初等几何研究试题答案(2)李长明版

初等几何研究试题答案（II）

二、关于和、差、倍、分线段（角）

1、 等腰?ABC中，?A?1000,?B的平分线交AC于D，证明：

BD+AD=BC。

A241BD',

,

,

3C

证：在BC上取点D,使BD=BD,连结DD

??A?1000且

BD平分?ABC

??1?200,?C?400

又?BD=BD,,??3?800,?2??C??3

??2?400

即?2??C

?CD,?DD,

又??3??A?1800

?点A、D、D、B四点共圆且?1??4 ?DD=AD

,

，

?BC=BD+CD=BD+AD

已知，ABCD是矩形，BC=3AB,P、Q位于BC上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC+∠DPC=∠DQC

A D ,,

B P P Q C F O E

解：作矩形BCEF与矩形ABCD相等，在EF上选取点O使得

FO=2EO.连结BO、DO。

由图可知，由BO=DO，且有△BFO≌△OED,

∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC为等腰直角三角形

∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC

3、圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于X，由X向AB、BC、CD和DA作垂线,垂足分别为A′、B′、C′和D′. 求证：A′B′+C′D′=B′C′+D′A′

D C C′ B′ X D′ A A′ B 证明：（方法一）

∵X、A′、A、D′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA′D′=∠XAD′

又∵∠XAD′=∠XBC(圆周角）

同理∠XA′B′=∠XBC,即∠XA′D′=∠XA′B′ 同理可得∠XB′A′=∠XB′C′,∠XC′B′=∠XC′D′, ∠XD′C′=∠XD′A′

∴X是四边形A′B′C′D′的内心。 ∴A′B′+C′D′=B′C′+A′D′

(方法二)利用正弦定理. 设r是四边形ABCD的外接圆

半径，A?B?在以BX为直径的圆上 ?A?B??XB?sinB同理C?D??XD?sinD ?A?B??C?D??BDsinB=2rsinAsinB 同理可得B?C??A?D??2rsinC?sinD 又??A和?C;?B和?D是两对互补的角 ?A?B??C?D??B?C??A?D?

4. 在梯形ABCB中，AB//CB AB=AD+DC

D C ?D=2

?B,求证

A E B

证明：在AB上取一点E，使AE=AD . ??AED=?ADE

因为AB//CD

所以?EDC=?AED 所以?AED=?ADE=?EDC 所以?ADC= 2?AED因为?D=2?B 所以?AED=?B 所以DE//CB

?四边形

DEBC是平行四边形

所以DC=EB

所以AB=AE+EB=AD+DC

5 已知：G是?ABC的重心，过G作直线分别与AB,AC交于E,F，求证：EG?2GF。

AEHGDFC

B

证明：在EF上取点D使DH//AB,故?BEG～?GDF,故G为?ABC的重心，则GH/BG=1/2=DG/EG,故EG=2DG?2GF 命题得证

6.已知：在凸四边形ABCD中，AC?BD于O，且OA>OC，OB>OD，求证：BC+AD>AB+CD

ADC1OECD1B

证明：如图做AD1=AD，BC1=BC

?AD1=AD，BC1=BC

?四边形CDC1D1是菱形，则CD=C1D1

又?在?ABE、?C1D1E中

AE+BE>AB,C1E?D1E>C1D1

?BC1?AD1?AB?C1D1

即BC+AD>AB+CD

7. 在直角梯形ABCD中，AB是垂直二底的腰，另一腰切以AB为直径之圆于E，过E作底的平行线交AB于F，求证AC平分EF A D

F E E B C G

证明：连结AE并交于的延长线于G 如图

因为AD=DE ??AED=?DAE

又?AED=?CEG 因为AD//BC? AD//BG

??DAE=?EGC ? ?EGC= ?GEC ?CE=CG 又因为 BC=CE ? BC=CG ?C是BG的中点

?M也是EF的中点

?FM=ME ?AC平分EF

8、在梯形ABCD的底边AD上有一点E，使△ABE、△BCE、△CDE的周长相等。 求证：BC=

AD2

B

C’

C

A

E

D

证明：如下图

在BC边或其延长上取点C′，使BC′=AE,

∵ABCD是平行四边形 ∴AD//BC? 又∵AE=BC?

∴AEC?B是平行四边形 ∴AB=EC?

∴△ABE、△BEC?周长相等 又∵△ABE、△BEC周长相等 ∴C?=C ∴BC=AE 同理 BC=ED

∴BC=

1AD 2

9、在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，D为BC上 的任一点，过D作DP∥CF交BF于P,作DQ∥BE交CE 于Q，连结PQ分别交BE、CF于R、S，求证：RS=1PQ

3

A F P H R S E B G D C 证明：FC

与DQ的交点为G，BE与FC的交点为H

HE1? EB3 由题知点H为△ABC的重心，则 ∵FC∥PD ∴

SQQG? QPQD 又∵QD∥EB ∴ ∴

GQHE ?QDEBSQGDHE11??? ∴SQ=QP QPQDEB33 同理可证得PR=QP ∴RS=PQ

131310.以矩形ABCD的各顶点为中心，分别以rA，rB，rC，rD为半径作圆，使rA?rC?rB?rD?AC，再作两对圆☉A、☉C、☉B、☉D

的四

条外公切线。

求证：这四条外公切线围成的四边形有一内切圆。

MQNABOEDCEF

证明：连结AC、BD交于O，

☉A、☉C的两条公切线为EF、MN，E、F、M、N为切点。 连AE、CF过点O作OP⊥EF，垂足为P，作OQ⊥MN，垂足为Q

∴四边形ACFE为直角梯形

11(AE?CF)?(rA?rC) 2211同理 OQ?(AM?AN)?(rA?rC)

22∴OP?同理 点O到其他一对公切线长为又rA?rC?rB?rD

1(rB?rD) 2∴点到4条公切线的距离相等 ∴4条公切线所围成的四边形有内切圆

11.在凸六边形ABCDEF中，所有的内角相等，求证：AB-DE=EF-BC=CD-FA

ERPFQDC

证明：∵六边形各内角相等， ∴其内角皆为120° ∴各对边互相平行 作□ABCP □CDEQ PQ=∣AB-DE∣ 同理，再作□AFEQ，则

PR=∣AB-DE ∣ QR=∣CD-AF∣ ∵PQR各内角皆为60° ∴PQ=QR=RP ∴AB-DE=EF-BC=CD-FA

AB

12.利用上题，若长度分别为a1,a2……a6的线段，且满足条件

a1-a4=a2-a5=a3-a6

求证：这6条线段可以作为一个各内角皆相等的凸六边形，

ERPFABQDC 证:利用上题结果，可如下作之：

（1） 先以彼此相等的三数a1-a4,a2-a5,a3-a6为边作正△PQR （2） 延长PQ至C，QR至E，使PC=a，则QC=a4,使QE=a3,则QR=a6 （3） 在PC异侧各作□ PCBA、□ QCDE

（4） 过A、E分别引QE、PA的平行线，设它们相交于F，则ABCDE

即为所求。

13设⊙O1、⊙O2和⊙O3是共点于O的三个相等的圆周，A、B、O是它们两两相交的另一点。求证:OA+OB+OC=1800

O2 CAOO1O3B

证：利用两等圆的连心垂直平分公共弦

设⊙O2、⊙O3交于A，⊙O３、⊙O２交于B，⊙O１、⊙O２交于C 再连O1O2、O2O3和O3O1，则因OB、OC分别垂直平分O3O1、O1O2， 故知∠O2O1O3=∠O３O１O＋∠OO１O２＝（∠BO１O＋∠OO１C）

121??) ＝?OB?OC2

??OA?) 同理：∠O２＝(OC12

?O3?1??) (OA?OB2??OB??OC? 所以，1800=∠O2O1O3＋∠O2＋∠O3＝OA

14. 如图，设⊙O1、⊙O2、⊙O3是相等的三个圆周，⊙O1与⊙O2相交于A、A1，⊙O2与⊙O3

相交于B、B1 ，⊙O3与 ⊙O1 相交于C、C1 ，求证：

??1?CC?1?(??1C1?C?1A1)?180?AA1?BBA1B1?B

Ao2C1BA1B1o1Co3

证明：连结O1O2，O2O3和O3O1，则有 ∠O1=∠O2O1C1+∠B1O1O2﹣∠B1O1C1

=

1(∠BOB1+∠COC1）﹣∠B1O1C1 21????(BB1?CC1)?B1C12

同理

1????O2?(CC1?AA1)?C1A12

1?1)???O3?(?AA1?BBA1B12

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