第3章(一)刚体力学答案

大作业题解

刚体力学

一、选择题

C P T = mRβ TR = Jβ

PR = Jβ '

C

A

D合外力矩矢量和为0 合外力矩矢量和为 合外力可以不为0 合外力可以不为 Jω 不变

B

1 J 0ω0 = J 0ω ω = 3ω0 3

C

B机械能守恒 l 11 2 2 mg = ml ω 2 23 l 1 1 m l2 2 ω' mg = 4 23 2 4 ω ' = 2ω

机械能守恒 l 1 mg = Jω 2 2 2 3g ω=4 7l

m l 2 3m 3 2 7 1 J= + l = ml 2 3 4 4 4 4 48

A

二、填空题1. 一物体作定轴转动的运动方程为 θ = 20 sin 20t (SI), . ), 则物体在 t =0时的角速度 400rad·s-1 ;物体在改变转动方 时的角速度 向时的角加速度为 8000rad·s-2 。

dθ ω= = 400cos20 t dt改变转动方向时

dω β = = 8000sin20 t dt

ω =0

20 t =

π2

β = 8000sin

π2

= 8000

2 0.15m·s-2 1.26m·s-2

aτ = rβ = 0 .30 × 0 .5 = 0 .15 m s -2dω =β dt dω ω = 0 .5 dθ4π 3 0

a n = rω 2 4π = 0 .30 × = 1 .26 m s - 2 3

∫

ω

0

ω d ω = 0 .5 ∫

dθ

ω=

4π rad s 1 3

3.一根质量为 M,长为 l 的匀质细杆，一端连接一个质量 . 的匀质细杆， , 的小球， 为 m 的小球，细杆可绕另一端 O 无摩擦地在竖直平面内转 向下抛射， 动。现将小球从水平位置 A 向下抛射，使球恰好能通过最高 所示。 点C,如图所示。则下抛初速度 0= ,如图所示 则下抛初速度v 点 B 时，细杆对球的作用力为2

(3M + 6m) gl 3m + M ,在最低

15m + 7 M mg 3m + M

。C

1 2 1 1 2 v0 l mv0 + ( Ml ) = Mg + mgl 2 2 3 2 l 1 2 1 1 2 v mv + ( Ml ) = Mgl + mg 2l 2 2 3 l 2

lOAM

v2 F mg = m l

v0填空题3图

B

14rad s -1

转动定律 dω M = J dt

∫

8

0

M dt =

∫ω

ω 00

J dω

TR = J β mg T = ma a = Rβ

m(g a)R 2 J = a

M = Jβ kω 2 = Jβ

dω kω = J dt2

ω =

ω03

时，2

k ∫ dt = J ∫0

t

1 ω0 3

dω 0

ω0

ω 02

kω 0 β = 9J

2J t= kω 0

7.设有一均匀圆盘形转台，其质量为M,半径为 ，可绕 .设有一均匀圆盘形转台，其质量为 ，半径为R, 竖直中心轴转动， 然后， 竖直中心轴转动，初始时角速度为ω0。然后，有一质量也 的人以相对园盘转台以恒速率u沿半径方向从转台中 为M的人以相对园盘转台以恒速率 沿半径方向从转台中 的人以相对园盘转台以恒速率 心轴处向边缘走去，则转台的角速度与时间t的函数关系 心轴处向边缘走去，则转台的角速度与时间 的函数关系 为 。

1 1 2 2 2 2 MR ω 0 = ( MR + Mu t )ω 2 2 R 2ω 0 ω= 2 2 2 R + 2u t

1 2 MR ω Rm ( v ω R ) = 0 2 2mv (M = m 0 ) ω = (M + 2m ) R

三、计算题1.如图所示，两个匀质圆盘，一大一小，同轴地 .如图所示，两个匀质圆盘，一大一小，

粘结在一起，构成一个组合轮，小圆盘的半径为r, 粘结在一起，构成一个组合轮，小圆盘的半径为 ， 质量为m;大圆盘的半径为r¹=2r,质量 质量为 ；大圆盘的半径为 ，质量m¹=2m。组 。 合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的水平固定轴O 合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的水平固定轴 转动，整个组合轮对O轴的转动惯量为 轴的转动惯量为J=9mr2/2。 转动，整个组合轮对 轴的转动惯量为 。 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳， 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳的下端分别 悬挂质量皆为m的物体 的物体A和 ， 悬挂质量皆为 的物体 和B,这一系统从静止开始 运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变， 运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变，且不计 一切摩擦。已知r=10cm。求： 一切摩擦。已知 。 (1)组合轮的角加速度β; ) 上升h=40cm时，组合轮的角速度ω。 (2)当物体 上升 )当物体A上升 时

m′mO

r′

r

A

m计算题1图

m B

解： 1) A物：T mg = ma ( )对 对B物：mg T ' = ma ' 9 2 对圆盘：T '2r Tr = mr β 2 a = rβ a ' = 2 rβ

β=

2g 2 × 9. 8 = = 10.3 rad s 2 19r 19 × 0.1

上升h时 (2)物体 上升 时，组合轮转过的角度 )物体A上升

m′mO

h θ= r由运动学方程： 由运动学方程：

r′

r

ω = 2 βθ2

得组合轮在该时刻的角速度： 得组合轮在该时刻的角速度：

A

m计算题1图

m B

ω=

2βh = r

2 × 10.3 × 0.4 = 9.08rad s 1 0.1

2. 如图所示，两物体 和B的质量分 . 如图所示，两物体A和 的质量分 别为m 滑轮质量为m,半径r, 别为 1和m2,滑轮质量为 ，半径 ， 已知物体B与桌面间的滑动摩擦系数为 已知物体 与桌面间的滑动摩擦系数为 µ,不计轴承摩擦，求物体 下落的加 不计轴承摩擦，求物体A下落的加 速度和两段绳中张力。 速度和两段绳中张力。 解： 对m1:m1 g T1 = m1 a 对m2:T2 µm2 g = m2 a 1 2 对m:T1 r T2 r = mr β 2 a = rβ

B

m2

m

m1 A计算题2图

m1 (m1 µm2 ) T1 = m1 g g m m1 + m2 + 2

m2 (m1 µm2 ) g T2 = µm2 g + m m1 + m2 + 2

m1 µm2 a= g m m1 + m2 + 2

解：

两轮间没有相对滑动时： 两轮间没有相对滑动时：

r1ω 1 = r2ω 2由转动定律： 由转动定律：

1 fr1 = m1r12 β1 2 1 fr2 = m2 r22 β 2 2

f = µm1g

β1 =

ω1 ωt

β2 =

ω2 0t

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