BD， 从而CE⊥BD. 5．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )

A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1

解析：选A.|a|＝ 22＋42＋x2＝6，∴x＝±4， 又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，

1

∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，

2

当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.

6．平面α，β的法向量分别为m＝(1,2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．

解析：由α⊥β知，m·n＝0.

∴－2－8－2k＝0，解得k＝－5. 答案：－5

7．已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为__________． 解析：设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，

→→

由题意可得：AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)．

→?AB＝0，?n·由?

→?BC＝0，?n·

??－x＋y＝0，得? ?x－z＝0.?

令x＝1，得y＝z＝1.∴n＝(1,1,1)． 答案：(1,1,1)(答案不唯一)

→→

8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝

→→

(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向

→→

量；④AP∥BD.其中正确的是________．

→→

解析：由于AP·AB＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， →→AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 答案：①②③ 9.

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量，

→

(2)若∠PDA＝45°，求证MN为平面PCD的一个法向量． 解：(1)取PD的中点E，连接NE、AE，

1

∵N是PC的中点，∴NEDC.

2

1

又DCAB，AM＝AB，

2

1

∴AMCD，∴NEAM，

2

∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE. →

∴AE为直线MN的一个以A为起点的方向向量．

(2)在Rt△PAD中，∠PDA＝45°， ∴AP＝AD，∴AE⊥PD， 又MN∥AE，∴MN⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD， ∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，

又MN∥AE，∴CD⊥MN，又∵CD∩PD于D， ∴MN⊥平面PCD. →

∴MN为平面PCD的一个法向量．

10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证： (1)AD1∥平面BDC1； (2)A1C⊥平面BDC1. 证明：

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0，1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，

→

∴AD1＝(－1,0,1)， →

A1C＝(－1,1，－1)．

设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，

→→则n⊥DB，n⊥DC1. ??1，1，0?＝0，??x，y，z?·?∴ ??0，1，1?＝0，??x，y，z?·

?x＋y＝0，?∴? ?y＋z＝0.?

令x＝1，则n＝(1，－1,1)．

→→(1)n·AD1＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥AD1. 又AD1?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.

→

(2)∵n＝(1，－1,1)，A1C＝(－1,1，－1)， →→知A1C＝－n，即n∥A1C. ∴A1C⊥平面BDC1.

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( ) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 解析：选B.

建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.

11?

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E??2，2，1?， 11→

，－，1?， ∴CE＝?2??2

→→

AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)， →→

A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． →→∵CE·BD＝0，∴CE⊥BD.

1955

0，2，?，B?1，－1，?，C?－2，1，?是平面α内三点，设平面α的法向2．若A?8?8?8????

量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.

7→

解析：由已知得，AB＝(1，－3，－)，

4

7→

AC＝(－2，－1，－)，

4

→→

由于a是平面α的一个法向量，∴a·AB＝0，a·AC＝0，

72

x－3y－z＝0x＝y43

即，解得，

74

－2x－y－z＝0z＝－y

43

42

－?y＝2∶3∶(－4)． ∴x∶y∶z＝y∶y∶??3?3

答案：2∶3∶(－4) 3．如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.

?

??

???

求证：平面ADE⊥平面ABE. 证明：

取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE， ∴以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如图所示．

则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，－3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)． 设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，

→则n·EA＝(a，b，c)·(0,23，2)＝23b＋2c＝0， →n·DA＝(a，b，c)·(－1，3，1)＝－a＋3b＋c＝0. 令b＝1，则a＝0，c＝－3，∴n＝(0,1，－3)，

又AB⊥平面BCE，OC?平面BCE∴AB⊥OC，∵BE⊥OC，AB∩BE于点B，∴OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)． ∵n·m＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE. 4.

已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.

解：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.

∴以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示)． 由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2， 所以D(0,0,0)，A(2,0,0)， B(2,1,0)，C(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1)， →→

∴BM＝(－2,0,1)，DC＝(0,2,0)， →

∵DC⊥平面PAD， →→→∴DC是平面PAD的法向量，又∵DC·BM＝0， →

∴BM∥平面PAD.∴BM∥平面PAD. (2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点， →→→

则MN＝(x，－1，z－1)，DP＝(0,0,2)，DB＝(2,1,0)，

→→?DP＝0?MN·

若MN⊥平面PBD，则?，

→→?DB＝0?MN·

??2?z－1?＝0?x＝?

∴?，即?2??2x－1＝0?

1

?z＝1

.

1

，0，1?， ∴在平面PAD内存在点N??2?使MN⊥平面PBD.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0isd.html