2机械控制工程基础第二章答案要点

习 题

2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,xo表示系统输出,xi表示系统输入,哪些是线性系统? (1) ??o?2x (3) ??o?2x??2x?2x (2) ???2x??2tx?2x xxxoooioooi??2x?2x (4) ???2xx??2tx?2x xxooiooooi解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。

2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。

图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有

即

??x?)?cx??m?? c(xx1io2oo??(c?c)x? ?o?cxm?xo121i (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有

??x?)(x?x)k?c(xi1o(1)(2)

??x?)?kxc(xo2o消除中间变量有

??kkx?ckx? c(k?k)x12o12o1i (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即

??x?)?k(x?x)?kxc(xio1io2o

??(k?k)x?cx??kx cxo12oi1i 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题2.3）

解:(1)对图(a)所示系统,设i1为流过R1的电流,i为总电流,则有

1 u?Ri??idtC u?u?Ri

o22

io11

1u?u??(i?i)dtCio11

消除中间变量,并化简有

1CR???(1??)u??CRuuCRRC

1???(R?C)u???u?CRuCRRC1112oo22222112iii1221o

(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有

1 u?u?Ri??idtC1 u??idt?Ri Cio11o22

消除中间变量,并化简有

11)1

(R?R)u(????uu?Ru?CCC12oo2ii1222.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。

解：设系统输入为M（即），输出?(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

消除中间变量

??Rk(R??x)???C?M?J???c?? k(R??x)?m?xxm

x,即可得到系统动力学方程

22

????(Rkm?Cc?KJ)????k?mJ??(mC?cJ)?（cR?C）????cM??KM?mM(4)mmm2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x3(t)。 （1）求当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。 解: (1) 将

3=0,=1,=2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5xoxoxox(t)中,即当工作

点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为yo?0,y?2.5,

0y?8。

o (2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得

x,y)oo附近,将

y??y?2x?0.5x?(2?1.5x)|x?x??x

32oooo ? 若令x?y?(2?1.5x)|x?x2o??x

??x,

y??y02有

y?(2?1.5x)x

2020 当工作点为xo?

时,

y?(2?1.5x)x?2x202

当工作点为xo?1时, 当工作点为xo?时,

y?(2?1.5x)x?3.5x y?(2?1.5x)x?8x

02.6已知滑阀节流口流量方程式为Q?cwx?v2p，式中．Q为通过

节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；?为油密度。试以Q与p为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(xv，p)在预定工作点F(xo，po)处按泰勒级数展开为

Q?F(xvo,po)?(

?F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p??消除高阶项，有

Q?F(xvo,po)?(

?

?F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p

?Q?F(xv,p)?F(xvo,po)

?F(xvo,po)?(

?F?xv)(xvo,po)??xv?(?)(xvo,po)??p?F(xvo,po)P?F?(

?F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p

?F?F)（|xvo,p）若令K?(，K?(， |xvo,p）)（oo?p?xv12 ?Q?K1??x?Kv2??p

将上式改写为增量方程的形式

Q?K1?x?K?pv2

2.7 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。

（1）???(t)y?(t)?50y?(t)?500y(t)???(t)?15?yr?(t)?2r?(t)?0.5r?(t) ?25y?(t)?0.5r(t) ?25y?(t)?6y(t)?4?y(t)dt?4r(t) ?3y

（2）5??(t)y（3）??(t)y（4）??(t)y解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。 (1)

sY(s)?15sY(s)?50sY(s)?500Y(s)?sR(s)?2sR(s) s?2s ? Y(s)/R(s)?2?s?15s50s?50032222(2)

5sY(s)?25sY(s)?0.5sR(s)

2 ? (3)

20.5sY(s)/R(s)?25s?25s

sY(S)?25SY(s)?0.5R(s) ? Y(S)/R(s)?0.52ss?25

(4)

1sY(s)?3sY(S)?6Y(s)?4Y(s)?4Y(s)

s24s ? Y(s)/R(s)?s3?3s2?6s?4

2.8 如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。

2.9 试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为

K,K,G(s)?TsG(s)?G(s)?Ts?1sG(s)GB(s)?1?G(s)?H(s),则

,而闭环传递函数为

(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，

KG(s)KTs?1??GB(s)?KTs?1?K1?G(s)?H(s)1?Ts?1G(s)Ts GB(s)??1?G(s)?H(s)1?Ts

(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，

(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，

KG(s)Ks GB(s)???Ks?K1?G(s)?H(s)1?s（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

2.10 证明图（题2.10）与图（题2.3（a）所示系统是相似系统

解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。

1u?R??idtCo22(1)

(2)

1u?u?Riio111u?u??(i?i)dtCio1(3)

对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零,即

?(0)?0I(0)?I?2(0)?0I(0)?I1

则

U(s)?RI(s)?O2iOI(s)C2s1i?(R2?1C2s)I(s) （4）U(s)?U(S)?RI(s)I(s)I(s)?U(s)?U(S)?C1sC1siO （5） （6）(5)?1C1s,得

1C1s?(s)??Ui??U(s)???0R1(s)I1C1s(7)

(6)?R1, 得 R1?(s)??UiR1??U0(s)????R1I1(s)(8)

C1sC1s0I(s)(7)?(8), 得

(1C1s?R1)?(s)??Ui?U(s)????R1(s)IC1s

CR11s即 U(s)?U(s)??I(s)?R1I(s)

1?R1C1C1s1?R1C1siOR1I(s)则 U(s)?U0(s)?1?R1C1i(9)

将(4)式中的U0(s)代入(9)式 Ui(s)?(R2?1C2s)I(s)?R1I(s)1?R1C1

?(R2?R1)I(s)

C2s1?R1C1s?11再用(4)式与上式相比以消去I(s),即得电系统的传递函数为

C2sU0(s) G(s)??R1U1(s)(R2?1?)I(s)C2s(1?R1C1s)R2?

(R2?)I(s)

1C2s

?R2?R1C2s(1?R1C1s)?1而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有

对上二式分别进行拉式变换有

2i0i?)c?(x?i?x(x-x)k?(x?o-x?)c

i02o21?)c?kx?i?x(xo11

????X(s)?X(s)(s)(s)-(s)?Ok?X?XXscX02??????????sc1

X(s)?c1sX0(s)k1?c1s

消除X(s)有

k2?c2k2?c2sX0(s)s???kk2?c11c1sG(s)Xi(s)??s k2?c2k1?c1sc2s1?c1sk1比较两系统的传递函数有

k2?1C

2k1?1C

1c2?R2 c?R

11故这两个系统为相似系统。

2.11 一齿轮系如图（题2.11）所示。图中，z1、z2、z3和z4分别为各齿轮齿数；J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量，?1、

?2和?3为各轴的角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到电

动轴上的齿轮系的运动方程。

2.12 求图（题2.12）所示两系统的传递函数。

图（题2.12） 解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为

? ??o(t)?cx?o(t) x?xi(t)?xo(t)?k?m???作Laplce别换，得

?k?2 ?(s)?(s)mXo(s)?csXo(s) XXiso????则有

G(s)?X0(s)/Xi(s)?k/(ms2?cs?k)

(2)由图(b)中系统,设i为电网络的电流，可得方程为

di1u?Ri?L??idtdtCi

1u??idtCoi

1作Laplce别换，得 U(s)?RI(s)?LsI(s)?I(s) Cs1 U(s)?I(s) Cso1消除中间变量有 G(s)?U0(s)/Ui(s)?2?RCs?1LCs

2.13 某直流调速系统如图（题2.13）所示，us为给定输入量，电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩TL为系统的扰动量。各环节的微分方程：

比较环节 ?un?us-ufn 比例调节器

u?K?uckn （Kk为放大系数）

kc晶闸管触发整流装置 电动机电枢回路

du?Kudadd (Ks为整流增益)

diau?iR?L?e

dt

(Rd为电枢回路电阻,Ld为电枢回路电感,ia为电枢电流 ) 电枢反电势 电磁转矩

e?Kn (Kd为反电势系数)

dM?Kieema (Km为转矩系数)

GL负载平衡方程 载转矩) 测速电动机

dnM?J?Tdt (JG为转动惯量，TL为负

u??nfn (?为转速反馈系数)

试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和

N(s)控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数

U(s)s和

N(s)T(s)L。

2.14 试绘制图（题2.14）所示机械系统传递函数方框图。

2.15 若系统传递函数方框图为图（题2.15）。

(1) 求以R(s)为输入，当N(s)?0时，分别以C(s)、

Y(s)、B(s)、E(s)为输出的闭环传递函数；

(2) 求以N(s)为输入，当R(s)?0时，分别以C(s)、

Y(s)、B(s)、E(s)为输出的闭环传递函数；

(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？

图(题2.15)

解:(1)求以R(s)为输入，当N(s)?0时: 若以C(s)为输出,有

G1(s)G2(s)C(s)?G(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)C

若以Y(s)为输出,有

G1(s)Y(s)?G(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)Y

若以B(s)为输出,有

B(s)G1(s)G2(s)H(s)?G(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)B

若以E(s)为输出,有

E(s)1?G(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)E

(2)求以N(s)为输入，当R(s)?0时: 若以C(s)为输出,有

G2(s)C(s) G(s)??R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)C

若以Y(s)为输出,有

?G1(s)G2(s)H(s)Y(s) G(s)??R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)Y

若以B(s)为输出,有

G2(s)H(s)B(s) G(s)??R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)B

若以E(s)为输出,有

?G2(s)H(s)E(s) G(s)??R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)E

(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。

2.16 已知某系统的传递函数方框图为图（题2.16），其中，

X(s)为输入，X(s)iO为输出,N(s)为干扰，试问：G(s)为何值时，

系统可以消除干扰的影响。

图（题2.16）

解：方法一：根据线性系统的叠加原理，令Xi(s)?0,N(s)为输入，系统的输出为

X(s)?N(s)?G1B(s)G(s)?K4G2B(s)?

oN其中

K2K3K1K1K2K3STs?1?(s)?GK2K3Ts2?s?K1K2K31?K1sTs?1

1B

K3K3sTs?1? G(s)?K2K3Ts2?s?K1K2K31?K1sTs?12B

?

X(s)?N(s)?G1B(s)G(s)?K4G2B(s)?

oN

?K4sG(s)?K1K2K3?K1K2???2Ts?s?K1K2K3????

令 有 方法二：令Xi(s)X(s)?0

oNG(s)?K4sK1K2

?0，N(s)为输入，则系统的传递函数方框图

可以表示成图（题2.16.b）所示。

图（题

2.16.b）

根据相加点前后移动的规则可以将其进一步简化成图（题2 .16. c）和图（题2.16．d）所示的形式。

图（题

2.16.c）

图（题

2.16.d）

因此，系统在N(s)为输入时的传递函数为

?K4sG(s)?K1K2K3? G(s)K1K2???2Ts?s?K1K2K3N????

同样可得G(s)?K4sK1K2时，系统可消除干扰的影响。

2.17 系统结构如图(题2.17)所示，求系统传递函数。

(G1?G4)G2?G(s)?R(s)1?G1G2(1?G3)BC(s)

2.18 求出（题2.18）所示系统的传递函数XO(s)/X(s)i。

图(题2.18)

解：方法一：利用梅逊公式，可得

XO(s)G1G2G3G4??G(s)Xi(s)1?G1G2G3G4H3?G1G2G3H2?G2G3H1?G3G4H4B

方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.18.b）

图（题

2.18.b）

XO(s)G1G2G3G4??G(s)Xi(s)1?G1G2G3G4H3?G1G2G3H2?G2G3H1?G3G4H4B

2.19 求出图（题2.19）所示系统的传递函数XO(s)

/X(s)i。

图（题

2.19）

解：根据方框图简化规则，有图（题2.19.b）

图（题

2.19.b）

XO(s)G1G2G3?G4??G(s)Xi(s)1?(G1G2G3?G4)H3?G1G2G3H1H2B

2.20 求出图（题2.20）所示系统的传递函数XO(s)/X(s)i。

图（题2.20） 解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b）

图（题2.20.b）

XO(s)G1G2G5?G1G2G3G4G5??G(s)Xi(s)1?G1G2H1G3?(1?G3G4)G1G2G5?G2G3H2B2.21 设描述系统的微分方程为 (1)

???2y??y?0 (2) ???2y??y?A yy试导出系统的状态方程。

2.22 RLC电网络如图（题2.22）所示，u(t)为输入，流过电阻R2的电流i2为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。

2.23 系统传函数方框图为图（题2.23），试列写该系统的状态方程及输出方程。

2.24 图（题2.24）为某一级倒立摆系统示意图。滑台通过丝杠传动，可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链与滑台连接，可在沿直线平面内摆动。滑台质量为M，摆杆质量为m，摆杆转动惯量为J，滑台摩擦系数为c,摆杆转动轴心到杆质心的长度为L,加在滑台水平方向上的合力为u,滑台位置为x,摆杆与铅直向上的夹角为

?。

(1) 以u为输入，?为输出，列写系统的微分方程； (2) 求系统的传递函数；

(3) 试列写该系统的状态方程及输出方程。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ipo.html