高二数学同步测试：圆锥曲线综合

高二数学同步测试：圆锥曲线综合

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

x2y2x2y231．椭圆2?2?1 (a>b>0)离心率为,则双曲线2?2?1的离心率为 （ ）

2abab52A． B．5 C． D．5

43242．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为

（ ） A．x2?8y B．x2??8y C．x2?16y D．x2??16y

1

3．圆的方程是(x－cos?)2+(y－sin?)2= ,当?从0变化到2?时，动圆所扫过的面积是 （ ）

222)? 224．若过原点的直线与圆x+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）

A．22? B．? C．(1?2)? D．(1?A．y?3x B．y??3x C．y?3x 3D．y??3x 3x2y25．椭圆??1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|

123是|PF2|的 （ ） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 6．以原点为圆心，且截直线3x?4y?15?0所得弦长为8的圆的方程是 （ ）

A．x2?y2?5 B．x2?y2?25 C．x2?y2?4 7．曲线?D．x2?y2?16 D．3

（ ） （ ）

?x?2cos?（?为参数）上的点到原点的最大距离为

?y?sin?C．2

A． 1 B．2

8．如果实数x、y满足等式(x?2)2?y2?3，则

A．

1 22

y最大值 x33B． C． D．3

32y29．过双曲线x－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A, B两点，若|AB|=4，则这样的直线

2l有 （ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

10．如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点

C，若BC?2BF，且AF?3，则此抛物线的方程为 y （ ） A．y2?A 3x 29 C．y2?x

2B．y2?3x D．y2?9x

C O F B x 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．椭圆的焦点是F1（－3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中

项，则椭圆的方程为_____________________________．

1

12．若直线mx?ny?3?0与圆x2?y2?3没有公共点，则m,n满足的关系式为 ．

22xy以（m,n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆??1的公共点有 个. 73y22?1上一点，焦点F（2，0）13．设点P是双曲线x?，点A（3，2），使|PA|+1|PF|有最小32值时，则点P的坐标是________________________________．

14．AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值

为 .

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

2215．P为椭圆x?y?1上一点，F1、F2为左右焦点，若?F1PF2?60?

259（1） 求△F1PF2的面积；

（2） 求P点的坐标．（12分）

16．已知抛物线y2?4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，

M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．（12分）

2

17．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2) 为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．（12分）

18．如图，过抛物线y2?2px(p?0)上一定点P（x0,y0）（y0?0），作两条直线分别交

抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）． （1）求该抛物线上纵坐标为

p的点到其焦点F的距离； 2

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1?y2的值，并证明直线AB的斜率

y0y 是非零常数.（12分）

P O x A B 3

19．如图，给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点，?BOA的角平分线

交AB于点C. 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.（14分） l y

B C

A O x

x2y2x2y220．椭圆C1：2?2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2：2?2=1在

abab第一象限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD

的面积相等．

（1）求P点的坐标；

（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）

4

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

x2y2??1 12．0?11．

3627m2?n2?3, 2 13．(215,2) 14． 32三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）

[解析]：∵a＝5，b＝3?c＝4 （1）设|PF1|?t1，|PF2|?t2，则t1?t2?10 ①

2t12?t2?2t1t2?cos60??82 ②，由①2－②得t1t2?12

113t1t2?sin60???12??33 2223333，（2）设P(x,y)，由S?FPF?1?2c?|y|?4?|y|得 4|y|?33?将y??33 ?y??|y|?124244?S?F1PF2?代入椭圆方程解得x??513，?P(513,33)或P(513,?33)或P(?513,33)或P(?544444441333 ,?)4416．（12分）[解析]：设M（x,y），P（x1,y1），Q（x2,y2），易求

1?x2∵M是FQ的中点，∴ 22yy?2x? y?4x的焦点F的坐标为（1，0）

x2?x12yy2?122?x2?2x?1y2?2y，又Q是OP的中点∴

?x1?2x2?4x?2，

y1?2y2?4y ∵P在抛物线

y2?4x上，∴(4y)2?4(4x?2)，所以M点的轨迹方程为y2?x?1.

214a217．（12分）

[解析]：（1）当a?1时，y2?x,表示焦点为(,0)的抛物线；（2）当0?a?1时，(x?1?a)(a2)1?a?y2a21?a2?1，

表示焦点在x轴上的椭圆；（3）当a>1时，

(x?a2)2，表示焦点在x轴上的双曲线. （1设1?a?y?12a2a()21?aa?1双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆x2?(y?2)2?1相切，∴双曲线C的两条

22渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为x?y?1．

22aa又双曲线C的一个焦点为(2,0)，∴2a?2，a2?1．∴双曲线C的方程为:x2?y2?1.

2（2）由?y?mx?1得(1?m2)x2?2mx?2?0．令f(x)?(1?m2)x2?2mx?2

?22?x?y?1∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(??,0)上有两个不等实根． 因此????0，解得1??2?2m?0且?0?1?m2?1?m2m?2．又AB中点为(m2,1?m1)，

1?m2∴直线l的方程为：y?122． (x?2)． 令x=0，得b??22?2m?m?2?2m?m?2?2(m?1)2?1748 5

∵m?(1,2)，∴?2(m?1)2?17?(?2?2,1)，∴b?(??,?2?2)?(2,??)．

48

pp18．（12分）[解析]：（I）当y?时，x?

28p2 又抛物线y?2px的准线方程为x??

2 由抛物线定义得，所求距离为p?(?p)?5p

y P O x 828 （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由

A B 2p(x1?x0)

y1?y0y1?2px1，y0?2px0

?y0)(y1?y0)?2p(x1?x0),故kPA?y1?y0?x1?x022 相减得(y12p(x2?x0),由PA，PB倾斜角互补知kPA??kPB

y2?y02p2p,所以y?y??2y, 故y1?y2 即????2 120y1?y0y2?y0y0 同理可得kPB? 设直线AB的斜率为kAB,由y2?2px2，y122?2px1,相减得(y2?y1)(y2?y1)?2p(x2?x1)

所以k

AB?y2?y12p?(x1?x2), 将y1?y2??2y0(y0?0)代入得

x2?x1y1?y2kAB?2pp??，所以kAB是非零常数.

y1?y2y0

19．（14分）[解析]：设B（－1，b），lOA：y=0, lOB:y=－bx,设C（x,y），则有0?x

知点C到OA，OB距离相等，?y?得，得y(1?a)x?2ax?(1?a)y2y?bx1?b22①及C在直线AB: y??b?x?a?②上，由①②及x?a1?a2?2ax?(1?a)y2?0.

20．（14分）[解析]：（1）设P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，又有点A(－a,0),B(a,0). ?S?ACD?S?PCD,

22x0?ay0,得(x0?a)?y0?4， ,).将C点坐标代入椭圆方程22a2b2222(x0?a)2x0x0y0?2?5，?x0?2a(x0??a舍去),?y0?3b，?P(2a,3b). 又??1 ?a2aa2b2?2??0 若y=0,则b=0 满足(1?a)x?C为AP的中点,?C(（2）?KPD?KPB?3b22x2y2y03b直线PD:代入y?(x?a)?2?1?2x?3ax?a?0 ?,2ax0?aaaba(xD?a舍去)，?C(x0?a,y0),即C(a,3b)∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点，2222222则a?a2?b2,?b?3a,?e?a?b?7.故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为7.22a22?xD?

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∵m?(1,2)，∴?2(m?1)2?17?(?2?2,1)，∴b?(??,?2?2)?(2,??)．

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pp18．（12分）[解析]：（I）当y?时，x?

28p2 又抛物线y?2px的准线方程为x??

2 由抛物线定义得，所求距离为p?(?p)?5p

y P O x 828 （2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由

A B 2p(x1?x0)

y1?y0y1?2px1，y0?2px0

?y0)(y1?y0)?2p(x1?x0),故kPA?y1?y0?x1?x022 相减得(y12p(x2?x0),由PA，PB倾斜角互补知kPA??kPB

y2?y02p2p,所以y?y??2y, 故y1?y2 即????2 120y1?y0y2?y0y0 同理可得kPB? 设直线AB的斜率为kAB,由y2?2px2，y122?2px1,相减得(y2?y1)(y2?y1)?2p(x2?x1)

所以k

AB?y2?y12p?(x1?x2), 将y1?y2??2y0(y0?0)代入得

x2?x1y1?y2kAB?2pp??，所以kAB是非零常数.

y1?y2y0

19．（14分）[解析]：设B（－1，b），lOA：y=0, lOB:y=－bx,设C（x,y），则有0?x

知点C到OA，OB距离相等，?y?得，得y(1?a)x?2ax?(1?a)y2y?bx1?b22①及C在直线AB: y??b?x?a?②上，由①②及x?a1?a2?2ax?(1?a)y2?0.

20．（14分）[解析]：（1）设P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，又有点A(－a,0),B(a,0). ?S?ACD?S?PCD,

22x0?ay0,得(x0?a)?y0?4， ,).将C点坐标代入椭圆方程22a2b2222(x0?a)2x0x0y0?2?5，?x0?2a(x0??a舍去),?y0?3b，?P(2a,3b). 又??1 ?a2aa2b2?2??0 若y=0,则b=0 满足(1?a)x?C为AP的中点,?C(（2）?KPD?KPB?3b22x2y2y03b直线PD:代入y?(x?a)?2?1?2x?3ax?a?0 ?,2ax0?aaaba(xD?a舍去)，?C(x0?a,y0),即C(a,3b)∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点，2222222则a?a2?b2,?b?3a,?e?a?b?7.故可使CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为7.22a22?xD?

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