固体物理学习题解答(完整版)

《固体物理学》部分习题参考解答

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf

=

22

a

对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb

=a

那么，

RfRb

3

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

正方 六方 矩形 带心矩形 平行四边形

a=b a=b a=b a≠b a≠b

a^b=90° a^b=90° a^b=120° a^b=90° a^b≠90°

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)

答：证明

设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此

a1 n hd

a2 n kd ……… (1) a3 n id

ooo

由于a3=–（a1+ a2）

a3 n (a1 a3) n

o

o

把（1）式的关系代入，即得

id (hd kd) i (h k)

根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），31)(

→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，

（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

6

（2

8

（3

）面心立方：

6

（4

）六方密堆积：

6

（5

）金刚石：

16

。

答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：

Z Ni

12N

f

14

Ne

18

Nc

边长为a的立方晶胞中堆积比率为

F Z*

43

ra

33

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么： θ=

4/3 r(2r)

33

=

6

（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r

，那么：

θ=

2

(4/3 r)3

=

8

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r

，则其边长为，那么：

4

(4/3 r)3

θ=

=

6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

2

(

4 r)

3

θ

2

=

6

（5）对于金刚石结构

Z=8 8r

那么F Z*

43

ra

33

8

43

8

=

3

16

.

1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？

（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。

-10

显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

-303

（2）晶胞的体积= c (a b)= 3k (3i 3j)=27*10(m)

原胞的体积=c (a b)=

12

(3i 3j 3k) (3i 3j)=13.5*10(m) 2

a2

2

a2

-303

1.7

六方晶胞的基失为：a i

j，b i j，c ck

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c）

=

2c

2

那么，倒格子的基矢为b1

2 (a b)

2 c

2 (b c)

2

2 a

j ，b2

2 (c a)

2

2 a

j ，

b3

k

其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为

dhkl

1

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距

分别为

dha1

a1h

，

a2k

，

a3ldla3

。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是

n x

dka2

y z

这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

(dha1

) (

2

dka2

) (

2

dla3

) 1

2

故d [(

ha1

) (

2

ka2

) (

2

la3

)]

2

12

1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ

（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；

（3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

I Fhkl| f[1 cos n(h k l)] f

2

2

2

sin n(h k l)

2

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式

2dhklsin (n 1)

得 d110 同法得

d200

2sin 1

1.54052sin19.611

o

2.295 10

10

(m)

2sin 2

1.6334 10

10

(m)

d211

2sin 3

1.3377 10

10

(m)

d220

2sin 3

1.1609 10

10

(m)

d310

2sin 4

1.0403 10

10

(m)

应用立方晶系面间距公式

dhkl

可得晶格常数a dhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897

取其平均值则得

a 3.2725 10

10

(m)

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.

答：参看下图，晶体点阵初基矢量为a1 ai

a2

12

ai

2

aj

用正交关系式bi aj 2 ij 2 ,i j

i j

求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 b1 b1xi b1yj b2 b2xi b2yj

由b1 a1 2 b1 a2 0 b2 a1 0 b2 a2 2 得到下面四个方程式

ai (b1xi b1yj) 2 （1）

12

2

(ai

aj) (b1xi b1yj) 0 （2）

ai (b2xi b2yj) 0 （3）

12

2

(ai

aj) (b2xi b2yj) 2 （4）

由（1）式可得：b1x

2 a

由（2

）式可得：b1y

由（3）式可得：b2x 0 由（4

）式可得：b2y 于是得出倒易点阵基矢

b1

2 ai

j b2

j

第三章 习题答案

3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10

－1

力常数β＝15N·m 解：一维单原子链的解为Xn

Ae

i( t qna)

－27

kg，恢复

据周期边界条件 X1 XN 1，此处N=5,代入上式即得 e

i(5a)q

1

所以 5aq＝2 （ 为整数） 由于格波波矢取值范围：

a q

a

。 则

52

52

故 可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢： 由于

4 m

4 5a

,

qa2

2 5a

,0,

2 5a

,

4 5a

，代入 ，m及q值

则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）

13131313

8.06×10，4.99×10，0，4.99×10，8.06×10

3.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为

2N

(

2m

)

2

12

式中 m

4

m

是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为

N

解：对一维单原子链，dN 所以

2 q

d dq

2 q dq ( )d q dq

（1）

由色散关系

d dq

4 m

cos

qa2

4 m a2

sin

qa2

求得

(1 sin

2

4 am

2

qa2

)

1/2

a2

[(

4 m

) ]

21/2

（2）

而 q 由于 N

L2

Na2

， 则由（1）式可得

2Na2 4 m

a4 2N21/222 1/2

[ ] ( m )2m

m

，则总的振动模数为

wm

d

wm

2N

( m 2)

2 1/2

d

令

m

sin

，则积分限为0到 /2 ， 故

N

2

2

cos

1

cos d

2N

2

N

9N

3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为

解：由书上（3－69）式可得 g v

由（3－71）可得 D由此可得 2 2v3

9N

3

3m

2

32

2

v

23

（1）

m 6 n

2

1/3

v

m3n

，代入（1）式得

3m

2

－27

3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10

－1

β＝15N·m，试求

kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数

（1） 光学波的最高频率和最低频率 max和 min； （2） 声学波的最高频率 max； （3） 相应的声子能量（以eV为单位）；

（4） 在300K可以激发频率为 max， min和 max的声子的数目； （5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）

MmM m

45m

A

A

max

2

2 m2 M

2

6.70 10

13

rad/sec 1.07 10

13

Hz

min

5.99 10

13

rad/sec 0.95 10

13

Hz

max

（2） max

A

3.00 10

13

rad/sec 0.48 10

13

Hz

4.41 10eV

min

3.95 10

2

eV

A

max

1.97 10

2

eV

（3）n

1e

w/kT

1

nmax 0.221

， nmin 0.276 ，

cv c 2

nmax 0.873

A

（4） 光速c

v

，

max

2.8 10

5

m 28 m

3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于 和10 ， 且

最近邻的距离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出q 0和q

/a

处的 q 。

解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

x 2n 10 x2n 1 x2n x2n x2n 1 m

原子的运动方程应是

mx x x x x2n 12n 22n 12n 12n 2n 10x2n 1 x2n 1 11x2n x即 m

2n 1 x2n 2 10x2n 11x2n 1 x m

求格波解， 令 x2n Ae

qa

i 2n t

2

，x2n 1 Be

qa

i 2n 1 t

2

代入运动方程，可导出线性方程组为：

11 2 iqa/2 iqa/2

A 10e eB 0 mm

iqa/211 iqa/22 e 10eA B 0 m m

令

m

0，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得

2

2

11

22

0(10e

4

iqa/2

e

iqa/2

)(e

iqa/2

10e

iqa/2

) 0

可解出

2

011

2

20cosqa 101

色散关系见下图

22 0， 0

q 0时，cosqa 1，

q

a

时，cosqa 1， 20 0，

2 0

3.6．在一维双原子链中，如Mm 1，求证

2 M

2 m

1

qa

m2M

2 (1 cos

2

qa)

[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 1

2

Mm

m M {1 [1

4mM(m M)

2

sin

2

qa]

1/2

}

M m，

2

4mMmM

1 由近似式

1

4mM

2

1 x n

2

1 nx

，(当x 1）

得 1

m MmM

{1 [1

2(m M)

sinqa]

1/2

}

2 m M

sin

2

qa

2 M

sin

2

qa，

1

2

2 M

sinqa

对 2，由于M m，M m M 2

m

2

(m M)

mM

{1 [1

4mM(M m)4Mm

2

sinqa ]

1/2

}

{1 [(

M mM m

)

2

M

4mM

m

2

4Mm

M

1/2

m

2

cos

2

qa]

1/2

}

m

{1 [(

M mM m

)

2

cos

2

qa]}

m

{1 1

mM

14m2M

2

cosqa}

2

2 m

{1

cosqa}

2

2 m

mM

cos

2

qa

2 m

(1

m2M

cos

2

qa)

3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界q

2a

处，声学支格波中所有

轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得

AB

2 cosqa2 m

2

，当q

2a

时 cosqa 0 且对声学

2

支

M

1/2

，代入上式即得：

AB

02 2

mM

0 ，故A＝0， 轻原子静止

再由（3－18）第二式得

BA

1/2

2 cosqa2 M

2

，当q

2a

时cosqa 0

2

且对光学支，

M

，代入上式即得

BA

02 2

mM

0 故B＝0， 重原子静止

3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10％的振动，推证，对于简单晶格，

2 50kBTm

接近熔点时原子的振动频率

a M

1/2

，其中M是原子质量。

[解] 当质量为M的原子以频率 及等于原子间距a的10％的振幅振动时，其振动能为：

E

12M A

2

2

2 a

M 原子的能量可按照能量均分定理处理， 在熔点Tm时，210

1

2

a

即一个一维原子的平均能量为kBTm，于是有M kBTm，由此得

2 10

2

1

2

2 50kBTm

a M

1/2

1 D

3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv 3NkB[1 ]

20 T

2

证明：由书（3.73）式可知Cv 9NkB(T/T D)

3

DT0

exdx

x4

e

x

1

2

在高温时，T D，则在整个积分范围内x为小量，因此可将上式中被积函数化简为

ex

x

4

e

x

1

2

x

4 x/2

e

x/2

e

x

4

2

x1

2

x x 24

3

x

2

2

x

x 1 12

2

12

3

5

1 1 D 3D

将上式代入Cv的表达式，得Cv 9NkB(T/T D)

3T60T 1 D 1 D

9NkB(T/T D) 1

3 T 20 T

3

3

2

1 D

3NkB 1

20T

2

3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为

2

，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能

3V 2

2

23

解：由（3－69）式知，状态密度 g V

v

则 E0

D

0 d

D

12

3V 2

2

23

v

d

3 V14 316

22

2

v

3

3

D

d

3

316

2

Vv

3

D

40

Vv

D

4

D

6

316

V N

1/3

v

NV

98

E0

V

2

v

3

6

2

v D

3

N D

3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下

其比热正比于T

证明：此题可推广到任意维m，由于

dN g q dq Cdq

m

2

Cq

1m 1

dq g d

1

g C1qm 1 d

dq

而德拜模型中 vq，故g q

m 1

m 1

C 2

e BTgv kB kBT d

e k

2 BT

1 令

，则上式变为

kT

xm 1

C

T

m 1

T

ex

x

m 1

m

xp

v e

x

1

2

T

exx

e

x

1

2

dx

在低温时 x DD kT

1

则积分

exx

m 为一个于T无关的常数

e

x

1

2

故 Cv T

m

对三维 m＝3

Cv T

3

对本题研究的二维 m＝2 C2

v T

对一维 m＝1

Cv T

设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为U r

e

2

3.12r

br

a

， b为待定常数，衡间距r 10

0 3 10

m，求线膨胀系数。

解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 3

gk

B

4

f2

r

其中：f 1 d2

U

1 d3

2 dr

2

，g U 3 r3! 0 dr

r0

dU

e29be2

由平衡条件 r8 dr 2 10 0 b0 r0r0r 0

92

f

2e

2 90b2r3

， g 1 6e2

0

2r11

4e0

r3

6 990b

52e20

r412

3r4 0r00 由于 r0 3 10

8

m ，e 4.806 10

10

CGSE

平

kB 1.381 10

16

erg/K

/K

13r0kB16e

2

1.46 10

5

3.13 已知三维晶体在q 0附近一支光学波的色散关系为 q 0 Aq

2x

Bq

2x

2y

Cq

2

2z

， 试求格波的频谱密度

2

解： 0 Aq

qxA

2

Bqy Cqz

则

0

qyB

2

0

qzC

2

0

43

1

这是q空间的一个椭球面，其体积为 abc，而

0 A

/2

a ，b

0 B

/2

，c

0 C

/2

q

V L

空间内的状态密度 q 3

(2 ) 2

1/2

3

，故椭球内的总状态数N为

N

V

2

3

4 1

3 ABC dNd

V4

2

0

1/2

3/2

/2

故

1 ABC

0

1/2

V4

2

0 ABC

第四章

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？

答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？

答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式

nN

EukBT

e

可得

nN

0.67 1.6 101.38 10

23

19

e

300

=5.682*10-12

15

4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。 答：由公式

EakBT

v voe

0.1eV

可得

v voe

1.38 10

23

300

=2*10*0.02=4*10

1513

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；

（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。 答：

（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为

W1

N!(N n)!n!

同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是

W2

N!(N n)!n!

于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数

W W1W2 [

N!(N n)!n!

]

2

由此而引起晶体熵的增量为

S kBInW 2kBIn

N!(N n)!n!

设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

F U T S nw 2kBTIn

N!(N n)!n!

（1）

热平衡时，(

( F n

F n

)T 0，并应用斯特令公式InN! NInN n，从（1）式得

n

[NInN (N n)In(N n) nInn] w 2kBT[In(N n) Inn] w 2kBTIn

w

)T w 2kBT

N nn

0

nN n

e

2kBT

因为实际上N»n，于是得

n/N=Bexp（-W/2kBT）

（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是 V 2na 式中a为离子最近邻距离。因为V 2Na为晶体原有的体积，有上式可得

VV

2na2Na

33

3

3

nN

EA/kBT

4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：D Doe下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：

试确定常数Do和扩散激活能EA. 答：由公式 D Doe

EA/kBT

，可得

当T=878，D=1.6*10时，D01=

4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式

nNnN

-20

EukBT

e

可得：对于铜

0.3

8.6 10

5

e

1000

0.03

对于硅

nN

2.8

8.6 10

5

e

1000

7.247 10

15

4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。 答：

4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。

答：如图所示：

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。

答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。

（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则

|b|

2

（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

|b|

2

（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a，因此，

|b| a

向和大小用伯格斯矢量表示为b 还是螺位错。

第六章

6.1 一维周期场中电子的波函数 k x 应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为

（1） k x sin

ax

12

[110]。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错

（2） k x icos

3 a

x

（3） k x

f x a （f是某个确定的函数）

i

试求电子在这些状态的波矢

ika

解：布洛赫函数为 k x a e k x

（1）sin

a

(x a) sin(

a

ika

x ) sinsin

a

x

sin e

ika

a

(x a) e

a

x

1 ，ka ，k 3 a

a

（2）icos

x a

ika

3 3

icos x 3 icosx

a a

同理， e

1 ，ka ，k

a

（3）

f x a a f x ( 1)a

f x 'a f x a 此处 ' 1

'

e

ika

1，ka 0或2 ，k 0或

2 a

1 7

coska cos2ka ，式中a

8 8

6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成E k

22

ma

是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，

（3） 在带顶和带底的电子的有效质量

解：能带宽度为 E Emax Emin， 由极值条件 sinka

14

sin2ka sinka

12

sinkacoska 0

dE k dk

0， 得

上式的唯一解是sinka 0的解，此式在第一布里渊区内的解为k 0或

当k＝0时，E k 取极小值Emin，且有Emin E 0 0

当k

a

a

时，E k 取极大值Emax ，且有Emax

2

E

ma a

22

由以上的可得能带宽度为 E Emax Emin

1dE k

dk

2 ma

22

（2）电子的平均速度为v

1 sinka sin2ka ma 4

（3）带顶和带底电子的有效质量分别为

m

k

a

12 1

2 m coska cos2ka

2 E

2 k k

a

k

23

m

a

m

k 0

1

2 1 2 m coska cos2ka

E2 2

k k 0

2m

6.3 一维周期势场为

1 mW

V x 2

2

b

2

x na0

2

当na b x na b当(n 1)a b x na b

，

其中a 4b ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度

解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为

Eg 2n

，

其中Vn是周期势场V x 傅立叶级数的系数，该系数为：

1a

a/2

i2 anx

Vn

V x e

dx

a/2

求得，第一禁带宽度为

Eg1 21 2

1a

a/2

V x e

i

2 a

x

dx

a/2

2

14b

b

mW2

2

b b

2

xe

2

i

2 a

nx

dx

b

2

14b

b

3

mW2

2

2

2

x

2

cos

b

x dx 2b

8mW

2

b

第二禁带宽度为

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