线性方程组解的情况及其判别准则

线性方程组解的情况及其判别准则

摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。

关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩

Abstract: In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra. This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position.

space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank

线性方程组解的情况及其判别准则

一、线性方程组理论的发展进程

早在初等代数的学习中，我们就讨论过一元二次方程和二元一次方程组，他们是线性方程组中最简单的两种形式。近年来，线性代数被广泛的应用在自然科学和工程技术中，在实际问题中常常需要处理几十个、几百个甚至成千上万个未知量的线性方程组，且方程组中方程的个数与未知数的个数也不一定相等，所以就需要对一般线性方程组的求解情况进行讨论分析。下面就具体讨论线性方程组解的情况及其判别准则。

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中就作了比较完整的论述，其所述方法实质上相当于现代的高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的，他曾研究含两个未知量的三个线性方程组成的方程组。

1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式，既人们熟悉的克莱姆法则。

1764年，数学家贝祖把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。

大约在1800年，高斯提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，后者证明了线性方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，这是现代方程组理论中的重要结果之一。现在我们解线性方程组正是通过对增广矩阵施行初等行变换进行的。

此后的一百多年间，线性方程组的一般理论已逐渐趋于成熟，而人们对线性方程组的研究也从理论转移到应用上来了。线性方程组在实践中应用的非常广，如天气预报、运输调度、安排生产、飞机飞行所涉及的空气动力学等等……在当代，人们正在努力研究出一下适合特殊情况下的大型线性方程组的求解方法。例如，徐成贤、孔麦英在《大型稀疏矩阵线性方程组的一种稳定解法》中研究了如

何恰当地把这种方法嵌入到高斯消去法中，得到的算法使得高斯消去法总是能稳定有效地求解。

二、一般线性方程组的理论

定义1 用x1,x2,?,xn表示未知量在数域F上一般线性方程组的模型为， a11x1?ax12??2?anxn1?b a21x1?ax22??2?anxn2?b ????

am1x1?a???am2x2mnxn? bm其中每个方程左端是未知量x1,x2,?,xn的一次齐次式，左端是常数（称为常数项）。与未知量相乘的数称为系数，aij?F是第i个方程中xj的系数

i?1,2,?,m;j?1,2,?,n.方程组（1）称为含有m个未知量，n个方程的线性方?a11?a1n???A??????称为方程组（1）的系数阵；程组(m?n,m?n或m?n都可能）?a??m1?amn?（1）

?a11?a1n?B?而矩阵?????a?m1?amnb1????称为方程组（1）的增广阵。 bm??（一）线性方程组解的判别准则

在向量理论和矩阵理论的基础上，我们可以得出以下关于线性方程组解的情况的判定

定理1（线性方程组有解判别定理）线性方程组（1）有解的充分必要条件是其系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，即r(A)?r(B)。

下面再来讨论方程组（1）有解的情况下解的结构问题。 定理2 在r(A)?r(B)的条件下，有 Ⅰ 如果r(A)?n，则方程组（1）有唯一解； Ⅱ 如果r(A)?n，则方程组（1）有无穷多组解。

证明参见【5】

（二）线性方程组解的结构

在方程组有唯一解的时候当然没有什么解的结构，在无穷多个解的时候才有条件讨论解的结构，所谓线性方程组解的结构是指解与解之间的关系。在讨论一般线性方程组解的结构之前，我们先来研究齐次线性方程组解的结构。

1、

齐次线性方程组解的结构

定义2 称形如

a11x1?a12x2???a1nxn?0 a21x1?a22x2???a2nxn?0 ???? am1x1?am2x2???amnxn?0

的线性方程组为齐次方程组。其系数阵为A，令X?(x1,x2,?,xn)?,0??0,0,?,0??则有 AX=0。

定义3 把（2）的一个解x1,x2,?,xn看成一个n维列向量(x1,x2,?,xn)T，称为齐次线性方程组的一个解向量，记做V?(x1,x2,?,xn)T。

齐次线性方程组一定有无穷多个解空间（都是n维向量），这无穷多个解向量的全体构成一个向量空间，叫做齐次线性方程组的解空间W。当然，这无穷多个n为解向量是线性相关的，因此只要找出它的一个极大无关解向量组，就可以用它的线性组合来表示齐次线性方程组的全部解向量。

定义4 如果V1,V2,?,Vn是齐次线性程组（2）的解向量组的一个极大无关组，则称V1,V2,?,Vn是齐次线性方程组（2）的一个基础解系。

定理3 如果齐次线性方程组（2）的系数矩阵A的秩r(A)?r?n，则齐次线性方程组必定存在基础解系，且每一个基础解系中所含的解向量的个数为

（2）

n?r个。

证明：由于r(A)?r?n，说明独立的方程的个数少于未知量的个数。假如对增广矩阵B作初等行变换化成了如下的形状：

?10?0k1r?1?k1n0???01?0k?k02r?12n????????????B???

?00?1krr?1?krn0??????????????00?0?0?00??这说明齐次线性方程组（2）与下列方程组同解：

x1??k1r?1xr?1???k1nxn x2??k2r?1xr?1???k2nxn ???????? xr??krr?1xr?1???krnxn

其中的xr?1，?，xn为自由未知量，他们是可以任意取值的，现对他们分别取为

?xr?1??1??0??0?????????x010?r?2????????,,?, ????????????????????x00?1??n?????就可以得到齐次线性方程组（2）的n?r个非零解向量为

??k1r?1???k1r?2???k1n????????k?k?k?2r?1??2r?2??2n?????????????????k?k?k V1??rr?1?,V2??rr?2?,?,Vn?r??rn?

?1??0??0????????0??1??0??????????????0???0???1????????他们就是齐次线性方程组（2）的一个基础解系。

显然V1,V2,?,Vn?r线性无关，因为设V?(d1,d2,?,dn)?是（2）的任一个解向量，故

d1??k1r?1dr?1?k1r?2dr?2???k1ndn

d2??k2r?1dr?1?k2r?2dr?2???k2ndn

???????????????

dr??krr?1dr?1?krr?2dr?2???krndn

用向量表示为V?dr?1V1?dr?2V2???dnVn?r，因此V1,V2,?,Vn?r线性相关。

这就是说，基础解系V1,V2,?,Vn?r构成了齐次线性方程组的解向量空间的一组基，任何一个解向量都可以有这组基线性表示。所以齐次线性方程组的全部解向量为V1,V2,?,Vn?r的线性组合：

V?cV11?c2V2???cn?rVn?r

由此得出了求齐次线性方程组（2）的基础解系方法：

第一步 对其系数矩阵机型初等行变换，判别是否有非零解。

第二步 若有非零解，写出与原方程组同解的方程组，给自由未知量赋值，找出其一个基础解系。

第三步 写出通解。 下面举一个例子来具体说明

例1 求齐次线性方程组

x1?x2?x3?x4?0 x1?3x2?x3?3x4?0 x1?2x3?3x4?0 的基础解系和其通解。

?1?1?11??10?23?????解： A??1?31?3???01?12?

?10?23??0000?????因为r(A)?2,n?r?4?2?2，且左上角化成了2阶单位方阵，所以基础解系中应含有2个解向量。从矩阵的第3，第4列即可求出：

?2???3?????1?2 V1???,V2???

?1??0?????0???1?这就是要求的基础解系。

齐次线性方程组的通解为

?2???3??2???3?????????1?21?2 V?c1V1?c2V2?c1???c2??V?c1V1?c2V2?c1???c2??

?1??0??1??0?????????010???????1? （c1，c2为任意常数）

利用齐次线性方程组的结构我们可进一步讨论非齐次线性方程组解的结构。

2、 非齐次线性方程组解的结构 先介绍一个名词：导出组

?2???3?????1?2???? 将非齐次方程组U??U1?V?U??U1c1V1?c2V2?c1 ?c?1?2?0?????0???1?AX?B ?1??

中的常数项B换成O,O得到的齐次线性方程组 AX?O ?2??

称为非齐次线性方程组（1）的导出组

非齐次线性方程组的解向量与其导出组的基向量之间有以下关系：

1? 非齐次线性方程组?1??的一个解向量U1与其导出组?2??的一个解向量

V1之和，还是?1??式的一个解向量。

2? 非齐次线性方程组?1??的两个解向量U1与U2之差，使其导出组?2??的

解空间。

定理4 如果U1是非齐次线性方程组的一个解，V使其导出组的全部解，则齐次线性方程组的通解为

U?U1?V

证明：设U?是（1）的任一个解，V1是（2）的某一个解，则由上面讲的关系2知

?V1?U??U1

这说明：（！）的任一个解U?一定是（1）的一个解U?与其导出组的某一解V1之和。当改变V1时，就可以改变U?。由于V是（2）的全部解，所以U1?V必是（1）的全部解。

为了方便，把导出组的基础解系就称为（1）的基础解系。此时，取导出组?2??的一个基础解系V1,V2,?,Vn?r，其中r是系数矩阵A的秩。则非齐次线性方程组（1）的解集U为

U??X0?c1V1?c2V2???cn?rVn?rci?F,i?1,2,?n?r?，其中是非齐次线性

方程组（1）的一个特解。

解集U的代表元素

X0?cV,2,?n?r?称为非齐次线性方程组11?c2V2???cn?rVn?r?ci?F,i?1（1）的通解。

求非齐次线性方程组的全部解的方法：

第一步：求出其导出组?2??的全部解V； 第二步：求出（1）的一个解U1；

第三步：将U1与V相加即得（1）的全部解。

至此，线性方程组的解的结构已经讨论完毕，下面进行举例说明。 例2 讨论线性方程组

?ax1?x2?x3?4??x1?bx2?x3?3的解的情况。 ?x?2bx?x?423?1a11解：其系数行列式A?1b1??b(a?1) 12b1① 当b?0且a?1时，A?0，所以原方程组有唯一解。 ② 当b?0时，增广阵

?a114??a114??011?a4?3a????1013???10? B??101313?????????01??1014???0001???00?13??10? ??011?a4?3a???01??00?得2=秩A<秩B=3，原方程组无解；

4??1114??111???010? 1b132③ 当a?1时，增广阵B?????????12b14???000?2b?1??易见，当b?

11时，方程组有无穷解，当b?时，方程无解。 22

例2

?x1?x2?x3?x4?0?求非齐次线性方程组?x1?x2?x3?3x4?8的通解。

?x?x?2x?3x??434?12解：对方程组的增广阵B作初等变换，有

?1?1?110??1?10?14????001?24??B B??1?11?381??????1?1?23?4????00000??由B确定的非齐次线性方程组的导出组为

?x1?x2?x4?0 ?x?2x?04?3?x1?x2?x4即有 ?

?x3?2x4?x2??1??0?此时x2,x4是自由未知量，分别令?????,?? 所以导出组的基础解系是

?x4??0??1??1??1?????10 V1???,V2???

?0??2?????0???1??4??0?另外令自由未知量x2?x4?0，得原方程组的一个特解V0???

?4????0?所以原方程组的通解为V?l1V1?l2V2?V0 其中l1,l2是任意的数。

三、线性方程组一般理论在解析几何问题中的应用

在解析几何中，直线、平面的俄方称都是一次线性方程。因此，线线关系、面面关系、面线关系，均可用线性方程组理论加以解决，尤其是用线性方程组解的结构判断其位置关系，更是极为方便，是看下例： 例3 讨论空间两条直线 L1: A1x?B1y?C1z?D1?0A2x?B2y?C2z?D2?0 L2:

A3x?B3y?C3z?D3?0A4x?B4y?C4z?D4?0

的位置关系。

分析：空间两条直线的位置关系，有相交、平行、重合、异面四种，判断他们的位置关系就是看它们是否有交点、有几个交点，这样就可以将它们联立为线

性方程组，利用其解的结构来判断。

?A1?A2解：设 A???A3??A4B1B2B3B4C1??A1??C2?A,B??2?A3C3???C4??A4B1B2B3B4C1?D1??C2?D2?

C3?D3??C4?D4?分别为它们联立线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。令rankA?r,rank(B)?s

（1）r?s?3时，方程有唯一解，故两直线相交；

（2）r?2,s?3时，方程组无解，即两条直线无交点，且A中有两行线性相关，故两直线平行；

（3）r?s?2时，方程组的解为一维仿射子空间，故两直线重合；

（4）s?4时,方程组无解，且A中任意两直线线性无关，故两直线异面。 例4 讨论空间三个平面的位置关系： 平面M1:A1x?B1y?C1z?D1?0； 平面M2:A2x?B2y?C2z?D2?0； 平面M3:A3x?B3y?C3z?D3?0。

分析：讨论此三个平面的位置关系，关键是看它们有无公共点、有几个公共点，这就用到了线性方程组理论。将这三个方程联立，很显然，这是一个线性方程组，用线性方程组解的结构的知识就可轻易地判断出他们的位置关系，而无须解方程组。

?A1?解：设A??A2?A?3B1B2B3C1??A1??C2?,B??A2?AC3???3B1B2B3C1C2C3?D1???D2? ?D3??它们分别是三个方程构成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。令

rankA?r,ran(kB)? s则，r?s。

情形s?41:r?s?3，方程组有唯一解，故三平面交于一点。

情境2:r?2,s?3，方程组没有解，故三平面没有公共点，该情形又有两种子情形：

（1） A的任意两行线性无关，则三平面两两相交，但三交线互相平行。 （2） A有两行线性无关，也有两行线性相关，则线性相关的两行对应

的两个平面平行，它们与另一平面相交于两条交线。

情形3:r?s?2，方程组的通解为1维仿射子空间，即三平面交于一条直线。 情形4:r?1,s?2，方程组无解，由上面知，说明三平面彼此平行，但至少有两平面不重合。

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